考点23-2 实际问题-一次函数实际问题-2022年中考数学专项分类提分训练（天津专用）

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考点23—2 实际问题——一次函数实际问题

1．某店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多10元，王老师从该店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费245元．
（1）该店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该店决定用不超过2195元购进甲、乙两种羽毛球共50筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的．已知甲种羽毛球每筒的进价为45元，乙种羽毛球每筒的进价为37元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出该店所获利润（元）与甲种羽毛球进货量（筒）间的函数关系式，并说明当为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲种羽毛球每筒的售价为55元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；（2），当时，所获利润最大，最大利润为486元
【分析】
（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，由条件可列方程组，则可求得答案；
（2）购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（50﹣m）筒，由条件可得到关于m的不等式组，则可求得m的取值范围，用m可表示出W，可得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质和m的取值可求得答案．
【解析】
解：（1）设甲种羽毛球每筒的售价为元，乙种羽毛球每筒的售价为元，
根据题意可得，
解得，
答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为55元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；
（2）若购进甲种羽毛球筒，则乙种羽毛球为筒，
根据题意可得：，
解得：，
根据题意可得：，
∵，
∴随的增大而增大，且．
又∵为整数，
∴当时，最大，最大值为486．
答：当时，所获利润最大，最大利润为486元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组、找准各量之间的数量关系列出函数解析式是解题的关键．
2．某商场销售台型和台型加湿器的利润为元，销售台型和台型加湿器的利润为元．
（1）求每台型加湿器和每台型加湿器的销售利润；
（2）该商场计划一次购进两种型号的加湿器共台，设购进型加湿器台，这台加湿器的销售总利润为元．
①求关于的函数关系式；
②若型加湿器的进货量不超过型加湿器的倍，则该商场应怎样进货才能使销售总利润最大？
【答案】（1）50元；100元；（2）①； ②购进台型加湿器和台型加湿器
【分析】
（1）设每台型加湿器的销售利润为元，每台型加湿器的销售利润为元，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）①根据题意得到，故可求解；
②根据题意得，解得，根据一次函数的性质可得当时，取最大值，故可求解．
【解析】
解：（1）设每台型加湿器的销售利润为元，每台型加湿器的销售利润为元
根据题意得
解得
答：每台型加湿器的销售利润为元，每台型加湿器的销售利润为元
（2）①根据题意得，
即
②根据题意得，解得
，
随的增大而减小．
为正整数，
当时，取最大值，则，
即商店购进台型加湿器和台型加湿器的销售总利润最大．
【点睛】
此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出方程组与函数关系式进行求解．
3．某商场新上市一款毛衣，进价是40元，当售价为80元，一天可以销售20件．若售价每降价1元，则每天可以多卖2件．设售价为x元，当天的销售量为y件．
（1）销售量y与售价x之间的函数表达式为______；
（2）在尽可能增大销售量的前提下，问这款毛衣降价后的售价为多少元时，商场当天可获利1200元？
【答案】（1）y＝﹣2x+180；（2）毛衣降价后的售价为60元时，商场当天可获利1200元．
【分析】
（1）设售价为x元，根据售价每降低1元，平均每月多售出2件．可得平均每月的销售量y（件）与x满足的函数关系式；
（2）根据销售利润＝一件毛衣的利润×销售童装的数量可得方程，利用方程求解．
【解析】
（1）设售价为x元，
则平均每月的销售量y（件）与x满足的函数关系式为：y＝20+2（80﹣x），
化简整理，得y＝﹣2x+180；
故答案是：y＝﹣2x+180；
（2）根据题意，得
（x﹣40）（﹣2x+180）＝1200，
解得x1＝70，x2＝60．
因为是尽可能增大销售量，所以x＝60符合题意．
答：这款毛衣降价后的售价为60元时，商场当天可获利1200元．
【点睛】
本题考查列二元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是掌握列二元一次方程和一元二次方程的应用.
4．用二元一次方程组解决问题：近日由于城市地下水管老旧破裂，全市停水．小明去超市购买生活用水，已知大桶矿泉水每桶5升，价值10.5元，小瓶矿泉水每瓶500毫升，价值1.5元．（1升=1000毫升）
（1）若小明要购买1大桶矿泉水和3小瓶矿泉水，需要 元；
（2）若小明生活用水总量为20升，共花费46.5元，问这两种矿泉水各买多少？
【答案】（1）15；（2）
【分析】
（1）依据单价乘以数量直接得到答案，
（2）设大桶矿泉水x桶 ，小瓶y瓶，依据题意列出二元一次方程组可得答案．
【解析】
解：（1）小明要购买1大桶矿泉水和3小瓶矿泉水，
需要花费：（元）．
故答案为：15
（2）设大桶矿泉水x桶 ，小瓶y瓶，依据题意得：,

