考点09 中考一轮复习之不等式与不等式组-2022届九年级《新题速递·数学》（人教版）

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考点09 中考一轮复习之不等式与不等式组

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

一、单选题（共14小题）

1.（2021春•城关区校级月考）如果关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣1

【答案】B
【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据数轴上的解集，来求得a的取值范围．
【解答】解：∵不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，
∴m+1＜0，
∴m＜﹣1，
故选：B．
【知识点】不等式的解集

2.（2021春•南岗区校级月考）小颖家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超过部分每立方米收费2元，小颖家每月用水量至少是（　　）
A．6立方米 B．7立方米 C．8立方米 D．9立方米

【答案】C
【分析】设小颖家每月用水量为x立方米，根据每月的水费＝1.8×5+2×超出5立方米的数量结合每月水费都不少于15元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：设小颖家每月用水量为x立方米，
依题意，得：1.8×5+2（x﹣5）≥15，
解得：x≥8．
故选：C．
【知识点】一元一次不等式的应用

3.（2021春•黄埔区期末）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a﹣1＞b﹣1 B．b﹣a＞0 C．ma＜mb D．﹣a＜﹣b

【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴0＜b﹣a，
即b﹣a＞0，故本选项符合题意；
C．当m≤0时，由a＜b不能推出ma＜mb（而是ma≥mb），故本选项不符合题意；
D．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，故本选项不符合题意；
故选：B．
【知识点】不等式的性质

4.（2021秋•海曙区期中）如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（　　）

A．≤x≤ B．≤x＜ C．＜x≤ D．＜x＜

【答案】C
【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：依题意得：，
解得：＜x≤．
故选：C．
【知识点】一元一次不等式组的应用

5.（2021春•硚口区期末）在平面直角坐标系中，将点A（m，m+9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B，若点B在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．﹣11＜m＜﹣4 B．﹣7＜m＜﹣4 C．m＜﹣7 D．m＞﹣4

【答案】B
【分析】首先根据平移表示出B点坐标，再根据B点所在象限列出不等式组，再解即可．
【解答】解：∵点A（m，m+9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B，
∴B（m+4，m+7），
∵点B在第二象限，
∴，
解得：﹣7＜m＜﹣4，
故选：B．
【知识点】坐标与图形变化-平移、解一元一次不等式组

6.（2021秋•青田县期末）若关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】D
【分析】先解不等式得到x＜（m﹣1），再根据正整数解是1，2，3得到3＜（m﹣1）≤4时，然后从不等式的解集中找出适合条件的最大整数即可．
【解答】解：解不等式3x+1＜m，得x＜（m﹣1）．
∵关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，
∴3＜（m﹣1）≤4，
∴10＜m≤13，
∴整数m的最大值是13．
故选：D．
【知识点】一元一次不等式的整数解

7.（2021秋•西城区校级月考）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（　　）
A．﹣2＜a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣3＜a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2

【答案】C
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出关于a的不等式组即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥a，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集为a≤x＜1，
∵关于x的不等式组的整数解共有3个，
∴﹣3＜a≤﹣2，
故选：C．
【知识点】一元一次不等式组的整数解

8.（2021春•渝中区校级期末）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（　　）
A．5 B．2 C．4 D．6

【答案】C
【分析】表示出方程的解，由方程的解为非负整数且不等式无解，确定出k的值即可．
【解答】解：解方程3﹣2x＝3（k﹣2）得x＝，
∵方程的解为非负整数，
∴≥0，即k≤3，即非负整数k＝1，3，
不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到k＞﹣1，
∴﹣1＜k≤3，即整数k＝0，1，2，3，
当k＝0时，x＝4.5，不是整数；
当x＝2时，k＝1.5，不是整数，两个k的值不符合题意，舍去；
综上，k＝1，3，
则符合条件的整数k的值的和为4．
故选：C．
【知识点】解一元一次不等式组、一元一次方程的解

9.（2021•科尔沁区模拟）若不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A．m≤8 B．m＜8 C．m≥8 D．m＞8

