专题04 三角形存在性问题-2022年中考数学二次函数解答题题型全归纳（全国通用）

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如图1，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，并且，动点在过，，三点的抛物线上，
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由；
【解答】解：（1）点的坐标是，
，
，
，，
点，点，
设抛物线的解析式为：，
，
，
抛物线解析式为：；
（2）是以为底的等腰三角形，
，
又，
是的垂直平分线，
，，是的垂直平分线，
平分，
直线解析式为，
联立方程组可得：，
或，
点坐标为，或，；
如图，关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在．请求出点的坐标；
（3）有一个点从点出发，以每秒1个单位的速度在上向点运动，另一个点从 点与点同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点到达点时，点、同时停止运动，问点、运动到何处时，面积最大，试求出最大面积．
【解答】解：（1）把和代入，
解得：，，
二次函数的表达式为：；
（2）令，则，
解得：或，
，
，
点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当时，，或
，；
②当时，，
；
③当时，
此时与重合，
；
综上所述，点的坐标为：或或或；
（3）如图2，设运动时间为，由，得，则，
，
即当、或时面积最大，最大面积是1
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线经过，．
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2），
，
抛物线的对称轴是．
．
，
．
在中，由勾股定理，得
．
是以为腰的等腰三角形，
．
作对称轴于，
，
．
，，，，，；
（3）当时，
，，
．
设直线的解析式为，由图象，得
，
解得：，
直线的解析式为：．
如图2，过点作于，设，，
．
，
，
．
时，，
．
如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；
（2）连接、，试判断与是否相似？并说明理由；
（3）为抛物线上之间的一点，为线段上的一点，若轴，求的最大值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）点在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为，
对称轴为直线；
（2）．
理由如下：令，则，
即，
解得，，
点的坐标为，
令，则，
点的坐标为，
，，，
，，
；
（3）设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
轴，
，
，
，
，
当时，的值最大，最大值为4；
（4）由勾股定理得，，
过点作对称轴于，则，
①时，，
点在点的上方时，点到轴的距离为，
此时点，
点在点的下方时，点到轴的距离为，
此时点，
②点为对称轴与轴的交点时，，
，
，
此时，点，
③当时，，点到对称轴的距离为5，，这种情形不存在．
综上所述，点的坐标为或或时，为等腰三角形时．
直角三角形
如图，直线与抛物线相交于，和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求为直角三角形时点的坐标．
【解答】解：（1）在直线上，
，
，
，、在抛物线上，
，解得，
抛物线的解析式为．
（2）设动点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
，
，
当时，线段最大且为．
（3）为直角三角形，
若点为直角顶点，则．
由题意易知，轴，，因此这种情形不存在；
若点为直角顶点，则．
如答图，过点，作轴于点，则，．
过点作直线，交轴于点，则由题意易知，为等腰直角三角形，
，，
．
设直线的解析式为：，
则：，解得，
直线的解析式为：①
又抛物线的解析式为：②
联立①②式，解得：或（与点重合，舍去）
，即点、点重合．
当时，，
；
若点为直角顶点，则．
，
抛物线的对称轴为直线．
如答图，作点，关于对称轴的对称点，
则点在抛物线上，且，．
当时，．
，．
点、，均在线段上，
综上所述，为直角三角形时，点的坐标为或，．
如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点．
（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标．
【解答】解：（1）依题意得：，
解之得：，
抛物线解析式为
对称轴为，且抛物线经过，
把、分别代入直线，
得，
解之得：，
直线的解析式为；
（2）设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小．
把代入直线得，，
，
即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为；
（3）设，
又，，
，，，
①若点为直角顶点，则即：解之得：；
②若点为直角顶点，则即：解之得：，
③若点为直角顶点，则即：解之得：，；
综上所述的坐标为或或 或．
如图，在矩形中，点为原点，点的坐标为，点的坐标为．抛物线经过点、，与交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，，连接，设，的面积为．
①求关于的函数表达式；
