专题05 最值问题1之将军饮马新题型，线段最值-2022年决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）

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专题05 最值问题1之将军饮马新题型，线段最值(解析版）
一．将军饮马新题型
1．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线y=33x+433上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB+CB的最小值为　13　．

思路引领：设D（﹣1，0），作D点关于直线y=33x+433的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB+CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．
答案详解：设D（﹣1，0），作D点关于直线y=33x+433的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，
∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，
∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，
∴AD＝OB，OA＝BC，
∴AD+OA＝OB+BC，
∵AE＝AD，
∴AE+OA＝OB+BC，
即OE＝OB+BC，
∴OB+CB的最小值为OE，
由y=33x+433可知∠AFO＝30°，F（﹣4，0），
∴FD＝3，∠FDG＝60°，
∴DG=12DF=32，
∴DE＝2DG＝3，
∴ES=32DE=332，DS=12DE=32，
∴OS=52，
∴OE=OS2+ES2=13，
∴OB+CB的最小值为13．

2．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是　10　．

思路引领：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
答案详解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′＝90°，
∴在Rt△M′ON′中，
M′N′=32+12=10．
故答案为10．

3．如图，∠AOB＝45°，角内有一点P，PO＝10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是　102　；当△PQR周长最小时，∠QPR的度数＝　90°　．

思路引领：根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接AB，根据两点之间线段最短得到最小值线段，再构造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可．
根据对称的性质求得∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，即可求得∠QPR的度数．
答案详解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．
连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．
连接OM、ON，
则OM＝ON＝OP＝10，
∠MON＝∠MOP+∠NOP＝2∠AOB＝2×45°＝90°，
故△MON为等腰直角三角形．
∴MN=102+102=102．
根据对称的性质得到∠OMN＝∠OPQ，∠ONM＝∠OPR，
∴∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，
∵△MON为等腰直角三角形，
∴∠OMN+∠ONM＝90°，
∴∠OPQ+∠OPR＝90°，
即∠QPR＝90°．
故答案为102，90°．

4．如图，点A（a，3）、B（b，1）都在双曲线y=3x上，点C、D分别是x，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为　62　．

思路引领：先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到P点坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短，此时四边形PABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．
答案详解：分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=3x得：a＝1，b＝3，
则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），
如图，作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，

则点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），
连接PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，
四边形ABCD周长＝DA+DC+CB+AB
＝DP+DC+CQ+AB
＝PQ+AB
=(-1-3)2+(3+1)2+(1-3)2+(3-1)2
＝42+22
＝62，
故答案为：62．
二．圆的最值--过圆心（共11小题）
5．作图探究：如图，点P是直角坐标系xOy第三象限内一点．
（1）尺规作图：请在图中作出经过O、P两点且圆心在x轴的⊙M；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
①请求出⊙M的半径；
②填空：若Q是⊙M上的点，且∠PMQ＝90°，则点Q的坐标为　（-92，32）或（-12，-32）　．

思路引领：（1）连接OP，作OP的垂直平分线交x轴于M点，以MO我半径作⊙M，即为所求；
（2）①连接PM，作PH⊥x轴，垂足为H，设⊙O的半径为r，则PM＝MO＝r，MH＝4﹣r，PH＝2，在Rt△PHM中，由勾股定理求r即可；
②过M点作PM的垂线，交⊙M于Q1，Q2，再过Q1，Q2，作x轴的垂线，利用三角形全等求Q点坐标．
答案详解：（1）⊙M如图所示；

（2）①连接PM，作PH⊥x轴，垂足为H，设⊙O的半径为r，则PM＝MO＝r，MH＝4﹣r，PH＝2，
在Rt△PHM中，PH2+MH2＝PM2，
即22+（4﹣r）2＝r2，
解得r=52；
②如图，过M点作PM的垂线，交⊙M于Q1，Q2，再过Q1，Q2，作x轴的垂线，垂足为N1，N2，
利用互余关系，PM＝Q1M＝Q2M，
可证Rt△PMH≌Rt△Q1MN1≌Rt△Q2MN2，
∴PH＝MN1＝MN2＝2，MH＝Q1N1＝Q2N2＝4﹣r=32，
∴Q（-92，32）或（-12，-32）．
故答案为：（-92，32）或（-12，-32）．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　2　．

思路引领：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．
答案详解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．

∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC=12OB＝1，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，﹣3），
∴OD＝4，OE＝3，
∴DE=OE2+OD2=32+42=5，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴MNOE=DMDE，
∴MN3=35，
∴MN=95，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值=12×5×（95-1）＝2，
故答案为2．
7．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　52　．

思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
答案详解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动

将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HE+12EC＝1+32=52

故答案为52．
8．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
思路引领：由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
答案详解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，

则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：D．
9．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A．2+1 B．2+12 C．22+1 D．22-12
思路引领：根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
答案详解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=12CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝22，
∴CD＝22+1，
∴OM=12CD=2+12，即OM的最大值为2+12；
故选：B．
10．在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△DBE．
（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是　90　度；
（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若△ABD的面积为4，求△CBE的面积；
（3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．