①得： 　③
③－②得：
解得：
把代入①得：
所以方程组的解是：．
答：小明要购买3大桶矿泉水和10小瓶矿泉水．
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的应用，掌握列方程组应用题是解题的关键．
5．某书店最近有两本散文集比较畅销，近两周的销售情况是:第一周销售数量是 本，销售数量是本，销售总价是元；第二周销售数量是本，销售数量是本，销售总价是元.
求散文集的销售单价，
若某班准备用不超过元钱购买散文集共本，求最多能买多少本散文集？
【答案】(1)A散文集的销售单价为每本元，B散文集的销售单价为每本元；(2)最多能够买本散文集.
【分析】
（1）根据题意，列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意，列出不等式，求解即可.
【解析】
设A散文集的销售单价为每本元，B散文集的销售单价为每本元
根据题意，得
解得
答：A散文集的销售单价为每本元，B散文集的销售单价为每本元
设能够买本散文集，得:
，
解得:，
则最多能够买本散文集
【点睛】
此题主要考查二元一次方程组以及不等式的实际应用，解题关键是理解题意，列出关系式.
6．为了预防新型冠状病毒感染，市场上防护口罩出现热销．某药店购进了一批A，B两种不同型号口罩进行销售．下表是甲、乙两人购买A，B两种型号口罩的情况:

A型号数量（单位：个）
B型号数量（单位：个）
总售价（单位：元）
甲
1
3
26
乙
3
2
29
(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元?
(2)小王准备购买A型口罩35个，B型口罩15个；小丽准备购买A型口罩37个，B型口罩13个，求他们各需付款多少元?
【答案】（1）一个A型口罩的售价是5元，一个B型口罩的售价是7元；（2）小王需要付款280元，小丽需要付款276元．
【分析】
(1)设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，根据甲、乙两人购买A，B两种型号口罩的数量及总价，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)根据总价=单价×数量，可分别求出小王和小丽的付款金额．
【解析】
(1)设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，
根据题意，得，
解得，
答:一个A型口罩的售价是5元，一个B型口罩的售价是7元；
(2)小王购买A型口罩35个，B型口罩15个需付款：35×5+15×7=280(元)；
小丽购买A型口罩37个，B型口罩13个需付款：37×5+13×7= 276(元)．
答：小王需要付款280元，小丽需要付款276元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
7．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求，的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求的最大值．
【答案】（1）的值为10，的值为14；（2）有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）的最大值为1.8．
【分析】
（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）求出（2）中各购买方案的总利润，比较后可得出获得最大利润时售出甲、乙两种蔬菜的重量，再根据总利润＝每千克利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】
（1）依题意，得：，
解得：.
答：的值为10，的值为14.
（2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克，
依题意，得：，
解得：.
∵为正整数，
∴，
∴有3种购买方案，
方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克.
（3）设超市获得的利润为元，
则.
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为.
依题意，得：，
解得：.
答：的最大值为1.8．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
8．我国古代算书《四元玉鉴》记载“二果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千；甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”其大意是：“现有九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个；九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱．请问甜果和苦果各买多少个，各花多少文钱？”
（1）每个甜果 文钱，每个苦果 文钱．
（2）求甜果和苦果各买多少个，各花多少文钱？
【答案】（1），；（2）甜果买了657个，花了803文钱，苦果买了343个，花了196文钱．
【分析】
（1）由单价等于总价除以数量即可求解；
（2）设甜果买了x个，苦果买了y个，根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求出结论．
【解析】
解：（1）每个甜果的价格= （文），每个苦果的价格=（文），
故答案为： ；．
（2）设甜果买个，苦果买个
根据题意，得
①－②得：
即：③
①＋③：

