考点10 中考一轮复习之三角形-2022届九年级《新题速递·数学》（人教版）

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考点10 中考一轮复习之三角形

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

一、单选题（共15小题）

1.（2021•宝山区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sinA的值为（　　）
A． B． C． D．

【答案】A
【分析】根据正弦的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
则sinA＝＝，
故选：A．
【知识点】勾股定理、锐角三角函数的定义

2.（2021秋•高明区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D
【分析】根据余弦的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
则cosB＝＝，
故选：D．
【知识点】锐角三角函数的定义、勾股定理

3.（2021•西湖区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（　　）
A．S＝ B．S＝ C．S＝ D．S＝

【答案】A
【分析】直接利用直角三角形的性质结合完全平方公式得出S与c的关系．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∴a2+b2＝c2，
∵Rt△ABC的面积S，
∴S＝ab，
∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
∴c2+4S＝25，
∴S＝．
故选：A．
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式、勾股定理

4.（2021秋•洪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（　　）

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】B
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，
∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．
故选：B．
【知识点】全等三角形的判定与性质

5.（2021秋•南京期末）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7

【答案】A
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝7，
∴EF＝7，
∵EC＝5，
∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．
故选：A．
【知识点】全等三角形的性质

6.（2021•松江区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C
【分析】延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得到CD＝BD＝4，AG＝2GD，再证明GE∥CD，则可判断△AEG∽△ACD，然后利用相似比可求出EG的长．
【解答】解：延长AG交BC于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴CD＝BD＝BC＝4，AG＝2GD，
∵GE⊥AC，
∴∠AEG＝90°，
而∠C＝90°，
∴GE∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴＝＝＝，
∴EG＝CD＝×4＝．
故选：C．

【知识点】三角形的重心

7.（2021春•新罗区期末）如图，一次函数l：y＝﹣x+2的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A为直角顶点在第一象限作等腰直角三角形ABC，则直线BC的解析式是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D
【分析】先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAE，得出C点坐标，用待定系数法即可求出直线BC的解析式．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+2中，
令x＝0得：y＝2；令y＝0，解得x＝5，
∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（5，0）．
若∠BAC＝90°，如图，作CE⊥x轴于点E，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAB+∠CAE＝90°，
又∵∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠BAO．
在△ABO与△CAE中
，
∴△ABO≌△CAE（AAS），
∴OB＝AE＝2，OA＝CE＝5，
∴OE＝OA+AE＝2+5＝7．
则C的坐标是（7，5）．
设直线BC的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
∴直线BC的解析式是y＝x+2．
故选：D．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形、一次函数图象上点的坐标特征

8.（2021秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6

【答案】C
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°．
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°．
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF．
∵AB＝11，∠B＝30°，
∴AD＝5.5，
∴DF＝5.5
故选：C．
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质

9.（2021秋•海淀区期末）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．

小聪作法正确的理由是（　　）
A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
D．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB

【答案】A
【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．
故选：A．
【知识点】作图—基本作图、全等三角形的判定、等腰三角形的性质

10.（2021秋•沈北新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（　　）

A．1 B． C． D．2

【答案】B
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，由EG⊥AB，CD⊥AB，可得EG∥CD，由平行线的性质可得∠GEB＝∠EFC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定Rt△EBC≌Rt△EBG，由全等三角形的性质可得∠CEB＝∠EFC及AG的值，进而可判定CF＝CE．设CF＝EG＝EC＝x，则AE＝3﹣x，在Rt△AEG中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即为CF的长．
【解答】解：过点E作EG⊥AB于点G，如图：

∵CD⊥AB于D，
∴EG∥CD，
∴∠GEB＝∠EFC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴EC⊥CB，
又∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，
∴EG＝EC．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5．
在Rt△EBC和Rt△EBG中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBG（HL），
∠CEB＝∠GEB，BG＝BC＝4，
∴∠CEB＝∠EFC，AG＝AB﹣BG＝5﹣4＝1，
∴CF＝CE．
设CF＝EG＝EC＝x，则AE＝3﹣x，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
（3﹣x）2＝x2+12，
解得x＝
∴CF的长是．
故选：B．
【知识点】角平分线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理