思路引领：（1）根据旋转的性质可知：∠DEC＝45°，再由等边对等角得∠BEC＝45°，则∠CED＝90°；
（2）由△ABC≌△DBE得出BA＝BD，BC＝BE，进而得出BABC=BDBE，证明△ABD∽△CBE，根据面积比等于相似比的平方求出△CBE的面积；
（3）作辅助线，当点P在F处时BP最小，则BG最小，MP'最小；当点P在点C处时，BP最大，则BH最大，MP'最大，代入计算即可得出结论．
答案详解：（1）如图1，由旋转得：∠DEB＝∠ACB＝45°，BC＝BE，
∴∠ACB＝∠BEC＝45°，
∴∠CED＝90°，
故答案为：90；
（2）如图2，∵△ABC≌△DBE，
∴BA＝BD，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，
∴BABC=BDBE，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴S△ABDS△CBE=（ABBC）2=1625
∵S△ABD＝4，
∴S△CBE=254；
（3）∵M是AB的中点，∴BM=12AB＝2
如图③，过点B作BF⊥AC，F为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点F在线段AC上，
在Rt△BCF中，BF＝BC×sin45°=522，
以B为圆心，BF为半径画圆交AB于G，BP'有最小值BG．
∴MP'的最小值为MG＝BG﹣BM=522-2，
以B为圆心，BC为半径画圆交AB的延长线于H，BP'有最大值BH．
此时MP'的最大值为BM+BH＝2+5＝7，
∴线段MP'的最大值为7，最小值为522-2．

11．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝52，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值为　26　．

思路引领：连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到OQ与PQ垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP最小时，PQ最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值．
答案详解：连接OP、OQ，如图所示，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
根据勾股定理知：PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝52，
∴AB=2OA＝10，
∴S△AOB=12OA•OB=12AB•OP，即OP=OA⋅OBAB=5，
∴PQ=OP2-OQ2=26．
故答案为：26

12．如图，⊙C半径为1，圆心坐标为（3，4），点P（m，n）是⊙C内或⊙C上的一个动点，则m2+n2的最小值是　16　．

思路引领：由于圆心C的坐标为（3，4），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OC＝5，OP=m2+n2，这样把m2+n2理解为点P点到原点的距离的平方，利用图形可得到当点运动到线段OC上时，点P离原点最近，即m2+n2有最小值，然后求出此时的PC长即可
答案详解：连OC交⊙O于P′点，如图，
∵圆心C的坐标为（3，4），点P的坐标为（m，n），
∴OC＝5，OP=m2+n2，
∴m2+n2是点P点原点的距离的平方，
∴当点运动到线段OC上时，即P′处，点P离原点最近，即m2+n2有最小值，
此时OP＝OC﹣PC＝5﹣1＝4，则m2+n2＝16．
故答案为16．

13．在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得线段MA'．
（Ⅰ）如图①，线段MA'的长＝　1　．
（Ⅱ）如图②，连接A'C，则A'C长度的最小值是　7-1　．

思路引领：（Ⅰ）由中点的定义和旋转的性质可求解；
（Ⅱ）当A'在MC上时，线段A'C长度最小，作ME⊥CD于点E，首先在直角△DME中利用三角函数求得ED和EM的长，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的长，然后减去MA的长即可求解．
答案详解：（Ⅰ）∵M是AD边的中点，
∴MA＝1，
∵线段MA绕点M旋转得线段MA'．
∴MA'＝1，
故答案为：1；
（Ⅱ）如图②，作ME⊥CD于点E．

∵菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴∠EDM＝60°，
在直角△MDE中，DE＝MD•cos∠EDM=12×1=12，ME＝MD•sin∠EDM=32，
则EC＝CD+ED＝2+12=52，
在直角△CEM中，MC=CE2+ME2=254+34=7，
当A'在MC上时A'C最小，则A′C长度的最小值是：7-1，
故答案为7-1．
14．如图，⊙O的半径为1，点P（a，a﹣4）为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为点A和点B，则四边形PBOA面积的最小值是　7　．

思路引领：由点P的坐标为（a，a﹣4），得到OP=a2+(a-4)2=2a2-8a+16，由于PA，PB是⊙O的两条切线，得到PA＝PB，∠OAP＝∠OBP，可证△OPA≌△OBP，在Rt△OAP中，根据勾股定理得到PA的长度，于是得到四边形PBOA面积＝2×△OPA的面积＝2×12OA•PA=2a2-8a+15=2(a-2)2+7，即可得到结果．
答案详解：∵点P的坐标为（a，a﹣4），
∴OP=a2+(a-4)2=2a2-8a+16，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，∠OAP＝∠OBP，
在△OPA与△OBP中，
PA=PB∠OAP=∠OBPOP=OP，
∴△OPA≌△OBP（SAS），
在Rt△OAP中，
PA=OP2-12=2a2-8a+16-1
=2a2-8a+15，
∴四边形PBOA面积＝2×△OPA的面积＝2×12OA•PA=2a2-8a+15
=2(a-2)2+7，
∵2＞0
∴当a＝2时，四边形PBOA面积最小，
最小值为7，
故答案为7．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（　　）