把代入①得：
所以：
（文），（文）
答：甜果买了657个，花了803文钱，苦果买了343个，花了196文钱．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．某商场第一次购进20件A商品，40件B商品，共用了1980元．脱销后，在进价不变的情况下，第二次购进40件A商品，20件B商品，共用了1560元．商品A的售价为每件30元，商品B的售价为每件60元．
（1）求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）为了满足市场需求，需购进A，B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的3倍，请你设计进货方案，使这1000件商品售完后，商场获利最大，并求出最大利润．
【答案】（1）A种商品每件的进价为19元，B种商品每件的进价为40元；（2）当购进A种商品750件、B种商品250件时，销售利润最大，最大利润为13250元．
【分析】
(1)设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品(1000-m)件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
【解析】
(1)设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种商品每件的进价为19元，B种商品每件的进价为40元；
(2)设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品(1000﹣m)件，
根据题意得：w=(30﹣19)(1000﹣m)+(60﹣40)m=9m+11000．
∵A种商品的数量不少于B种商品数量的3倍，
∴，
解得：，
∵在w=9m+11000中，k=9＞0，
∴w的值随m的增大而增大，
∴当m=250时，w取最大值，最大值为9×250+11000=13250，
∴当购进A种商品750件、B种商品250件时，销售利润最大，最大利润为13250元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：(1)找准等量关系，列出二元一次方程组；(2)根据数量关系，找出与之间的函数关系式．
10．某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的铁观音，已知采购2斤甲型铁观音和1斤乙型铁观音共需要550元，采购3斤甲型铁观音和2斤乙型铁观音共需要900元．
（1）甲、乙两种型号的铁观音每斤分别是多少元？
（2）该茶叶店准备用不超过3500元的资金采购甲、乙两种型号的铁观音共20斤，其中甲种型号的铁观音不少于8斤，采购的斤数需为整数，那么该茶店有几种采购方案？
（3）在⑵的条件下，已知该茶叶店销售甲型铁观音1斤可获利m（m>0）元，销售乙型铁观音1斤可获利50元，则该茶叶店哪种进货方案可获利最多？
【答案】（1）甲型铁观音每斤200元，乙型铁观音每斤150元；（2）有三种方案：①购买甲型号铁观音8斤，乙型号铁观音12斤；②购买甲型号铁观音9斤，乙型号铁观音11斤；③购买甲型号铁观音10斤，乙型号铁观音10斤；（3）当时，第一种方案获利最多；当时，三种方案获利一样； 时，第三种方案获利最多．
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
（3）根据（2）中的购买方案计算出三种方案的利润，然后再进行比较即可．
【解析】
解：（1）设甲型铁观音单价元/斤，乙型铁观音铁观音单价元/斤，
列方程组得：
解得：
经检验符合题意，
答：甲型铁观音每斤200元，乙型铁观音每斤150元．
（2）设购买甲型号铁观音斤，则购买乙型号铁观音斤，依题意得，

解得，
又∵为整数
∴
所以有三种方案如下：
①购买甲型号铁观音8斤，乙型号铁观音12斤；
②购买甲型号铁观音9斤，乙型号铁观音11斤；
③购买甲型号铁观音10斤，乙型号铁观音10斤；
（3）有（2）得，三种方案可获利情况：
方案一：（元）
方案二：（元）
方案三：（元）
∴当时，第一种方案获利最多；
当时，三种方案获利一样；
时，第三种方案获利最多．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
11．某天，一蔬菜经营户用90元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：
问：（1）西红柿和豆角的重量各是多少？（列二元一次方程组求解）
（2）他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
品名
西红柿
豆角
批发价（单位：元/kg）
2.5
1.5
零售价（单位：元/kg）
3.5
2.8

【答案】（1）西红柿的重量是30kg，豆角的重量是10kg；（2）43元
【分析】
（1）设西红柿的重量是xkg，豆角的重量是ykg，根据题意列出二元一次方程方程组即可求解；
（2）根据题意即可列式求解．
【解析】
解：（1）设西红柿的重量是xkg，豆角的重量是ykg．
依题意有，
解得．
答：西红柿的重量是30kg，豆角的重量是10kg．
（2）他当天赚的钱＝(3.5-2.5)×30+(2.8-1.5)×10＝43（元）．
【点睛】
此题主要考查二元一次方程方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．
12．某自行车行销售、两种品牌的自行车，若购进品牌自行车5辆，品牌自行车6辆，需要进货款9500元，若购进品牌自行车3辆，品牌自行车2辆，需要进货款4500元．
（1）求、两种品牌自行车每辆进货价分别为多少元；
（2）今年夏天，车行决定购进、两种品牌自行车共50辆，在销售过程中，品牌自行车的利润率为80%，品牌自行车的利润率为60%，若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500元，那么此次最少购进多少辆品牌自行车？
【答案】（1）型车的进价为1000元，型车的进价为750元；（2）最少购进20辆品牌自行车
【分析】
（1）首先设型车的进价为元，型车的进价为元，然后根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）首先设购进型车辆，然后根据题意列出不等式，求解即可.
【解析】
（1）设型车的进价为元，型车的进价为元．

