专题01 面积问题-2022年中考数学二次函数解答题题型全归纳（全国通用）

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已知：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中点坐标为，为二次函数图象的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求的面积．
【解答】解：（1）函数的表达式为：，
将点代入上式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：，即；
（2）由可知点，
点坐标为，对称轴为直线，
，
则直线函数表达式为：，
把代入得，
过点作轴的平行线交于点，
则点，
．
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为（点，，的对应点分别为点，，，平移时间为秒，直线交轴于点，交抛物线于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当时，请求出的值；
【答案】（1）；
（2）或；
（3）点的坐标为，或或．
【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，则点、的坐标分别为、，
将、的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为；
（2）由点、的坐标知，，故直线与轴的夹角为，
故沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，秒后，向右和向上均平移了个单位，
则点，则点，点，则点，
，
解得或（不合题意值已舍去）；
如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积．
【解答】解：（1），，
，，
把，代入抛物线中得：，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）如图1，过作轴于，交于，
当时，，
，
设的解析式为：，
则，解得：，
的解析式为：，
设，则，
，
的面积是，
，
，
解得：或3，
点在直线右侧的抛物线上，
，
的面积．
求四边形面积
如图，二次函数y＝ax2+bx+4与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（8，0）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，连接CM、BM，求四边形COBM的面积．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（8，0），
∴4a-2b+4=064a+8b+4=0，得a=-14b=32，
即经过A，B，C三点的抛物线的解析式是y=-14x2+32x+4；
（2）∵y=-14x2+32x+4=-14（x﹣3）2+254，
∴点C的坐标为（0，4），点M的坐标为（3，254），
∴四边形COBM的面积是：（4+254）×3÷2+(8-3)×2542=31，
即四边形COBM的面积是31．
已知抛物线交轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接、．且．
（1）请求出抛物线解析式；
（2）如图1，点是直线上方抛物线上一动点，是否存在直线平分四边形的面积，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，现将原抛物线沿射线方向移动，平移后点的对应点为点，点的对应点为点．记中点为，连接、．若，请直接写出原抛物线平移的距离．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为；
（3）．
【解答】解：（1）由抛物线知，，即，
而，故，，
故点、、的坐标分别为、、，
则设抛物线的表达式为，
则，解得，
故抛物线的表达式为；
（2）设点的坐标为，则①，
则四边形的面积，
的面积，
由题意得：②，
联立①②并解得（不合题意值已舍去），
故点的坐标为；
（3）中点为，则点，
设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为，
则设抛物线向右平移个单位就向下平移了个单位，
则、的坐标分别为、，
，则点在的中垂线上，
即，解得，
则抛物线向右平移1个单位就向下平移了个单位，
则平移的距离为．
如图，抛物线与轴交于、两点，于轴交于点，顶点为．
（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）请计算以、、、为顶点的四边形的面积；
（3）在坐标轴上是否存在点，使得点到、两点的距离之和最短，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），点的坐标为；
（2）9；
（3）存在，点的坐标为，．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为，
将点、、的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为，当时，，
故点的坐标为；
（2）由点、、的坐标知，，，，
则，则为直角三角形，
四边形的面积；
（3）存在，理由：
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点为所求点，
设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为，
令，解得，
故点的坐标为，．
面积比值
如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）已知，为抛物线与轴的交点，若点在抛物线上，且．求点的坐标．
【解答】解：（1）对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，
、两点关于直线对称，
点的坐标为，
点的坐标为；
（2）时，抛物线的对称轴为直线，
，解得．
将代入，
得，解得．
则二次函数的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，．
设点坐标为，
，
，
，．
当时，；
当时，．
点的坐标为或．
如图直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，连结．点为抛物线上上方的一个点，连结，作垂足为，交于点．