A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对
思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．
答案详解：如图所示：当PE∥AB．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=62+82=10，
由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．
∵PE∥AB，
∴∠PDB＝90°．
由垂线段最短可知此时FD有最小值．
又∵FP为定值，
∴PD有最小值．
又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，
∴△AFD∽△ABC．
∴AFAB=DFBC，即410=DF8，解得：DF＝3.2．
∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．
故选：B．
三．线段差最大
16．如图所示，已知A（12，y1），B（2，y2）为反比例函数y=1x图象上的两点，动点P（x，0）在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之和达到最小时，点P的坐标是　（1.7，0）　；当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是　（52，0）　．

思路引领：（1）如图1，过x轴作点B的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为所求的点P．根据点A、B′的坐标可以求得直线AB′的 解析式，根据该解析式可以求得点P的坐标；
（2）如图2，求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．
答案详解：∵把A（12，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=1x得：y1＝2，y2=12，
∴A（12，2），B（2，12）．
（1）如图1，过x轴作点B的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为所求的点P，则B′（2，-12）．
设直线AB′为y＝kx+b（k≠0），则2=12k+b-12=2k+b．
解得k=-53b=176．
故直线AB′的解析式为：y=-53x+176．
令y＝0，
解得，x＝1.7．
故P（1.7，0）；

（2）∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y＝ax+c（a≠0）
把A、B的坐标代入得：2=12x+c12=2x+c，
解得：a=-1c=52，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+52，
当y＝0时，x=52，
即P（52，0）；
故答案是：（1.7，0）；（52，0）．


17．如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=2x图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（　　）

A．（3，0） B．（72，0） C．（53，0） D．（52，0）
思路引领：求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．
答案详解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=2x得：y1＝2，y2＝1，
∴A（1，2），B（2，1），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把A、B的坐标代入得：k+b=22k+b=1，
解得：k＝﹣1，b＝3，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，
当y＝0时，x＝3，
即P（3，0）．
故选：A．

四．线段和差最值综合 ---巧借三边关系，中位线原理，瓜豆原理）
18．如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于　72　．

思路引领：取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
答案详解：取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，
∵将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，
∴B1C1＝BC＝3，PN＝5，
∵点P、Q分别是AB、A1C1的中点，
∴NQ=12B1C1=32，
∴5-32≤PQ≤5+32，
即72≤PQ≤132，
∴PQ的最小值等于72，
故答案为：72．

19．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为　93　．

思路引领：根据题意和平行四边形的性质，可以得到ED和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．
答案详解：作CH⊥AB于点H，
∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，
∴CH＝43，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴EOGO=DOOC=EDGC，
∵DF=14DE，
∴DEEF=45，
∴EDGC=45，
∴EOGO=45，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝43，
∴GO＝53，
∴EG的最小值是93，
故答案为：93．

20．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A．6 B．22 C．23 D．32
思路引领：把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
答案详解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH=3，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC=AH2+CH2=(3)2+(3)2=6，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为6，
综上所述，AE+BF的最大值为6．
故选：A．
21．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-12x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（　　）

A．455 B．5 C．523 D．655
思路引领：利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
答案详解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，
∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM＝∠PQ′N
在△PQM和△Q′PN中，
∠PMQ=∠PNQ'=90°∠QPM=∠PQ'NPQ=PQ'
∴△PQM≌△Q′PN（AAS），
∴PN＝QM，Q′N＝PM，
设Q（m，-12m+2），
∴PM＝|m﹣1|，QM＝|-12m+2|，
∴ON＝|3-12m|，
∴Q′（3-12m，1﹣m），
∴OQ′2＝（3-12m）2+（1﹣m）2=54m2﹣5m+10=54（m﹣2）2+5，
当m＝2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为5，
当m＝2时，OQ′2有最小值为5，
故选：B．

五．函数相关
22．若点（m，n）在函数y＝2x﹣4的图象上，则m2+n2的最小值是　165　．
思路引领：根据一次函数图象上点的坐标特征用m表示出n，然后整理成二次函数解析式的形式，再根据二次函数的最值问题解答．
答案详解：∵点（m，n）在函数y＝2x﹣4的图象上，
∴n＝2m﹣4，
∴m2+n2＝m2+（2m﹣4）2，
＝5m2﹣16m+16，
∵a＝5＞0，
∴m2+n2的最小值=4×5×16-(-16)24×5=165．
故答案为：165．
23．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=kx（k＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？

思路引领：（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；
（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
答案详解：（1）∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，
∴B（3，2），
∵F为AB的中点，
∴F（3，1），
∵点F在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，
∴k＝3，
∴该函数的解析式为y=3x（x＞0）；

（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（k2，2），F（3，k3），
∴S△EFA=12AF•BE=12×13k（3-12k），
=12k-112k2
=-112（k2﹣6k+9﹣9）
=-112（k﹣3）2+34，
在边AB上，不与A，B重合，即0＜k3＜2，解得0＜k＜6，
∴当k＝3时，S有最大值．
S最大值=34．