【答案】A
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知条件得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：解不等式＜﹣1得：x＞8，
又∵不等式组无解，
∴m≤8，
故选：A．
【知识点】解一元一次不等式组

10.（2021春•重庆期末）如果关于x的不等式组有且只有三个整数解，且关于x的方程2+a＝3（4﹣x）有整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣13

【答案】D
【分析】解不等式组得出不等式组的解集为﹣3≤x≤，根据其整数解的个数得出a的取值范围，再解方程得x＝，在以上所求a的范围中找到使方程有整数解的a的值，从而得出答案．
【解答】解：解不等式﹣1≤（x﹣1）得：x≥﹣3，
解不等式2x﹣a≤3（1﹣x），得：x≤，
则不等式组的解集为﹣3≤x≤，
∵不等式组只有三个整数解，即整数解为﹣3、﹣2、﹣1，
∴﹣1≤＜0，
解得﹣8≤a＜﹣3，
解方程2+a＝3（4﹣x）得x＝，
∵方程有整数解，
∴a＝﹣8或﹣5，
∴符合条件的所有整数a的和为﹣8+（﹣5）＝﹣13，
故选：D．
【知识点】一元一次不等式组的整数解、一元一次方程的解

11.（2021春•渝北区期中）使得关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的方程2﹣（a+y）＝2（y﹣3）有非负整数解的所有的整数a的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】D
【分析】解不等式组中两个不等式得出3﹣2a≤x＜2，结合其整数解的情况可得a≥2，再解方程得y＝，由其解为非负数得出a≤8，最后根据方程的解必须为非负整数可得a的取值情况．
【解答】解：解不等式（2x+5）＞x+1，得：x＜2，
解不等式（x+3）≤x+a，得：x≥3﹣2a，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴3﹣2a≤﹣1，
解得a≥2，
解关于y的方程2﹣（a+y）＝2（y﹣3）得y＝，
∵方程有非负整数解，
∴≥0，
则a≤8，
所以2≤a≤8，
其中能使为非负整数的有2，5、8，这3个，
故选：D．
【知识点】一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解

12.（2021春•沙坪坝区校级月考）若关于x的不等式组至少有六个整数解，且关于y的分式方程+1＝的解为整数，则符合条件的所有整数a有（　　）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A
【分析】不等式组整理后，由整数解至少有六个确定出a的范围，再由分式方程的解为整数确定出满足题意a的值即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：﹣5＜x≤a，
∵不等式组至少有六个整数解，
∴a≥1，
分式方程去分母得：﹣2+y﹣2＝﹣ay，即（a+1）y＝4，
解得：y＝（a≠﹣1且a≠1），
∵分式方程解为整数，
∴a+1＝±1，±2，±4，
解得：a＝0，﹣2，1，﹣3，3，﹣5，
∵a＞1，
∴a＝3，只有1个．
故选：A．
【知识点】一元一次不等式组的整数解、分式方程的解

13.（2021春•沙坪坝区校级期中）从﹣，﹣1，，，，2，这七个数字中，随机抽取一个数，记为a，若数a使得关于x的分式方程﹣3＝有整数解，且使关于y的不等式组无解，那么这七个数中所有满足条件的a的值之和为（　　）
A．﹣ B．0 C．1 D．

【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把数字代入判断确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组无解找出满足题意a的值，求和即可．
【解答】解：分式方程去分母得：x+3a﹣3（x﹣2）＝a﹣1，
去括号得：x+3a﹣3x+6＝a﹣1，
移项合并得：﹣2x＝﹣2a﹣7，
解得：x＝，
当a＝﹣时，x＝2，分式方程无解，不符合题意；
当a＝﹣1时，x＝2.5，不符合题意；
当a＝﹣时，x＝3，符合题意；
当a＝时，x＝5，符合题意；
当x＝时，x＝5.25，不符合题意；
当x＝2时，x＝5.5，不符合题意；
当x＝时，x＝6，符合题意，
将不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到＜，
解得：a＜，
综上，a＝﹣或a＝符合题意，
∴这七个数中所有满足条件的a的值之和为：﹣+＝1，
故选：C．
【知识点】分式方程的解、解一元一次不等式组

