考点02 中考一轮复习之整式计算-2022届九年级《新题速递·数学》（人教版）

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考点02 中考一轮复习之整式计算

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

一、单选题（共14小题）

1.（2021•静安区一模）下列多项式中，是完全平方式的为（　　）
A．x2﹣x+ B．x2+x+ C．x2+x﹣ D．x2﹣x+

【答案】A
【分析】完全平方式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，据此判断即可．
【解答】解：A、，故原式是完全平方式，故本选项符合题意；
B、不是完全平方式，故本选项不符合题意；
C、不是完全平方式，故本选项不符合题意；
D、不是完全平方式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【知识点】完全平方式

2.（2021春•漳州期末）若（x+3）（x﹣5）＝x2+mx﹣15，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5

【答案】A
【分析】利用多项式乘多项式计算（x+3）（x﹣5），然后利用一次项系数相等得到m的值．
【解答】解：∵（x+3）（x﹣5）＝x2﹣2x﹣15，
即x2﹣2x﹣15＝x2+mx﹣15，
∴m＝﹣2．
故选：A．
【知识点】多项式乘多项式

3.（2021春•仪征市期中）若3×32×3m＝38，则m的值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B
【分析】根据3×32×3m＝38，得31+2+m═38，得到方程1+2+m＝8，解得m＝5．
【解答】解：∵3×32×3m＝38，
∴31+2+m═38，
∴1+2+m＝8，
∴m＝5，
故选：B．
【知识点】同底数幂的乘法

4.（2021•宣城模拟）计算a3•a•（﹣1）的结果是（　　）
A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4

【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：a3•a•（﹣1）＝a3+1•（﹣1）＝﹣a4．
故选：D．
【知识点】同底数幂的乘法

5.（2021秋•呼和浩特期末）如图是一位同学数学笔记可见的一部分．下面①x3；②x3+y2；③x2y；④2ab2，四个整式，是对文中这个不完整的代数式补充的内容，其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B
【分析】根据多项式的次数定义进行填写．
【解答】解：①x3、③x2y、④2ab2都符合题意．
故选：B．
【知识点】多项式

6.（2021秋•荔湾区期末）若2x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．﹣6 B．0 C．﹣2 D．3

【答案】A
【分析】首先根据多项式乘多项式的方法，求出2x+m与x+3的乘积；然后根据2x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，可得：x的一次项的系数等于0，据此求出m的值为多少即可．
【解答】解：（2x+m）（x+3）＝2x2+（m+6）x+3m，
∵2x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，
∴m+6＝0，
解得：m＝﹣6．
故选：A．
【知识点】多项式乘多项式

7.（2021秋•沭阳县月考）下列运算中，正确的有（　　）
（1）0.22×（﹣）＝1；
（2）24+24＝25；
（3）﹣（﹣3）2＝9；
（4）（﹣）2007×102008＝﹣10．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B
【分析】先根据有理数的混合运算，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：0.22×（﹣）＝﹣（）2×＝﹣，故（1）错误；
24+24＝（1+1）×24＝2×24＝25，故（2）正确；
﹣（﹣3）2＝﹣9，故（3）错误；
（﹣）2007×102008＝（﹣×10）2007×10＝﹣1×10＝﹣10，故（4）正确；
即正确的个数是2，
故选：B．
【知识点】幂的乘方与积的乘方

8.（2021秋•江岸区校级月考）下列说法中，不正确的个数是（　　）
①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，且＝﹣1；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；③三个五次多项式的和也是五次多项式；④a+b+c＜0，abc＞0，则﹣+﹣的结果有三个；⑤方程ax+b＝0（a，b为常数）是关于x的一元一次方程．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D
【分析】根据相反数的概念、平方差公式、合并同类项、一元一次方程的概念判断．
【解答】解：①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，当a＝b＝0时，无意义，本小题说法不正确；
②∵|a|＞|b|，
∴a2＞b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＞0，是正数，本小题说法正确；
③（2a5+a﹣3）+（﹣a5+2a﹣3）+（﹣a5+a2﹣30）＝a2+3a﹣36，
则三个五次多项式的和不一定是五次多项式，本小题说法不正确；
④当a+b+c＜0，abc＞0时，a、b、c两个正数、一个负数或一个正数、两个负数，
则﹣+﹣的结果有两个，本小题说法不正确；
⑤方程ax+b＝0（a，b为常数），当a＝0时，不是关于x的一元一次方程，本小题说法不正确；
故选：D．
【知识点】多项式、绝对值、命题与定理、整式的加减、一元一次方程的定义