解得：
答：型车的进价为1000元，型车的进价为750元；
（2）设购进型车辆．
根据题意，得
，
解得，
所以型车最少购进20辆．
【点睛】
此题主要考查二元一次方程组以及不等式的实际应用，熟练掌握，即可解题.
13．某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元
（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元
（2）根据市场调研，1株甲种花木的售价为760元，1株乙种花木的售价为540元，该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种苗木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？
【答案】（1）甲、乙两种花木每株成本分别为400元、300元；
（2）三种具体方案：
①种植甲种花木18株，种植乙种花木3a+10=64株；
②种植甲种花木19株，种植乙种花木3a+10=67株；
③种植甲种花木20株，种植乙种花木3a+10=70株．
【分析】
（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元．
此问中的等量关系：①甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；②培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．列方程组求解即可.
（2）结合（1）中求得的结果，根据题目中的不等关系：①成本不超过30000元；②总利润不少于21 600元．列不等式组进行分析．
【解析】
解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元．
由题意得：，
解得：．
答：甲、乙两种花木每株成本分别为400元、300元；
（2）设种植甲种花木为a株，则种植乙种花木为（3a+10）株．
则有：
解得：
由于a为整数，
∴a可取18或19或20．
所以有三种具体方案：
①种植甲种花木18株，种植乙种花木3a+10=64株；
②种植甲种花木19株，种植乙种花木3a+10=67株；
③种植甲种花木20株，种植乙种花木3a+10=70株．
【点睛】
解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．注意：利润=售价-进价．
14．元旦联欢会前，班级买了甲、乙、丙三种笔记本作为奖品，共买了本，花了元，其中乙种笔记本数量是甲种笔记本数量的倍，已知甲种笔记本单价为元，乙种笔记本单价为元，丙种笔记本单价为元．
求甲、乙、丙三种笔记本各买了多少本?
若购买奖品的费用又增加了元，且购买奖品的总数量及购买乙种笔记本数量不变，则最多可以购买甲型笔记本多少本?
【答案】（1）甲、乙、丙三种笔记本的数量分别为5本，10本，15本．（2）最多可以购买11本甲种笔记本．
【分析】
（1）设甲种笔记本买了本，乙种笔记本买了本，根据题意，列出二元一次方程组即可求出结论；

（2）设购买甲种笔记本本，根据题意列出一元一次不等式即可求出结论．
【解析】
（1）解：设甲种笔记本买了本，乙种笔记本买了本，列方程组
得
解得 ，
∴丙种：30-5-10=15，
答：甲、乙、丙三种笔记本的数量分别为5本，10本，15本．
（2）设购买甲种笔记本本，
≤100+25
解得≤，
∵为整数，
∴的最大值为11，
答：最多可以购买11本甲种笔记本．
【点睛】
此题考查的是二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键．
15．某水果店11月份购进甲、乙两种水果共花费1800元，其中甲种水果10元/千克，乙种水果16元/千克．12月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果13元/千克，乙种水果18元/千克．
（1）若该店12月份购进这两种水果的数量与11月份都相同，将多支付货款400元，求该店11月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
（2）若12月份将这两种水果进货总量减少到130千克，设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，求w与a的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若甲种水果不超过80千克，则12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
【答案】（1）该店11月份购进甲水果100千克，乙水果50千克；（2）w与a的函数关系式为w=－5a＋2340；（3）12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1940元．
【分析】
（1）设11月进甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据题意列二元一次方程组、解二元一次方程组即可；
（2）设甲为千克，计算乙为千克，根据总货款=甲货款+乙货款，货款=单价进货量，据此解题；
（3）根据一次函数的增减性解题即可．
【解析】
（1）设11月进甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据题意得：

解得
答：该店11月份购进甲水果100千克，乙水果50千克．
（2）设甲为千克，则乙为千克，
由题意得：
；
（3），w随的增大而减小，要货款w最少，则要最大，
即当时，
即12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1940元．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．就目前情况，新冠肺炎疫情防控一点也不能放松，“戴口罩､勤洗手､少聚会”仍是疫情防控的有效措施．为保证防疫口罩供应，某医药公司保持每月生产甲､乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本､售价如下表：
口罩型号
甲
乙
成本（元/只）
1
3
售价（元/只）
1.5
6
（1）该公司去年十二月份的口罩销售总收入为39万元，求该月公司生产甲､乙两种型号的口罩分别是多少万只?
（2）设该公司每个月生产甲种型号口罩a万只，月利润为w万元，求w与a的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）如果公司在今年一月份投入口罩生产的总成本不超过28万元，应怎样安排甲､乙两种型号防疫口罩的产量，可使本月公司所获利润最大?并求出最大利润．
【答案】（1）去年十二月份公司生产了甲型号口罩18万只，乙型号口罩2万只；（2）；（3）应安排生产甲型号口罩16万只，乙型号口罩4万只，可使本月公司所获利润最大，最大利润为20万元．
【分析】
（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种型号的口罩分别是多少万只；
（2）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式，
（3）根据公司一月份投入总成本不超过28万元列不等式，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到一月份该公司最多获得总利润多少万元．
【解析】
解：（1）设甲型号口罩生产了x万只，乙型号口罩生产了y万只，依题意得：