14.某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果积压的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出买进价的x%卖出，则（　　）
A．x%≥35% B．x%≤40% C．35%＜x%≤40% D．35%≤x%≤40%

【答案】D
【分析】某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，商店至少得赚回利润1100元，则3000+4000+1100即为最少收入；设商店应该将这批新进货高出买进价的x%卖出，则实际出售商品的收入为（3000×0.8+4000×0.9）（1+x%）；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入≤实际出售商品的收入＜以零售价出售的收入，代入求解即可．
【解答】解：设新进货应高出买进价的x%，
由题意得，则3000+4000+1100≤（3000×0.8+4000×0.9）×（1+x%）＜（3000×0.8+4000×0.9÷，
解得：≤x%＜，即35%≤x%＜40%
故选：D．
【知识点】一元一次不等式的应用


二、填空题（共10小题）

15.（2021春•邗江区期末）不等式组无解，则a的取值范围为　　．

【答案】a≤3
【分析】根据不等式的解集确定方法，大于大的小于小的无解即可得出答案．
【解答】解：∵不等式组无解，
∴a≤3，
故答案为：a≤3．
【知识点】不等式的解集

16.（2021秋•萧山区期中）疫情期间全国“停课不停学”初中生来清网上听课每节课a分钟，每天六节课，每天上网课总时长小于240分钟，可列不等式　　．

【答案】6a＜240
【分析】根据6节课的总时长小于240分钟，即可得出关于a的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：依题意，得6a＜240．
故答案为：6a＜240．
【知识点】由实际问题抽象出一元一次不等式

17.（2021春•鹿城区校级月考）不等式组的解是　　．

【答案】4＜x≤7
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＞3，得：x＞4，
解不等式≤4，得：x≤7，
则不等式组的解集为4＜x≤7，
故答案为：4＜x≤7．
【知识点】解一元一次不等式组

18.（2021春•南岗区校级月考）关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是　　．

【答案】0＜m≤1
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，由不等式组有3个整数解，确定出m的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：m≤x＜，
由不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3，
则m的取值范围是0＜m≤1．
故答案为：0＜m≤1．
【知识点】一元一次不等式组的整数解

19.（2021秋•市中区校级期中）对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4，（10]＝9．如果|（x]|＝3，则x的取值范围为　　．

【答案】3＜x≤4或-3＜x≤-2
【分析】根据题意，可以对x进行分类讨论，然后求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意可得，
当x＞0时，|（x]|＝（x]＝3，则3＜x≤4，
当x＜0时，|（x]|＝﹣（x]＝3，则﹣3＜x≤﹣2，
故答案为：3＜x≤4或﹣3＜x≤﹣2．
【知识点】绝对值、一元一次不等式的应用

20.（2021春•双流区校级期末）若不等式组的解集是x＞5，a则的取值范围为　　．
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：
解不等式①得：x＞2a，
解不等式②得：x＞5，
又∵不等式组的解集是x＞5，
∴2a≤5，
∴a≤，
故答案为：a≤．
【知识点】解一元一次不等式组

21.（2021秋•九龙坡区校级月考）重庆某笔记本电脑公司每年都会组织员工出国学习旅行，今年有A、B、C、D四个国家可供员工们选择（每名员工只能选择一个国家旅行），但要求选择A、C两个国家的人数相同，选择B、D两个国家的人数也相同，选择A、B两国的人数总和为100人，A、D两国的费用单价相等，B、C两个国的费用单价也相等，A、B两国的费用单价之和不超过8万元，且选择A、B两个国家的员工总费用比选择C、D两个国家员工总费用多20万元，则选择A、B两个国家员工总费用的最大值为　　万元．