9.（2021秋•越秀区校级期中）有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则化简|n|﹣|m﹣n|的结果是（　　）

A．m B．2n﹣m C．﹣m D．m﹣2n

【答案】C
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的值的符号，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：n＜0＜m，
∴m﹣n＞0，
则原式＝﹣n﹣（m﹣n）＝﹣n﹣m+n＝﹣m．
故选：C．
【知识点】整式的加减、绝对值、数轴

10.（2021秋•福田区期末）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（　　）

A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2

【答案】B
【分析】设AB＝x，AD＝y，根据题意列出方程x2+y2＝17，2（x+y）＝10，利用完全平方公式即可求出xy的值．
【解答】解：设AB＝x，AD＝y，
∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2
∴x2+y2＝17，
∵矩形ABCD的周长是10cm
∴2（x+y）＝10，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴25＝17+2xy，
∴xy＝4，
∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，
故选：B．
【知识点】完全平方公式的几何背景

11.（2021秋•西城区校级期中）一个含有多个字母的整式，如果把其中任何两个字母互换位置，所得的结果与原式相同，那么称此整式是对称整式．例如，x2+y2+z2是对称整式，x2﹣2y2+3z2不是对称整式．
①所含字母相同的两个对称整式求和，若结果中仍含有多个字母，则该和仍为对称整式；
②一个多项式是对称整式，那么该多项式中各项的次数必相同；
③单项式不可能是对称整式；
④若某对称整式只含字母x，y，z，且其中有一项为x2y，则该多项式的项数至少为3．
以上结论中错误的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B
【分析】根据对称整式的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：①假设两个对称整式分别为M和N（含相同的字母），
由题意可知：任何两个字母互换位置，所得的结果与原式相同，
则M+N的结果不变，故①正确；
②反例：x3+y3+z3+x+y+z为对称整式，但是次数并不相同，故②不正确；
③反例：xyz为单项式，但也是对称整式，故③不正确；
④对称整式只含字母x，y，z，且其中有一项为x2y，
若x，y互换，则x2y：y2x，则有一项为y2x；
若z，x互换，则x2y：z2y，则有一项为z2y；
若y，z互换，则x2y：x2z，则有一项为x2z；
所以该多项式的项数至少为4，故④不正确．
所以以上结论中错误的是②③④，三个．
故选：B．
【知识点】多项式、整式

12.（2021秋•思明区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8，16均为“和谐数”），在不超过217的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．3014 B．3024 C．3034 D．3044

【答案】B
【分析】确定小于217的“和谐数”，再求和，根据计算结果的规律性，可得出答案．
【解答】解：∵552﹣532＝（55+53）（55﹣53）＝216＜217，
∴在不超过217的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
（﹣12+32）+（﹣32+52）+（﹣52+72）+……+（﹣512+532））+（﹣532+552）
＝﹣12+32﹣32+52﹣52+72+……﹣512+532﹣532+552
＝552﹣12
＝（55+1）（55﹣1）
＝56×54
＝3024，
故选：B．
【知识点】平方差公式

13.（2021秋•罗湖区期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律：
﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…
按照上述规律，则第2021个单项式是（　　）
A．6061x2021 B．﹣6061x2021 C．6058x2021 D．﹣6058x2021

【答案】C
【分析】根据题目中的单项式，可以发现它们的变化规律，从而可以写出第n个单项式，进而求得第2021个单项式，本题得以解决．
【解答】解：∵一列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6……，
∴第n个单项式为：（﹣1）n•（3n﹣2）xn，
∴第2021个单项式是（﹣1）2021•（3×2021﹣2）x2021＝6058x2021，
故选：C．
【知识点】规律型：数字的变化类、单项式

14.已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（　　）
A．12 B．20 C．28 D．36

【答案】C
【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．
【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，
∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28
∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．
故选：C．
【知识点】代数式求值、完全平方公式


二、填空题（共10小题）

15.（2021秋•怀安县期末）设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝　　．

【答案】24ab
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，据此解答即可．
【解答】解：∵（2a+3b）2＝4a2+12an+9b2，
（2a﹣3b）2＝4a2﹣12ab+9b2，
∴（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+24ab，
∴A＝24ab，
故答案为：24ab．
【知识点】完全平方公式

16.（2021春•兴化市月考）已知a2×a3＝am，则m的值为　　．

【答案】5
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：∵a2×a3＝a2+3＝a5＝am．
∴m＝5．
故答案为：5．
【知识点】同底数幂的乘法