解之得：
答：去年十二月份公司生产了甲型号口罩18万只，乙型号口罩2万只．
（2）依题意得：
即
（3）依题意：
解之得：
又∵在中，
∴w随着a的增大而减小
∴当时，w取得最大值，（万元）
此时，（万只）
∴应安排生产甲型号口罩16万只，乙型号口罩4万只，可使本月公司所获利润最大，最大利润为20万元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
17．甲、乙两名同学沿直线进行登山，两人沿相同的路线从山脚出发到达山顶．甲同学全程以相同的速度行走；乙同学在乘观光车到达山腰的观光亭歇息一段时间后再步行山顶，两名同学同时到达山顶．他们离山脚的距离y（米）随时间x（分钟）变化的图象如图所示．根据图象中的有关信息回答下列问题：

（1）分别求出甲、乙两名同学步行时的速度；
（2）分别求出甲同学从山脚出发步行到达山顶和乙同学在山脚乘观光车到达山腰的观光亭时y与x之间的关系式；
（3）乙同学出发多长时间与甲同学在途中相遇？
【答案】（1）甲、乙两名同学步行时的速度分别为：60米/分，80米/分；（2）甲：；乙：；（3）5分钟或30分钟
【分析】
（1）根据图象得出甲乙的路程和时间计算即可；
（2）设甲同学从山脚出发步行到达山顶时的函数解析式为：，设乙同学在山脚乘观光车到达山腰的观光亭时，y与x之间的函数关系式为，带点求解即可；
（3）联立方程组求解即可；
【解析】
（1）甲同学步行的速度为：（米/分）；
乙同学步行的速度为：（米/分）．
答：甲、乙两名同学步行时的速度分别为：60米/分，80米/分．
（2）设甲同学从山脚出发步行到达山顶时的函数解析式为：，
将代入得，
∴甲同学从山脚出发步行到达山顶时的函数解析式为：，
设乙同学在山脚乘观光车到达山腰的观光亭时，y与x之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
∴乙同学在山脚乘观光车到达山腰的观光亭时，y与x之间的函数关系式为；
（3）由，解得，
即甲同学出发25钟与乙同学第一次相遇，即乙同学出发5分钟时与甲同学第一次相遇；
在中，令，解得：，
即乙同学出发30分钟时甲同学与乙同学第二次相遇．
∴乙同学出发5分钟和30分钟与甲同学两次在途中相遇．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，准确分析计算是解题的关键．
18．某社区的游泳馆按照顾客游泳的次数收取费用，每次的全票价为40元．在盛夏即将来临时，为吸引更多的顾客再次光顾，推出了以下两种收费方式．
方式一：先交250元会员费，每次游泳按照全票价的7.5折收取费用；
方式二：第一次收全票价，以后每次按照全票价的9.5折收取费用．
（1）按照方式一的总费用为，按照方式二的总费用为，请直接写出，与游泳次数x的函数关系式；
（2）去该游泳馆的次数等于多少次时，两种方式收取总费用一样？
【答案】（1），；（2）31次．
【分析】
（1）方式一的总费用为会员费+次数总费用，方式二的总费用为一次全票+次数总费用，据此列出函数关系式即可；
（2）由两种方式收取总费用一样，即，列方程，解方程即可．
【解析】
解：（1）根据题意，可得：；
．
（2）令，可得：，
解方程，得
，
答：去该游泳馆的次数等于31次时，两种方式收取总费用一样．
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用，涉及解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19．父子二人周末徒步沿相同路线从家去公园锻炼身体，儿子步行的速度为80米/分，爸爸先出发4分钟．视两人都在匀速行走，徒步过程中，两人相距的路程（米）与爸爸出发的时间（分）之间的函数关系如图所示．

（1）爸爸步行的速度为________米/分，家到公园的路程为________米；
（2）儿子出发_________分钟后与爸爸相遇；
（3）求图中线段所在直线的解析式；
（4）爸爸从家到达公园一共用了46分钟，爸爸在儿子到达终点后，将速度改为了________米/分．
【答案】（1）60，2400；（2）12；（3）；（4）30米/分．
【分析】
（1）根据题意结合图象解答即可；
（2）根据题意列方程解答即可；
（3）由（2）可得点B的坐标，再求出点C的坐标，运用待定系数法解答即可；
（4）根据题意列式计算即可．
【解析】
解：（1）爸爸步行的速度为：240÷4=60（米/分），家到公园的路程为：80×（34-4）=2400（米）．
故答案为：60；2400．
（2）根据题意得：240+60t=80t，
解得t=12，
即儿子出发12分钟后与爸爸相遇；
故答案为：12．
（3）由（2）可知点B的坐标为（16，0），
（80-60）×（34-16）=360，
∴点C的坐标为（34，360），
设线段BC所在直线的解析式为y=kt+b，则：
，解得，
∴直线BC的解析式为y=20t-320．
（4）360÷（46-34）=30（米/分）．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．疫情过后，地摊经济迅速兴起．小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示．