【答案】410
【分析】设有x人选择A，A单价为y1万元，B单价为y2万元，依题意可知，B有（100﹣x）人，即x＜100，根据A、B两国的费用单价之和不超过8万元，且选择A、B两个国家的员工总费用比选择C、D两个国家员工总费用多20万元，可得y1+y2≤8①，即y1﹣y2≤②，依此可求y1＝，y2＝，从而求得A、B两个国家员工总费用的最大值．
【解答】解：设有x人选择A，A单价为y1万元，B单价为y2万元，
依题意可知，B有（100﹣x）人，即x＜100，
y1+y2≤8①，
xy1+（100﹣x）y2﹣[xy2+（100﹣x）y1]＝20，
即y1﹣y2＝，
∵x≤100，
∴x﹣50≤50，
≥，
即y1﹣y2≤②，
①+②得2y2≤，
解得y2≤，
代入①中，y1≤，
代入②中，y1≥，
∴y1＝，
∴y2＝，
∴A、B两个国家员工总费用为xy1+（100﹣x）y2，
∵B单价＞A单价，
∴x＝0时总费用最大，
最大值为0+（100﹣0）×＝410（万元）．
故选择A、B两个国家员工总费用的最大值为410万元．
故答案为：410．
【知识点】一元一次不等式的应用

22.（2021•百色模拟）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．
请结合上述材料，解决下列问题：
（1）M{（﹣2）2，22，﹣22}＝　　；
（2）若min{3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为　　．
【分析】（1）根据平均数的定义计算即可．
（2）根据题意列出一元一次不等式组解决问题即可．
【解答】解：（1）M{（﹣2）2，22，﹣22}＝＝；
（2）∵min{3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，
∴，
解得﹣2≤x≤4．
故x的取值范围为﹣2≤x≤4．
故答案为：；﹣2≤x≤4．
【知识点】解一元一次不等式组、实数大小比较、算术平均数

23.（2019春•沙坪坝区校级月考）随着电影《流浪地球》的热映，科幻大神刘慈欣的著作受到广大书迷的追捧，《流浪地球》《球状闪电》《三体》《超新星纪元》四部小说在某网上书城热销．已知《流浪地球》的销售单价与《球状闪电》相同，《三体》的销售单价是《超新星纪元》单价的3倍，《流浪地球》与《超新星纪元》的单价和大于40元且不超过50元；若自电影上映以来，《流浪地球》与《超新星纪元》的日销售量相同，《球状闪电》的日销售量为《三体》日销售量的3倍，《流浪地球》与《三体》的日销售量和为450本，且《流浪地球》的日销售量不低于《三体》的日销量的且小于230本；《流浪地球》《三体》的日销量额之和比《球状闪电》《超新星纪元》的日销售额之和多1575元．则当《流浪地球》《三体》这2部小说日销额之和最多时，《流浪地球》的单价为　　元．

【答案】23.75
【分析】设出未知数，表示四部小说的单价、数量、总价，分别根据题意，列出相应的方程或不等式，确定未知数的值，或未知数的取值范围，最后根据“当《流浪地球》《三体》这2部小说日销额之和最多时”求出相应的《流浪地球》的单价即可．
【解答】解：设《流浪地球》的单价为m元/本，《超新星纪元》单价为n元/本，则《球状闪电》的单价也为m元/本，《三体》的单价为3n元/本，
设《流浪地球》的销售量为a本，《三体》的销售量为b本，则《超新星纪元》的销售量为a本，《球状闪电》的销售量为3b本，
单价、数量、总价之间的关系可用下表表示：

∵《流浪地球》与《三体》的日销售量和为450本，
∴a+b＝450，即，b＝450﹣a，
∴《流浪地球》的日销售量不低于《三体》的日销量的且小于230本，
∴a≥b，a＜230，b＝450﹣a，
∴180≤a＜230，
又∵《流浪地球》与《超新星纪元》的单价和大于40元且不超过50元；
∴40＜m+n≤50，
∵《流浪地球》《三体》的日销量额之和比《球状闪电》《超新星纪元》的日销售额之和多1575元．
∴ma+n（1350﹣3a）＝m（1350﹣3a）+na+1575，
即：（m﹣n）（4a﹣1350）＝1575，
∵180≤a＜230，
∴4a﹣1350＜0，
∴m﹣n＜0，即m＜n，
当《流浪地球》《三体》这2部小说日销额之和最多时，即ma+n（1350﹣3a）＝ma+1350n﹣3an最大，
也就是3an的值最小，此时m最大，
∵a的最小值为180，代入（m﹣n）（4a﹣1350）＝1575，得，
m﹣n＝﹣2.5，即n＝m+2.5，
又∵∴40＜m+n≤50，即40＜m+m+2.5≤50，
∴19.75＜m≤23.75，
∵m需取最大值，
∴m＝23.75，
故答案为：23.75．
【知识点】一元一次不等式组的应用、一次函数的应用