17.（2021秋•荔湾区期末）多项式3x+2y与多项式4x﹣2y的差是　　．

【答案】-x+4y
【分析】由题意可得被减数为3x+2y，减数为4x﹣2y，根据差＝被减数﹣减数可得出．
【解答】解：由题意得：差＝3x+2y﹣（4x﹣2y），
＝﹣x+4y．
故填：﹣x+4y．
【知识点】整式的加减

18.（2021秋•越秀区期末）若2x+3y﹣2＝0，则4x•8y＝　　．

【答案】4
【分析】由2x+3y﹣2＝0得2x+3y＝2，再根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则把所求式子化为22x•23y＝22x+3y，再把2x+3y＝2代入计算即可．
【解答】解：∵2x+3y﹣2＝0，
∴2x+3y＝2，
∴4x•8y＝22x•23y＝22x+3y＝22＝4，
故答案为：4．
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方

19.（2021秋•南关区校级期末）若（x+a）（x+3）的结果中不含关于字母x的一次项，则a＝　　．

【答案】-3
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x的一次项，求出a的值即可．
【解答】解：原式＝x2+3x+ax+3a＝x2+（a+3）x+3a，
由结果不含x的一次项，得到a+3＝0，
解得：a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【知识点】多项式乘多项式

20.（2021秋•延边州期末）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．若（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，m）＝2a﹣b，则m＝　　．

【分析】由新规定的运算可得3a＝5，3b＝6，m＝32a﹣b，再将32a﹣b，转化为后，再代入求值即可．
【解答】解：由于（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，m）＝2a﹣b，根据新规定的运算可得，
3a＝5，3b＝6，m＝32a﹣b，
∴m＝32a﹣b＝＝＝，
故答案为：．
【知识点】幂的乘方与积的乘方

21.（2021秋•铜陵期中）我们定义||＝ad﹣bc，例如||＝2×5﹣3×4＝﹣2．依据定义有||＝　　；若||＝x+10，则x＝　　．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：||＝（﹣1）×（﹣3）﹣1×2＝3﹣2＝1；
已知等式||＝x+10，化简得：2x2+20x＝x+10，即2x2+19x﹣10＝0，
分解因式得：（2x﹣1）（x+10）＝0，
解得：x＝或x＝﹣10．
故答案为：1；或﹣10．
【知识点】整式的混合运算、有理数的混合运算

22.（2021•宁波模拟）若，，则x6+y6的值是　　　．

【答案】40
【分析】根据题意可求出x2+y2，x2﹣y2，利用平方差公式可求得x4﹣y4，（x2﹣y2）（x4﹣y4）＝x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，由此可得答案．
【解答】解：由题意得：x2+y2＝2++2﹣＝4，x2﹣y2＝2+﹣（2﹣）＝2，x4﹣y4＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝8，
又（x2﹣y2）（x4﹣y4）＝x6+y6+x2y4+y2x4，
∴可得：x6+y6＝32﹣x2y2（x2+y2）＝32+2×4＝40．
故答案为：40．
【知识点】完全平方公式、二次根式的乘除法

23.（2021秋•海淀区校级期中）下列有四个结论．其中正确的是　　．
①若（x﹣1）x+1＝1，则x只能是2；
②若（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，则a＝1；
③若a+b＝10，ab＝2，则a﹣b＝2；
④若4x＝a，8y＝b，则23y﹣2x可表示．

【答案】②④
【分析】根据多项式乘多项式、幂的乘方、同底数幂除法、零指数幂等逐一进行计算即可．
【解答】解：①若（x﹣1）x+1＝1，则x是2或﹣1．故①错误；
②若（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，
∵（x﹣1）（x2+ax+1）＝x3+（a﹣1）x2+（1﹣a）x﹣1，
∴a﹣1＝0，解得a＝1，故②正确；
③若a+b＝10，ab＝2，
∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝100﹣8＝92，
则a﹣b＝2，故③错误；
④若4x＝a，8y＝b，则23y﹣2x＝（23）y÷（22）x＝8y÷4x＝．故④正确．
所以其中正确的是②④．
故答案为：②④．
【知识点】同底数幂的除法、多项式乘多项式、零指数幂