（1）求降价后销售额（元）与销售量（千克）之间的函数表达式；
（2）当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元？
【答案】（1）；（2）180千克
【分析】
（1）根据函数图象中的数据，可以得到降价后销售额（元与销售量（千克）之间的函数表达式；
（2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以列出相应的方程，从而可以得到当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元．
【解析】
解：（1）设降价后销售额（元与销售量（千克）之间的函数表达式是，
段过点，，
，
解得，，
即降价后销售额（元与销售量（千克）之间的函数表达式是；
（2）设当销售量为千克时，小李销售此种水果的利润为150元，
，
解得，，
答：当销售量为180千克时，小李销售此种水果的利润为150元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
21．甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，乙船从B港出发逆流匀速驶向A港，甲船后面拖拽着一艘无动力小艇，行驶一段时间后，甲船发现拖拽小艇缆绳松了，小艇不知去向，立刻原路返回寻找，找到小艇后，继续拖拽小艇顺流驶向B港．已知小艇漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船与A港的距离、与行驶时间之间的函数图象如图1所示．

（1）求乙船在逆流中行驶的速度；
（2）求甲船在逆流中行驶的路程；
（3）求甲船到A港的距离y与行驶时间x之间的函数关系式；
（4）甲船拖拽的小艇与A港的距离和经历的时间之间的函数图像如图2所示，求点C的坐标．
【答案】（1）；（2）3km；（3）；（4），
【分析】
（1）由速度=路程÷时间列式求解；
（2）因为甲船、乙船在逆流中行驶的速度相同，只需由图示得出甲船在逆流中行驶的时间．
（3）观察图形，要分成3段讨论，每一段中已知两点，可用待定系数法确定一次函数的解析式．
（4）根据等量关系：小艇脱离船中后，船顺流行驶的路程=船逆流行驶的路程+小艇漂流的路程，据此即可解答．
【解析】
解：（1）乙船在逆流中行驶的速度为．
（2）甲船在逆流中行驶的路程为．
（3）设甲船顺流的速度为，
由图象得，
解得．
当时，，
当时，设，
把，代入，得，
，
当时，设，
把，代入，得，
．
综上所述，；
（4）水流速度为，
设甲船从港航行小时小艇缆绳松了．
根据题意，得，
解得，
，
即小艇缆绳松了时甲船到港的距离为．
点坐标，．
【点睛】
此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，要求学生要提高阅读理解水平，从中挖掘有用信息，记住船顺流航行的速度船在静水中航行的速度水流速度，船逆流航行的速度船在静水中航行的速度水流速度．
22．如图表示甲、乙两车沿相同路线从A地出发到B地行驶过程中，路程y（千米）随时间x（时）变化的图象．

（1）乙车比甲车晚出发__________小时，甲车的速度是__________千米/时；
（2）当时，求乙车行驶路程随时间变化的函数表达式；
（3）从乙车出发到停止期间，乙车出发多长时间，两车相距20千米？
【答案】（1）2；20；（2）；（3）1小时或3小时
【分析】
（1）通过观察函数图象得到乙车比甲车晚出发的时间，用甲车的行驶路程除以所用时间得到它的速度；
（2）利用待定系数法求出函数表达式；
（3）再用待定系数法求出甲车的函数表达式，两个表达式作差，令它们的差的绝对值等于20，解出x的值即可．
【解析】
解：（1）根据图象的x轴，可以看出乙车比甲车晚出发2小时，
，故甲车的速度是
故答案是：2，20；
（2）当时，设乙车行驶路程随时间变化的函数表达式为，
将点，代入，得，解得，
∴乙车行驶路程随时间变化的函数表达式是；
（3）设甲车行驶路程随时间变化的函数表达式是 ，
把点 代入，得 ，解得 ，
∴，
令，解得，，，
∴或3，
答：乙车出发1小时、3小时，两车相距20千米．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解题的关键是能够根据函数图象分析出实际问题中的数据进行求解．
23．某超市出售甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为每件120元，售价为每件130元；乙种商品的进价为每件100元，售价为每件150元．
（1）若超市花费了36000元购进这两种商品，售完后可获得利润6000元，则该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若超市要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品件，售完后获得的利润为元，试写出利润（元）与（件）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
（3）在（2）的条件下，若甲种商品最少购进100件，请你设计出使利润最大的进货方案，并求出最大利润．
【答案】（1）甲种商品240件，乙种商品72件；（2）W=-40x+10000；（3）购进甲、乙种商品的件数各为100件，利润最大，最大利润为6000元
【分析】
（1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据销售问题的数量关系建立方程组求出其解即可；
（2）由购进甲种商品x件，则购进乙种商品（200一x）件，由利润等于售价-进价建立函数关系式就可以得出结论；
（3）根据一次函数的性质即可得到结论．
【解析】
解：（1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，由题意，得
，解得：
答：该商场购进甲种商品240件，乙种商品72件．
（2）已知购进甲种商品x件，则购进乙种商品（200一x）件，根据题意，得
W=（130-120）x+（150-100）（200-x）=-40x+10000，
（3）∵k=-40＜0，
∴W随x的增大而减小．
又∵甲种商品最少购进100件
∴当购进甲种商品的件数为100件时利润最大，
∴进货方案为购进甲、乙种商品的件数各为100件，利润最大，
最大利润=-40×100+10000=6000元．
【点睛】
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据方程组的解求函数的解析式是关键．
24．今年，“地摊经济”成为了社会关注的热门话题．小明从市场得知如下信息：