24.（2019秋•昌江区校级期末）已知关于x的不等式组恰有三个整数解，则t的取值范围为　　　　　　　　．

【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出不等式组的解集，根据不等式组的整数解即可得出得出：一定存在一个整数k，满足满足下列关系：，并分情况讨论得出k的取值，再得t的取值范围．
【解答】解：
解不等式①得：x＜，
解不等式②得：x＞3﹣2t，
则不等式组的解集为：3﹣2t＜x＜，
∵不等式组有3个整数解，
∴一定存在一个整数k，满足满足下列关系：
，
解不等式组①得，，
解不等式组②得，，
（1）当，即k≥3时，则，
于是，，解得，，
∴3≤k＜，
∵k为整数，
∴k＝3，
此时，0＜t≤；
（2）当时，此时无解；
（3）当，即时，则k＝3，
于是，，
此时，0＜t≤；
（4）当，即k≤2时，则，
于是，，
解得，k＞2
∴，不存在整数k，
此时无解．
综上，0＜t≤．
故答案为：0＜t≤．
【知识点】一元一次不等式组的整数解


三、解答题（共10小题）

25.（2021•宁波）（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．
（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．

【分析】（1）直接利用单项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案；
（2）直接利用一元一次不等式的解法进而计算即可．
【解答】解：（1）（a+1）2+a（2﹣a）
＝a2+2a+1+2a﹣a2
＝4a+1；

（2）3x﹣5＜2（2+3x）
3x﹣5＜4+6x，
移项得：3x﹣6x＜4+5，
合并同类项，系数化1得：x＞﹣3．
【知识点】解一元一次不等式、完全平方公式、单项式乘多项式

26.（2021春•巴州区期末）（1）解不等式＜x﹣5，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解方程：＝．
（3）先化简：（1﹣）+，再从﹣3＜x＜1中选一个合适的整数代入求值．

【分析】（1）根据不等式的解法即可求出答案．
（2）根据分式方程的解法即可求出答案．
（3）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）∵，
∴x﹣8＜2x﹣10，
∴x﹣2x＜8﹣10，
∴﹣x＜﹣2，
∴x＞2，
如图，在数轴上表示，
．
（2）∵+＝，
∴1+x﹣2＝﹣6，
∴x﹣1＝﹣6，
∴x＝﹣5，
经检验，x＝﹣5是原分式方程的解．
（3）原式＝+
＝
＝
＝x+1，
由分式有意义的条件可知：x可取0，
当x＝0时，
原式＝1．
【知识点】分式的化简求值、在数轴上表示不等式的解集、一元一次不等式组的整数解、解分式方程、解一元一次不等式

27.（2021•镇江）（1）解方程：＝+1；
（2）解不等式组：

【分析】（1）解分式方程的步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验；
（2）先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出其解集，然后根据是否存在公共部分求解即可．
【解答】解：（1）＝+1，
2x＝1+x+3，
2x﹣x＝1+3，
x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，
∴此方程的解是x＝4；

（2），
①4x﹣x＞﹣2﹣7，
3x＞﹣9，
x＞﹣3；
②3x﹣6＜4+x，
3x﹣x＜4+6，
2x＜10，
x＜5，

∴不等式组的解集是﹣3＜x＜5．
【知识点】解一元一次不等式组、解分式方程

28.（2021•惠山区校级一模）（1）解方程：x2﹣2x＝4；
（2）解不等式组：．

【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）分别解两个不等式得到x≥﹣1和x＜3，然后根据大小、小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2），
解①得x≥﹣1，
解②得x＜3，
所以不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
【知识点】解一元二次方程-配方法、解一元一次不等式组