24.（2021春•义乌市期末）如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为　　．


【分析】利用矩形及正方形的性质可求解KI＝2DG﹣10，KH＝DG﹣3，根据当矩形KILH的邻边的比为3：4可求解DG的长，再利用DG的长分别求解AF，CG，AJ的长，进而可求解，注意分类讨论．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13．
∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG，
∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10．
∵BE＝BA＝10，
∴LG＝EC＝3，
∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3．
当矩形KILH的邻边的比为3：4时，（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4，
解得DG＝9或．
当DG＝9时，AF＝CG＝1，AJ＝4，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG＝1×4+1×3＝7；
当DG＝时，AF＝CG＝，AJ＝，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG
＝
＝．
故答案为7或．
【知识点】整式的混合运算


三、解答题（共10小题）

25.（2021秋•越秀区期末）计算：
（1）a2•a6+（﹣2a4）2；
（2）（）2÷（）2•．

【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、合并同类项法则计算；
（2）根据分式的乘除法法则计算．
【解答】解：（1）a2•a6+（﹣2a4）2
＝a2+6+4a4×2
＝a8+4a8
＝5a8；
（2）（）2÷（）2•
＝••
＝．
【知识点】幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、分式的乘除法

26.（2021秋•宝鸡期末）计算：
（1）3x2﹣2[x2﹣2（xy﹣x2）+2xy]；
（2）﹣12021+（1﹣0.5）2×（﹣4）÷（﹣）．

【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据有理数的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝3x2﹣2（x2﹣2xy+2x2+2xy）
＝3x2﹣2×3x2
＝﹣3x2．
（2）原式＝﹣1+×（﹣4）×（﹣2）
＝﹣1﹣1×（﹣2）
＝﹣1+2
＝1．
【知识点】整式的加减、有理数的混合运算

27.（2021春•洪泽区期中）（1）若xa＝2，xb＝5，那么xa+b的值；
（2）已知32•92x+1÷27x+1＝81，求出式中的x．

【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则解答即可．
【解答】解：（1）∵xa＝2，xb＝5，
∴xa+b＝xa•xb＝2×5＝10；

（2）∵32•92x+1÷27x+1
＝32•34x+2÷33x+3
＝32+4x+2﹣（3x+3）
＝3x+1
＝81
＝34，
∴x+1＝4，
∴x＝3．
【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方

28.（2021春•高新区期中）（1）已知4x＝2x+3，求x的值；
（2）若a2n＝3，，求（﹣ab）2n．

【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则解答即可．
【解答】解：（1）∵4x＝22x＝2x+3，
∴2x＝x+3，
∴x＝3；

（2）∵a2n＝3，，
∴（﹣ab）2n＝（ab）2n＝a2n•b2n＝a2n•（bn）2＝＝＝．
【知识点】幂的乘方与积的乘方

29.（2021秋•抚顺县期末）如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为（a+b）米的正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积；
（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积．


【分析】（1）由题意可知空白部分的面积＝长方形的面积﹣阴影部分的面积．长方形的面积是长×宽，即（3a+b）（2a+b）；阴影部分是正方形，其面积是（a+b）2，所以空白部分的面积是（2a+b）（3a+b）﹣（a+b）2；
（2）将a，b的数值代入（1）题中的代数式求值即可．
【解答】解：
（1）根据题意，广场上需要硬化部分的面积是
（2a+b）（3a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+2ab+3ab+b2﹣（a+b）2
＝6a2+5ab+b2﹣（a2+2ab+b2）
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2+3ab
答：广场上需要硬化部分的面积是（5a2+3ab）m2．
（2）把a＝30，b＝10代入
5a2+3ab＝5×302+3×30×10＝5400 m2
答：广场上需要硬化部分的面积是5400m2．
【知识点】多项式乘多项式

30.（2021秋•新宾县期末）如图，某市有一块长（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间空白处将修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米．
（2）当a＝2，b＝1时求绿化面积．


【分析】（1）绿化面积＝长方形的面积﹣正方形的面积；
（2）把a＝2，b＝1代入（1）求出绿化面积．
【解答】解：（1）S绿化面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2+3ab；
答：绿化的面积是（5a2+3ab）平方米；
（2）当a＝2，b＝1时，绿化面积＝5×22+3×2×1
＝20+6
＝26．
答：当a＝2，b＝1时，绿化面积为26平方米．
【知识点】多项式乘多项式

31.（2021•保定模拟）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图中所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．
（1）①用含m的代数式表示 S甲＝　　，S乙＝　　；
②用“＜”、“＝”或“＞”号填空：S甲　　S乙；
（2）若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为S正．
①该正方形的边长是　　（用含m的代数式表示）；
②小方同学发现，“S正与S乙的差是定值”请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．