甲商品
乙商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售．设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过2000元资金一次性购进甲，乙两种商品，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大．
【答案】（1）y＝7x+300；（2）0≤x≤50；（3）甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；当甲商品进50件，乙商品进50件时，利润有最大值．
【分析】
（1）分别求出甲、乙商品的利润，根据y＝甲商品利润+乙商品利润即可得解析式；
（2）由用不超过2000元资金一次性购进甲，乙两种商品，列出不等式组，即可求解；
（3）由获得的利润不少于632.5元，列出不等式可求x的范围，根据一次函数的性质即可得答案．
【解析】
（1）∵购进甲、乙商品共100件进行销售，小明购进甲商品x件，
∴甲商品利润为（45-35）x=10x，乙商品利润为（100-x）（8-5）=300-3x，
∵甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元，
∴y＝10x+（300-3x）＝7x+300．
（2）∵用不超过2000元资金一次性购进甲，乙两种商品，
∴35x+5（100﹣x）≤2000，
∴x≤50，
又∵x≥0，
∴0≤x≤50；
（3）∵甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元，
∴7x+300≥632.5，
∴x≥47.5，
由（2）可得0≤x≤50，
∴47.5≤x≤50，
∵x为整数，
∴x＝48，49，50，
∴进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；
∵y＝7x+300，7＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，y有最大利润．
∴当甲商品进50件，乙商品进50件，利润有最大值．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，正确列出不等式并熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
25．要从甲、乙两仓库向A、B两工地运送水泥．已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；A工地需要70吨水泥，B工地需要110吨水泥．两仓库到A、B两工地的路程和每吨每千米的运费如下表：

路程（千米）
运费（元/吨·千米）

甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A地
20
15
1.2
1.2
B地
25
20
1
0.8
（1）设甲仓库运往A地水泥x吨，则甲仓库运往B地水泥__________吨；乙仓库运往A地水泥________吨，乙仓库运往B地水泥_______吨．
（2）试用x的代数式表示总运费．
（3）总运费能达到3695元吗？若能，求出此时甲仓库应运往A地多少吨水泥；若不能，说明理由．
【答案】（1），，；（2）；（3）能，75吨
【分析】
（1）用甲仓库一共可运出的100吨水泥减去得到甲仓库运往B地的水泥吨数，用A工地需要的水泥减去得到乙仓库运往A工地的水泥吨数，用同样的方法得到乙仓库运往B地的水泥吨数；
（2）设总运费是元，根据表格中的距离和运费列出总费用的表达式；
（3）令（2）中的，解出的值即可．
【解析】
解：（1）设甲仓库运往A地水泥x吨，则甲仓库运往B地水泥吨；
乙仓库运往A地水泥吨，乙仓库运往B地水泥吨
故答案是：，，；
（2）设总运费是元，
，
整理得：；
（3）令，则，解得，
答：可以，此时甲仓库应运往A地75吨水泥．
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式进行求解．
26．疫情期间，某学校需购买某品牌消毒剂，负责人小李询问过一些商家后发现：距离较近的商家单价是50元/瓶但需自取；距离较远的商家单价比商家便宜，但需要加收配送费（配送费按次收取）.下图是在商家购买数量（瓶）与总价（元）之间的关系.