11.（2021秋•集贤县期末）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：
①△AOC≌△BOD；②AC＝BD；③∠AMB＝40°； ④MO平分∠BMC．
其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，①正确，进而得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确，由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，③正确，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），①正确，
∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，②正确，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，③正确，
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：

则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
故选：A．
【知识点】等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质

12.（2021秋•丰台区期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，延长CP，DP交OB，OA于点E，F．下列结论错误的是（　　）

A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．PC＝PE

【答案】D
【分析】根据AAS证明△POD≌△POC（AAS），可得结论．
【解答】解：∵OP平分∠AOB，
∴∠POD＝∠POC，
∵PD⊥OB，PC⊥OA，
∴∠PCO＝∠PDO，
在△POD和△POC中，
，
∴△POC≌△POD（AAS），
∴PC＝PD，OC＝OD，∠CPO＝∠DPO，故A，B，C正确；
故选：D．
【知识点】全等三角形的判定与性质、角平分线的性质

13.（2021秋•如皋市期中）如图，△ABC的顶点A是⊙O上的一个动点，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，边AC，AB分别交⊙O于点E，D，分别过点E，D作⊙O的切线交于点F，且点F恰好在边BC上，连接OC，若⊙O的半径为6，则OC的最大值为（　　）

A．+ B．2+ C．3+ D．5

【答案】A
【分析】如图，取EF的中点T，连接CT，OT，OF．想办法求出CT，OT，根据OC≤CT+OT，即可解决问题．
【解答】解：如图，取EF的中点T，连接CT，OT，OF．

∵∠EOD＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠EOD＝60°，
∵EF，FD是⊙O的切线，
∴FE＝FD，∠OEF＝∠ODF＝90°，
∴∠EOF＝∠DOF＝30°，
∴EF＝OE•tan30°＝2，
∴ET＝TF＝，
∴OT＝＝＝，
∵∠ECF＝90°，ET＝TF，
∴CT＝EF＝，
∴OC≤CT+OT，
∴OC≤+．
故选：A．
【知识点】圆周角定理、切线的性质、勾股定理

14.（2021•浙江自主招生）等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连结CE、BF交于点P，若＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A
【分析】作ED∥AC交BF于D，如图，根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，设ED＝4x，BE＝y，则FC＝3x，AF＝y，易得AE＝FC＝3x，再利用DE∥AF得到对应边成比例，利用比例的性质和解方程得到y＝6x，进而可得结果．
【解答】解：作ED∥AC交BF于D，如图，
∵ED∥FC，
∴＝＝，
设ED＝4x，BE＝y，则FC＝3x，AF＝y，
∵AB＝AC，
∴AE＝FC＝3x，
∵DE∥AF，
∴＝，即＝，
整理得y2﹣4xy﹣12x2＝0，
∴（y+2x）（y﹣6x）＝0，
∴y＝6x，
∴＝＝．
故选：A．

【知识点】黄金分割、等腰三角形的性质

15.（2021•无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+．
其中，正确结论的序号为（　　）

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③

【答案】D
【分析】①利用图象法判断或求出DQ的最大值，PC的最小值判定即可．
②设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝3﹣x﹣＝﹣x，因为∠A＝∠B＝60°，当＝时，△ADQ与△BPC相似，
即，解得x＝1或，推出当AQ＝1或时，两三角形相似．
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝×32﹣×x××﹣×3×（3﹣x﹣）×＝+x，当x取最大值时，可得结论．
④如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′＝PQ，此时四边形P′CDQ′的周长最小．求出CF的长即可判断．
【解答】解：①利用图象法可知PC＞DQ，或通过计算可知DQ的最大值为，PC的最小值为，所以PC＞DQ，故①错误．
②设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝3﹣x﹣＝﹣x，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴当＝或＝时，△ADQ与△BPC相似，
即或＝，解得x＝1或或，
∴当AQ＝1或或时，两三角形相似，故②正确
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP＝×32﹣×x××﹣×3×（3﹣x﹣）×＝+x，
∵x的最大值为3﹣＝，
∴x＝时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝，故③正确，
如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′＝PQ，此时四边形P′CDQ′的周长最小．