【答案】【第1空】m2+12m+27
【第2空】m2+10m+24
【第3空】＞
【第4空】m+5
【分析】（1）①结果长方形的面积的计算方法可表示出为S甲和S乙；②作差法，可比较大小；
（2）①根据乙的周长，求出正方形纸片的边长；②作差法，求出差后作差判断即可．
【解答】解：（1）①由长方形的面积的计算方法得，
S甲＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，
S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24，
故答案为：m2+12m+27，m2+10m+24；
②S甲﹣S乙＝（m2+12m+27）﹣（m2+10m+24）
＝m2+12m+27﹣m2﹣10m﹣24
＝2m+3，
∵m＞0，
∴2m+3＞0，
∴S甲＞S乙，
故答案为：＞；
（2）①乙的周长为：2（m+6）+2（m+4）＝4m+20，
∵正方形的周长与乙的周长相等，
∴正方形的边长为＝m+5，
故答案为：m+5；
②S正﹣S乙＝（m+5）2﹣（m2+10m+24）
＝m2+10m+25﹣m2﹣10m﹣24
＝1，
因此“S正与S乙的差是定值”，故小方同学的发现是正确的．
【知识点】多项式乘多项式、列代数式

32.（2021秋•中山区期末）如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．

（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为　　；
①a+b；②b﹣a；③（a+b）（b﹣a）．
（2）由图2可以直接写出（a+b）2，（b﹣a）2，ab之间的一个等量关系是　　；
（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：
①x+y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值；
②两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若x2+y2＝16，BE＝2，直接写出图中阴影部分面积和．

【答案】【第1空】②
【第2空】（a+b）2=（b-a）2+4ab
【分析】（1）根据拼图可得阴影正方形的边长为b﹣a，作出选择即可；
（2）用不同的方法表示阴影正方形的面积可得出关系式；
（3）①利用（2）的结论可得（x+y）2＝（y﹣x）2+4xy，再代入求值即可，
②BE＝2，即x﹣y＝2，根据上述关系可求出答案．
【解答】解：（1）阴影部分的正方形的边长为b﹣a，
故答案为：②；
（2）大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，
小正方形的边长为b﹣a，面积为（b﹣a）2，
四块长方形的面积为4ab，
所以有（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab；
（3）①由（2）的结论可得（x+y）2＝（y﹣x）2+4xy，
把x+y＝8，xy＝2代入得，64＝（y﹣x）2+8，
所以（y﹣x）2＝56，
②由BE＝2，即x﹣y＝2，y＝x﹣2
由拼图可得，阴影部分的面积为（x2﹣y2），即（x+y）（x﹣y）＝x+y＝2x﹣2，
∵x2+y2＝16，即x2+（x﹣2）2＝16，也就是x2﹣2x﹣6＝0，
解得x1＝1+，x2＝1﹣＜0（舍去），
∴2x﹣2＝2+2﹣2＝2，
答：阴影部分的面积和为2．
【知识点】完全平方公式的几何背景

33.（2021秋•洮北区期末）乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　　　（写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是　　，长是　　，面积是　　．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　　．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）


【答案】【第1空】a2-b2
【第2空】a-b
【第3空】a+b
【第4空】（a+b）（a-b）
【第5空】（a+b）（a-b）=a2-b2
【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；
（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
（3）建立等式就可得出；
（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．
【解答】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；

（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；

（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；

（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91；
②解：原式＝[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
【知识点】平方差公式的几何背景

34.（2021秋•徐州期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc 例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2
（1）按照这个规定，请你计算的值．
（2）按照这个规定请你计算当|x+y+3|+（xy﹣1）2＝0时，的值．

【分析】（1）根据＝ad﹣bc，可以求得题目中所求式子的值；
（2）根据|x+y+3|+（xy﹣1）2＝0可以求得x+y与xy的值，从而可以求的题目中所求式子的值．
【解答】解：（1）∵＝ad﹣bc，
∴
＝5×8﹣6×（﹣2）
＝40+12
＝52；
（2）∵|x+y+3|+（xy﹣1）2＝0，
∴x+y+3＝0，xy﹣1＝0，
解得，x+y＝﹣3，xy＝1，
∴
＝（﹣1）×（2x+1）﹣（3xy+2y）×（+1）
＝﹣2x﹣1﹣3xy﹣2y
＝﹣2（x+y）﹣3xy﹣1
＝﹣2×（﹣3）﹣3×1﹣1
＝6﹣3﹣1
＝2．
【知识点】有理数的混合运算、非负数的性质：绝对值、非负数的性质：偶次方、整式的加减—化简求值