②当最大时，在抛物线的对称轴上，若存在点，使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将、两点坐标代入抛物线，得
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）①，，
，
过点作与点，则，
，
，
；
②，
当时，取最大值；
在抛物线对称轴上存在点，使为直角三角形，
抛物线的解析式为的对称轴为，
的坐标为，，
当时，，，
当时，则，，
当时，设，，
则，
即，
解得：，
，，，，
满足条件的点共有四个，坐标分别为
，，，，，，，．
如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点、不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接、．设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数解析式及自变量的取值范围，并求出的最大值；
（3）已知为抛物线对称轴上一动点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线解析式为，
即，解得：，
抛物线解析式为；
（2）设直线的函数解析式为，
直线过点，，
，解得，
，
设，，
，
，
，
当时，有最大值，最大值；
（3）设点，
则，，；
①当是斜边时，
；
解得：；
②当是斜边时，
同理可得：，
故点的坐标为：，．
等腰直角三角形
已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点运动到什么位置时，的面积有最大值？
（3）过点作轴的垂线，交线段于点，再过点做轴交抛物线于点，连结，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）抛物线过点、，
设抛物线解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
所以抛物线解析式为；
（2）如图1，过点作与点，交于点，作于点，
设直线解析式为，
将点、代入，得：
，
解得：，
则直线解析式为，
设其中，
则，
，
，
当时，位于时，的面积有最大值；
方法二：如图2，连接，作轴于点，作轴于点，
设其中，
则，，
，
当时，即位于时，的面积有最大值
（3）如图3，
若为等腰直角三角形，
则，
设点的横坐标为，点的横坐标为，
，，
则，
，
，
解得：或，
所以或，．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线下方抛物线上任意一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）点为抛物线对称轴上的一点，当以点，，为顶点的三角形为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达得：，解得，
故抛物线的表达式为；
（2）由点、的坐标得，直线的表达式为，
过点作轴的平行线交直线于点，
设点，则点，
则面积，
，故面积有最大值，
当时，面积的最大值为8，此时点；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，设点，，
由点、、的坐标得：，，，
当时，即，解得；
当时，同理可得：；
当时，同理可得：，
故点的坐标为，或，或，或，或，．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线顶点为点．
（1）求，，三点坐标；
（2）如图1，抛物线上有，两点，且轴，当是等腰直角三角形时，求线段的长度；
（3）如图2，连接，在直线上方的抛物线上有一动点，当面积最大时，点坐标．
【解答】解：（1）对于，令，解得或，令，则，
故点、、的坐标分别为、、，
函数的对称轴为，当时，，
故点的坐标为，
故，，三点坐标分别为、、；
（2）是等腰直角三角形，轴，
则根据函数的对称性，只有为直角一种情况，
设点，点和点关于函数对称轴对称，故点，
过点作与点，
是等腰直角三角形，故为等腰直角三角形，
故，即，
则，解得（舍去）或0，
故，
则；
（3）过点作轴交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
设点的坐标为，则点，
则面积，
，故面积存在最大值，此时，
故点，．
如图，抛物线经过点，．
（1）求抛物线与轴的另一个交点的坐标；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点是上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点，使为等腰三角形且是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线表达式知，函数的对称轴为，
而点，
根据点的对称性，则，
故点的坐标为；
（2）存在，理由：
抛物线经过点，，
、关于对称轴对称，如图1，连接，
与对称轴的交点即为所求的点，此时，
四边形的周长最小值为：，
，，，
设直线解析式为，把、两点坐标代入可得，解得，
直线的解析式为，
由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为，
当时，，
故点的坐标为，；
（3）存在，理由：
①当时，如图2，
在线段上
设，
，
只能，
轴，
，则，即，
解得：，
，；
②当时，如图3，
，
只能，
设，
，
，，
，则，即，
解得，
过点作交轴于点，
，即，
，
的解析式为，
当时，则，
，．
综上，在线段上存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形，点的坐标为，或，．