过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．
由题意，DD′＝2AD•sin60°＝，HJ＝DD′＝，CJ＝，FH＝﹣﹣＝，
∴CH＝CJ+HJ＝，
∴CF＝＝＝，
∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3+，故④错误，
故选：D．
【知识点】相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题、二次函数的最值


二、填空题（共9小题）

16.（2021秋•常熟市期中）若直角三角形的两条直角边分别为9和12，则它的斜边上的中线长为　　．

【答案】7.5
【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长＝＝15，
则斜边上的中线长＝×15＝7.5，
故答案为：7.5．
【知识点】直角三角形斜边上的中线

17.（2021秋•利通区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为　　．


【答案】5
【分析】作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∴△ABD的面积＝×5×2＝5．
故答案为5．

【知识点】角平分线的性质

18.（2021秋•利通区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A＝32°，则∠BCD＝　　°．


【答案】32
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得到∠BCD＝∠A，得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝32°，
故答案为：32．
【知识点】直角三角形的性质

19.（2021秋•宜兴市期中）如图，△ABC中，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，AC＝5，△AEC的周长为12，则AB＝　　．


【答案】7
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∵△AEC的周长为12，
∴AC+AE+EC＝12，
∴AC+AE+EB＝AC+AB＝12，
∴AB＝12﹣5＝7，
故答案为：7．
【知识点】线段垂直平分线的性质

20.（2021•虹口区一模）如图，图中提供了一种求cot15°的方法．作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝30°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，即可得∠D＝15°．如果设AC＝t，则可得CD＝（2+）t，那么cot15°＝cotD＝＝2+．运用以上方法，可求得cot22.5°的值是　　．

【分析】利用题中的方法构建一个Rt△ADC，使∠D＝22.5°，然后利用余切的定义求解．
【解答】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠D，
∵∠ABC＝∠BAD+∠D，
∴∠D＝∠ABC＝22.5°，
设AC＝t，则BC＝t，AB＝t，
∴CD＝BC+BD＝t+t＝（+1）t，
在Rt△ADC中，cotD＝＝＝+1，
∴cot22.5°＝+1．
故答案为+1．

【知识点】解直角三角形、含30度角的直角三角形

21.（2021秋•长春期末）如图，在△ABC中，AB＞AC．按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心、大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点D；连结CD．若AC＝4，且△ACD的周长为13，则AB的长为　　．


【答案】9
【分析】根据作图过程可得MN是BC的垂直平分线，所以CD＝BD，进而根据三角形周长即可求出AB的长．
【解答】解：根据作图过程可知：
MN是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵AC＝4，△ACD的周长＝AD+CD+AC＝13，
即AD+BD+4＝13，
∴AB＝9．
则AB的长为9．
故答案为：9．
【知识点】作图—基本作图、线段垂直平分线的性质

22.（2021秋•双阳区期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是　　．


【答案】5
【分析】作PE⊥BC于E，根据平行线的性质得到AD⊥CD，根据角平分线的性质计算，得到答案．
【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，
∴PA＝PE＝PD，
∵AD＝10，
∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，
故答案为：5．

【知识点】平行线的性质、角平分线的性质

23.（2021秋•河南期末）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为　　　．


【答案】6
【分析】作PF⊥AD于F，PG⊥BC于G，根据角平分线的性质得到PF＝PE＝3，PG＝PE＝3，根据平行线间的距离的求法计算即可．
【解答】解：作PF⊥AD于F，PG⊥BC于G，
∵AP是∠BAD的角平分线，PF⊥AD，PE⊥AB，
∴PF＝PE＝3，
∵BP是∠ABC的角平分线，PE⊥AB，PG⊥BC，
∴PG＝PE＝3，
∵AD∥BC，
∴两平行线AD与BC间的距离为PF+PG＝6，
故答案为：6．