29.（2021春•沙河口区期末）为了让居民早日用上天然气，市燃气公司要给某小区用户改装天然气．现有360户申请了但还未改装的用户，此外每天还有新的申请．已知燃气公司每个小组每天改装的数量相同，且每天新申请的户数也相同，若安排2个小组同时做，则30天可以改装完所有新、旧申请；若再增加3个小组同时做，则可以减少20天就改装完所有新、旧申请．
（1）求该小区7天内有多少需要改装的新、旧申请用户？
（2）如果要求在7天内改装完所有新、旧申请，但前3天只能安排4个小组改装，那么最后几天至少需要增加多少个小组，才能完成任务？

【分析】（1）设每天申请用户数为x户，安装小组每天安装量为y户，根据2个小组同时做30天完成；5个小组同时做10天完成；列出方程组，求出x，y的值即可；
（2）设最后几天需要增加a个小组，根据7天的安装量大于等于新旧用户，列出不等式，求出x的最小正数解即可．
【解答】解：（1）设每天申请用户数为x户，安装小组每天安装量为y户，依题意得：
，
解得，
360+7×4＝388（户）．
故该小区7天内有388需要改装的新、旧申请用户；
（2）设最后几天需要增加a个小组，依题意得：
3×8×4+4×8（a+4）≥388，
解得a≥5.125，
∵a为整数，
∴a≥6的整数．
故最后几天至少需要增加6个小组，才能完成任务．
【知识点】二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用

30.（2021•广西）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．
（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．
（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求甲种树苗数量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？

【分析】（1）设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元，根据：“购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗共需5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需2800元”列方程组求解可得；
（2）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案；
（3）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，总费用为W，即可得出W关于a的函数关系，再根据一次函数的性质可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购买的甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的单价为y元．依题意得：
，
解这个方程组得：，
答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；
（2）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，由题意得，
，
解得，200≤a≤400．
∴甲种树苗数量a的取值范围是200≤a≤400．
（3）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，总费用为W，
∴W＝60a+100（500﹣a）＝50000﹣40a．
∵﹣40＜0，
∴W值随a值的增大而减小，
∵200≤a≤400，
∴当x＝400时，W取最小值，最小值为50000﹣40×400＝34000元．
即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低．
【知识点】二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用

31.（2021秋•牡丹江期末）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．
（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用：
甲超市购物所付的费用为　　元；
乙超市购物所付的费用为　　元；
（2）李明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？若购买700元的商品，应该去哪家超市？
（3）李明该如何选择购买会更省钱？

【答案】【第1空】（0.8x+60）
【第2空】（0.85x+30）
【分析】（1）根据甲超市购物所付的费用＝300+超过300元的部分×0.8，乙超市购物所付的费用＝200+超过200元的部分×0.85，即可得出结论；
（2）将x＝500分别代入（1）的代数式中，求出值比较后即可得出结论；
（3）令甲超市购物所付的费用＝乙超市购物所付的费用即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）甲超市购物所付的费用为300+0.8（x﹣300）＝（0.8x+60）元；
乙超市购物所付的费用为200+0.85（x﹣200）＝（0.85x+30）元．
故答案为：（0.8x+60）；（0.85x+30）；
（2）购买500元的商品，他应该去乙超市，理由如下：
当x＝500时，甲超市购物所付的费用＝0.8x+60＝460，乙超市购物所付的费用＝0.85x+30＝455，
∵460＞455，
∴他去乙超市划算；
购买700元的商品，他应该去甲超市，理由如下：
当x＝700时，甲超市购物所付的费用＝0.8x+60＝620，乙超市购物所付的费用＝0.85x+30＝625，
∵620＜625，
∴他去甲超市划算．
（3）依题意有0.8x+60＝0.85x+30，
解得：x＝600．
答：李明购买少于600元的商品时，去乙超市划算；李明购买600元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样；李明购买多于600元的商品时，去甲超市划算．
【知识点】一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用、列代数式