（1）求的长；
（2）当时，求点的坐标；
（3）当面积是四边形面积的2倍时，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解答】解：（1）对于，令，则，故点，
令，解得或6，故点，
故；
（2）设，
，，
，故，
，
解得．
；
（3）当的面积是四边形的面积的2倍时，
则，
，
解得：，，
或．
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，．与抛物线的对称轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是第一象限内抛物线上的动点，连接，．当时，求点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线过点和点，
，解得，
抛物线解析式为：；
（2）当时，，
，
直线解析式为：，
，
，
过点作轴，交轴于点，交于点，
设，
，
，
，
即，
，，
，．
面积最值
如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点、不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接、．设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数解析式及自变量的取值范围，并求出的最大值；
（3）已知为抛物线对称轴上一动点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线解析式为，
即，解得：，
抛物线解析式为；
（2）设直线的函数解析式为，
直线过点，，
，解得，
，
设，，
，
，
，
当时，有最大值，最大值；
（3）设点，
则，，；
①当是斜边时，
；
解得：；
②当是斜边时，
同理可得：，
故点的坐标为：，．
已知，如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点．
（1）求直线的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当点运动到什么位置时，的面积有最大值？
【解答】解：（1）设直线的解析式为，
将点，代入，得，
，
则直线的解析式为；
（2）抛物线过点，，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为；
（3）如图，
过点作轴，交于，
设点坐标为，，
则，
．
，
当，即点位于时，的面积有最大值．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线下方抛物线上任意一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）点为抛物线对称轴上的一点，当以点，，为顶点的三角形为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达得：，解得，
故抛物线的表达式为；
（2）由点、的坐标得，直线的表达式为，
过点作轴的平行线交直线于点，
设点，则点，
则面积，
，故面积有最大值，
当时，面积的最大值为8，此时点；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，设点，，
由点、、的坐标得：，，，
当时，即，解得；
当时，同理可得：；
当时，同理可得：，
故点的坐标为，或，或，或，或，．
面积比例
如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过、两点，与轴的另一交点为点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当时，二次函数的最大值为，求的值；
（3）如图2，点为直线上方二次函数图象上一动点，连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）．
【解答】解：（1）根据题意得，，
抛物线经过．两点，则，解得，
；
（2）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，
①当时，
当时，，解得或（舍去）；
②当时，
当时，，解得（舍去）或；
③当时，
当时，，解得，
综上，或；
（3）如图1，令，
，
，，
，
过作轴交于，过作轴交于，
，
，
，
设，
，
，
，
；
当时，的最大值是．
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线；连接，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①点是轴上方抛物线上一点，且横坐标为，过点作轴，垂足为点．线段有一点（点与点，不重合），且，求的长；
②在①的条件下，若，直接写出的值；
（3）在（2）的条件下，设，直接写出关于的函数解析式，并写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）①；②；
（3）．
【解答】解：（1）点，对称轴为直线，则点，则，
，解得，故点，
则设抛物线的表达式为，
将点的坐标代入上式得：，解得，
故抛物线的表达式为；
（2）如图，，，
设，则，
①轴，
，
，
又，
，
，
，
，
整理得：；
②，
即，
则，解得；
（3），
而，
则．
如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，一次函数经过点、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是直线上方的抛物线上一个动点，交线段于点，轴，交线段于点，连接，设，则是否有最大值，若有，请求出其最大值；若无，请说明理由；
（3）若抛物线的对称轴交轴于点，点是抛物线对称轴上一个动点，当是直角三角形时，请直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）由知，时，，时，
，．
把和代入，得，
解得，
抛物线解析式为；
（2）有最大值，其最大值是1
理由：设点的坐标是，则点的坐标是，
．
，且，
当时，取得最大值2
．
．
．
．
．
的长为定值2，
当取得最大值2时，取得最大值1；
（3）设点的坐标为，，
而点、的坐标分别为，、，
则，，同理，
当是斜边时，则，解得（舍去）或2；
当是斜边时，同理可得；
当是斜边时，同理可得（舍去），
故点的坐标为，．