【知识点】平行线之间的距离、角平分线的性质

24.（2021•浙江自主招生）如图所示，已知AB＝10，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正六边形APCDEF，以PB为底作等腰三角形BPN，连结PD，DN，则△PDN的面积的最大值是　　．



【分析】根据正六边形的性质求得EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，进而求得∠ADP＝30°，从而求得PD＝PA，设PA＝x．则PB＝10﹣x，根据等腰三角形的性质求得PM＝PB＝（10﹣x），根据三角形的面积就可得出S△PDN＝PD•PM＝﹣（x﹣5）2+，从而得出△PDN的面积的最大值．
【解答】解：连接AD，作NM⊥PB于M，
∵六边形APCDEF是正六边形，
∴EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADP＝30°
∴PD＝PA，
∵DP⊥AB，NM⊥PB
∴PD∥MN，
∴PM就是△PDN的PD边的高，
设PA＝x．则PB＝10﹣x，
∵在等腰△BPN中，MN⊥PB，
∴PM＝PB＝（10﹣x），
∴S△PDN＝PD•PM＝×x×（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+（0＜x＜10），
∴△PDN的面积的最大值为：．
故答案为：．

【知识点】正多边形和圆、等腰三角形的性质、二次函数的最值


三、解答题（共10小题）

25.（2021秋•卫辉市期末）星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD1.3米处，在距离鱼线1.2米处D点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才能到这鱼饵处？


【分析】根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，
由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB﹣BE＝AB﹣DC＝1.3﹣0.8＝0.5（m），
故AC＝＝＝1.3（m），
则1.3÷0.2＝6.5（s），
答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．

【知识点】勾股定理的应用

26.（2021秋•海淀区期中）如图，在△ABC和△DCB中，AB⊥AC，CD⊥BD，AB＝DC，AC与BD交于点O．求证：AC＝BD．


【分析】根据已知条件，用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DCB，则可得出答案．
【解答】证明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）．
∴AC＝BD．
【知识点】全等三角形的判定与性质

27.（2021•花都区一模）如图，在▱ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝DF．


【分析】利用平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，再利用平行线的性质可得∠DAF＝∠BCE，结合AAS判定△AFD≌△CEB，进而可得BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE．
又∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AFD＝∠CEB＝90°，
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB（AAS），
∴BE＝DF．

【知识点】全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质

28.（2021秋•崆峒区期末）如图，已知在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，∠A＝60°，∠BDC＝80°，求∠DBC的度数．


【分析】利用三角形的外角性质可求出∠ABD的度数，再结合角平分线的定义可得出∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠BDC＝80°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝80°﹣60°＝20°．
又∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD＝20°．
【知识点】角平分线的定义、三角形的外角性质

29.（2021春•龙泉驿区期末）已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠E＝∠F，DE＝BF．求证：AE＝CF．（每一行都要写依据）


【分析】由AD∥CB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ADB＝∠CBD，由等角的补角相等可得出∠ADE＝∠CBF，结合DE＝BF，∠E＝∠F可证出△ADE≌△CBF（ASA），再利用全等三角形的性质可证出AE＝CF．
【解答】证明：∵AD∥CB（已知），
∴∠ADB＝∠CBD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADE＝∠CBF（等角的补角相等）．
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF（全等三角形的对应边相等）．

【知识点】全等三角形的判定与性质

30.（2021秋•番禺区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
（2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数．


【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝76°，根据等腰三角形的性质求出∠EAB+∠GAC，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∵△AEG的周长为10，
∴AE+EG+AG＝10，
∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10；
（2）∵∠BAC＝104°，
∴∠B+∠C＝180°﹣104°＝76°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝76°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝104°﹣76°＝28°．
【知识点】线段垂直平分线的性质