32.（2021春•青岛期末）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论购买数量是多少，价格均为6元/千克．在乙批发店，购买数量不超过50千克时，价格为7元/千克；购买数量超过50千克时，超出部分的价格为5元/千克．假设小王在某批发店购买苹果的数量为x千克（x＞0）．
（1）根据题意填表：
购买数量/千克
30
50
150
…
甲批发店费用/元
　　
300
　　
…
乙批发店费用/元
　　
350
　　
…
（2）假设在甲批发店购买苹果的费用为y元，求y与x之间的关系式；
（3）根据题意填空：
①若小王在甲、乙两个批发店购买的苹果的数量相同，且花费也相同，则他购买的苹果的数量为　　千克；
②若小王计划购买的苹果的数量为120千克，则他去　　批发店购买时的花费少；
③若小王购买苹果时花费了360元，则他去　　批发店购买的数量多．

【答案】【第1空】180
【第2空】900
【第3空】210
【第4空】850
【第5空】100
【第6空】乙
【第7空】甲
【分析】（1）根据题意，甲批发店花费 y1（元）＝6×购买数量x（千克）；6×30＝180，6×150＝900；而乙批发店花费 y2（元），当一次购买数量不超过50kg时，y2＝7×30＝210元；一次购买数量超过50kg时，y2＝7×50+5（150﹣50）＝850元．
（2）根据题意，甲批发店花费 y1（元）＝6×购买数量x（千克）．
（3）设在乙批发店花费y2元，求出y2关于x的函数解析式，
①花费相同，即y1＝y2；可利用方程解得相应的x的值；
②求出在x＝120时，所对应的y1、y2的值，比较得出结论．实际上是已知自变量的值求函数值．
③求出当y＝360时，两店所对应的x的值，比较得出结论．实际是已知函数值求相应的自变量的值．
【解答】解：（1）甲批发店：6×30＝180元，6×150＝900元；乙批发店：7×30＝210元，7×50+5（150﹣50）＝850元．
故依次填写：180；900；210；850．
（2）y1＝6x （x＞0）；
（3）设在乙批发店花费y2元，
当0＜x≤50时，y2＝7x （0＜x≤50），
当x＞50时，y2＝7×50+5（x﹣50）＝5x+100 （x＞50），
①当y1＝y2时，有：6x＝7x，解得x＝0，不合题意，舍去；
当y1＝y2时，也有：6x＝5x+100，解得x＝100，
故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克．
②当x＝120时，y1＝6×120＝720元，y2＝5×120+100＝700元，
∵720＞700，
∴乙批发店花费少．
故乙批发店花费少．
③当y＝360时，即：6x＝360和5x+100＝360；解得x＝60和x＝52，
∵60＞52，
∴甲批发店购买数量多．
故甲批发店购买的数量多．
故答案为：①100；②乙；③甲．
【知识点】一元一次不等式的应用、一次函数的应用

33.（2021春•开福区校级期末）若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最大值和最小值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“湘一代数式”．例如：关于x的代数式x2，当﹣1≤x≤1时，代数式x2在x＝±1时有最大值，最大值为1；在x＝0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在﹣1≤x≤1这个范围内，则称代数式x2是﹣1≤x≤1的“湘一代数式”．
（1）若关于x的代数式|x|，当1≤x≤3时，取得的最大值为　　，最小值为　　，所以代数式|x|　　（填“是”或“不是”）1≤x≤3的“湘一代数式”．
（2）若关于x的代数式是﹣2≤x≤2的“湘一代数式”，求a的最大值与最小值　　．
（3）若关于x的代数式|x﹣2|是m≤x≤4的“湘一代数式”，求m的取值范围　　．