（1）求商家某品牌消毒剂每瓶的销售单价以及配送费各是多少元？
（2）学校共出资5000元购买此消毒剂，小李去商家买了25瓶，使用过程中发现消毒剂不够，于是他打电话到商场，让他们送货，若要正好用完5000元，请问还能在商场购买多少瓶消毒剂？
【答案】（1）销售单价为45元，配送费是15元；（2）83瓶
【分析】
（1）由图可得商家购买数量（瓶）与总价（元）之间的关系为一次函数关系，故可利用待定系数法设出并求解．
（2）可设还能在商场购买消毒剂瓶，根据题意，结合（1）求得的结果即可列式求解．
【解析】
解：（1）设销售单价为k元，配送费是b元,由题意可得（瓶）与总价（元）之间的关系为一次函数
由图可知
解得：
∴每瓶的销售单价为45元，配送费是15元
（2）设还能在商场购买消毒剂瓶，
则
解得：
∴还能在商场购买消毒剂83瓶．
【点睛】
本题考查了一次函数解析式的求法及一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出一次函数的解析式
27．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，元旦假期，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
（1）以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数关系式；
（2）小明需要购买原价为300元的商品，在元旦期间他去哪家商场购买更省钱？
【答案】（1）；；（2）乙商场.
【分析】
(1)甲是单价的0.9倍，乙的需要分大于100和小于等于100两种情形计算；
(2)分别代入两种表达式中计算，比较大小后，作出判断.
【解析】
解：（1）由题意得，，
当时，，
当时，，
由上可得，，
（2）当时，
此时，
所以，小明购买原价为元的商品，在元旦期间，他去乙家商场购买更省钱.
【点睛】
本题考查了函数的表示方式，理解打折的意义，学会用分类思想表示是解题的关键.
28．，两地相距160km，甲、乙两人沿同一条路从地到地．与分别表示甲、乙两人离开地的距离（km）与时间（h）之间的关系，根据图像解答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两人离开地的距离与时间之间的函数关系式：
（2）当1≤≤3时，求两人相距20km时的时间．

【答案】（1）；；（2）或
【分析】
（1）先利用待定系数法求出线段的表达式为，线段的表达式为；
（2）列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，当时，由题知：即，解方程即可得到答案．
【解析】
解：（1）设线段的表达式为
点在函数的图象上
，解得

设线段的表达式为，
点在函数的图象上
，解得

（2）当时，由题知：
即
解得，或
当时，两人相距的时间为或．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求解析式，以及找到等量关系列出一元一次方程，解题的关键掌握解析式的求解方法以及列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程．
29．为了美化校园，某学校决定利用现有的332盆甲种花卉和310盆乙种花卉，搭配A，B两种园艺造型共50个，摆放在校园道路两侧．已知一个A种园艺造型需甲种花卉7盆，乙种花卉5盆；一个B种园艺造型需甲种花卉6盆，乙种花卉8盆．
（1）问搭配A，B两种园艺造型共有几种方案？
（2）若一个A种园艺造型的成本是200元，一个B种园艺造型的成本是300元，哪种方案成本最低？请写出此方案．
【答案】（1）共有3种方案；（2）当A种园艺造型32个，B种园艺造型18个，成本最低
【分析】
(1)根据题意列出一元一次不等式组，直接解不等式组，然后取整数解即可得出答案；
(2)根据题意列出总成本关于x的一次函数，利用一次函数的性质求解可得.
【解析】
（1）解：设A种园艺造型x个，B种园艺造型个

∴
x为正整数：x取30，31，32，
∴可设计3种搭配方案:
第一种：A种园艺造型30个，B种园艺造型20个；
第二种：A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；
第三种：A种园艺造型32个，B种园艺造型18个.
（2）解：设总成本为y元


∴，y随x的增大而减小
∴当时，y取最小值
∴当A种园艺造型32个，B种园艺造型18个，成本最低
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的实际应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出不等式组，属于中档题．
30．行政区划调整后，某村有两段长度相等的道路需硬化，现分别由甲、乙两个工程队同时开始施工．如图的线段和折线是两队前天硬化的道路长（米）与施工时间（天）之间的函数图象．根据图象解答下列问题：

（1）直接写出与（天）之间的函数关系式：
①当时， _ ；
②当时， ；当时， ；
（2）求图中点的坐标，并说明点的横、纵坐标表示的实际意义；
（3）施工过程中，甲队的施工速度始终不变，而乙队在施工天后，每天的施工速度提高到米/天，两队将同时完成任务．两队还需要多少天完成任务？
【答案】（1）①；②；；（2）；工作到第天时，甲乙两工程队硬化道路的长度相等，均为；（3）10天
【分析】
（1）根据图像，已知两点的坐标，可根据待定系数法列方程，求函数解析式即可；
（2）根据一次函数列出二元一次方程组求出点M的坐标，即可得出实际意义；
（3）设两队还需天完成任务，根据速度天数施工距离，则甲队施工的总距离为，乙队施工的总距离为，根据总施工道路长相等列出一元一次方程从而求出的即可．
【解析】
（1）① 设，
由图像可知经过点，



②当时，设
由图像可知经过点



当时，设
由图像可知经过点，点



（2）根据题意可得：
解得：

点的横、纵坐标的实际意义：工作到第天时，甲乙两工程队硬化道路的长度相等，均为．
设两队还需要天完成任务，有题意得：

解得：
所以两队还需要天完成任务．