31.（2021秋•抚顺县期末）已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
（1）如图1，当α＝60时，
①请直接写出△ABC和△DEC的形状；
②求证：AD＝BE；
③请求出∠AEB的度数；
（2）如图2，当α＝90°时，请直接写出：
①∠AEB的度数；
②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长．


【分析】（1）①由等边三角形的判定可求解；
②由“SAS”可证△CDA≌△CEB，可得AD＝BE；
③由全等三角形的性质可得∠CEB＝∠CDA＝120°，由平角的性质可求解；
（2）①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC＝135°，可得结论；
②由全等三角形的性质可得AD＝BE＝2，由外角的性质和等腰三角形的性质可求AD＝CD＝DF＝2，即可求解．
【解答】解：（1）①∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴△ABC和△DEC是等边三角形；
②∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AD＝BE，
③∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB＝∠CDA＝120°，
又∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；
（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，∠CDE＝45°＝∠CED，
∴∠ADC＝135°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝90°，
②∵△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD＝2，
∵∠CAF＝∠BAF＝22.5°，∠CDE＝45°＝∠CAD+∠ACD，
∴∠ACD＝∠CAD＝22.5°，
∴AD＝CD＝2，
∵∠DCF＝90°﹣∠ACD＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°，
∴∠DCF＝∠AFC，
∴DC＝DF＝2，
∴AF＝AD+DF＝4．
【知识点】全等三角形的判定与性质

32.（2021秋•中山市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）求∠ADB的度数；
（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．


【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，
∵DB＝DC，∠DCB＝30°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD （SSS），
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；
（2）DE＝AD+CD，
理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，
∵∠ADE＝60°，DM＝AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AME＝120°．
∵AE＝AB，
∴∠ABD＝∠E，
在△ABD和△AEM中，
，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD＝ME，
∵BD＝CD，
∴CD＝ME．
∵DE＝DM+ME，
∴DE＝AD+CD．

【知识点】全等三角形的判定与性质

33.（2021秋•海珠区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
（1）求证：OC＝AD；
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；
（3）当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？


【分析】（1）先根据等边三角形的性质得∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝BA，BC＝BD，则∠OBC＝∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD，由全等三角形的判定与性质可得出结论；
（2）由△AOB是等边三角形知∠BOA＝∠OAB＝60°，再由△OBC≌△ABD知∠BAD＝∠BOC＝60°，根据∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD可得结论；
（3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC＝120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，求得AC＝AE＝2，据此得到OC＝1+2＝3，即可得出点C的位置．
【解答】解：（1）∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，
∴∠OBC＝∠ABC，
在△OBC和△ABD中，
∵，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC＝AD；

（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BOA＝∠OAB＝60°，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°；

（3）∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC＝∠BAD＝60°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，
∴AE＝2，
∴AC＝AE＝2，
∴OC＝1+2＝3，
∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
【知识点】三角形综合题

34.（2021秋•金昌期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD．试探索以下问题：
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED．
（2）如图2，当点E不是AB的中点时，过点E作EF∥BC，交AC于点F，求证：△AEF是等边三角形．
（3）在（2）的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由．


【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，再由E是AB的中点，AE＝BE＝BD，证出∠EDB＝∠ECB，得出EC＝ED；
（2）在△AEF中，只要证明有两个内角是60°即可；
（3）只要证明△DBE≌△EFC，即可推出结论；
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，∠ECB＝∠ACB＝30°，
∵AE＝BD，
∴BE＝BD，
∴∠EDB＝∠DEB＝∠ABC＝30°，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴EC＝ED．

（2）过E点作EF∥BC交AC于F点．如图2所示：
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
∴△AEF是等边三角形．

（3）ED＝EC． 理由如下：
∵△AEF是等边三角形．
∴∠AFE＝∠ABC＝60°
∴∠EFC＝∠DBE＝120°，
又∵AE＝BD，AB＝AC，
∴BD＝EF，BE＝FC，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED＝EC．

【知识点】全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质