【答案】【第1空】3
【第2空】1
【第3空】是
【第4空】6，-2
【第5空】-2≤m≤0
【分析】（1）根据“湘一代数式”定义即可得结果；
（2）分两种情况根据题意列出不等式组即可求a的最大值与最小值；
（3）根据“湘一代数式”定义即可求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵1≤x≤3，
当x＝3时，|x|取得的最大值为3，最小值为1，所以代数式|x|是1≤x≤3的“湘一代数式”，
故答案为：3，1，是；
（2）∵﹣2≤x≤2，
∴0≤|x|≤2，
∴2≤|x|+2≤4，
①当a≥0时，x＝0时，有最大值为﹣1，
当x＝2或﹣2时，有最小值为﹣1，
所以可得不等式组，
由①得：a≤6，
由②得：a≥﹣4，
所以0≤a≤6；
②a＜0时，x＝0时，有最小值为﹣1，
当x＝2或﹣2时，有最大值为﹣1，
所以可得不等式组，
由①得：a≥﹣2，
由②得：a≤12，
所以﹣2≤a＜0；
综上①②可得﹣2≤a≤6，
所以a的最大值为6，最小值为﹣2；
故答案为：6，﹣2；
（3）①当m＜0时，|x﹣2|＝2﹣x（m≤x≤2）或|x﹣2|＝x﹣2（2＜x≤4），
∴当x＝2时，|x﹣2|取最小值0，
当x＝m时，|x﹣2|取最大值2﹣m，
要使|x﹣2|是m≤x≤4的“湘一代数式”，
∴2﹣m≤4，
∴﹣2≤m＜0；
②当0≤m＜2时，|x﹣2|＝2﹣x（m≤x≤2）或|x﹣2|＝x﹣2（2＜x≤4），
∴当x＝2时，|x﹣2|取最小值0，
∵4﹣2＞2﹣m，
当x＝4时，|x﹣2|取最大值2，
要使|x﹣2|是m≤x≤4的“湘一代数式”，
∴m＝0；
③当2≤m≤4时，|x﹣2|＝x﹣2，
∴当x＝m时，|x﹣2|取最小值m﹣2，
当x＝4时，|x﹣2|取最大值2，
要使|x﹣2|是m≤x≤4的“湘一代数式”，
∴m﹣2≥m，无解，
当m＝4时，给定范围为x＝4，|x﹣2|＝2，不满足，
综上：若|x﹣2|是m≤x≤4的“湘一代数式”，m的取值范围是：﹣2≤m≤0，
故答案为：﹣2≤m≤0．
【知识点】解一元一次不等式组、一元一次不等式的应用

34.（2021•福安市校级模拟）为了应对全球新冠肺炎，满足抗疫物资的需求，福安某电机公司转型生产MD呼吸机和SMS呼吸机，其中MD呼吸机每台的成本为2000元，SMS呼吸机每台的成本为1800元，该公司计划生产这两种呼吸机共50台进行试销，设生产MD呼吸机x台，生产这批呼吸机的总费用为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）已知生产这批呼吸机的总费用不超过98000元，试销时MD呼吸机每台售价2500元，SMS呼吸机每台售价2180元，公司决定从销售MD呼吸机的利润中按每台捐献a（a＜120）元作为公司捐献国家抗疫的资金，若公司售完50台呼吸机并捐献资金后获得的利润不超过23000元，求a的取值范围．

【分析】（1）根据“总价＝单价×数量”即可得出y关于x的函数关系式；
（2）根据题意可以求得x的取值范围和利润与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意得
y＝2000x+1800（50﹣x）＝200x+90000，
即y关于x的函数关系式为y＝200x+90000；

（2）200x+90000≤98000，
解得：x≤40，
设公司售完50台呼吸机并捐献扶贫资金后获得的利润为w元，
则w＝（2500﹣2000﹣a）x+（2180﹣1800）（50﹣x）＝（120﹣a）x+19000，
∵a＜120，
∴120﹣a＞0，w随x的增大而增大，
∴当x＝40时，w取得最大值，
∴40（120﹣a）+19000≤23000，
解得：a≥20，
∴a的取值范围是20≤a＜120．
【知识点】一次函数的应用、一元一次不等式组的应用