考点24-3 图形的旋转-2022年中考数学专项分类提分训练（天津专用）

这是一份考点24-3 图形的旋转-2022年中考数学专项分类提分训练（天津专用）

考点24—3 图形的旋转1．如图，将和拼成一个四边形，其中，，，过点作，垂足为点，连接．（1）探索线段、、之间有何等量关系，并加以证明；（2）设，将绕点旋转得，连接、，请直接写出的最大面积．2．在中，，点E在射线上运动．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接．（1）如图1，点E在点B的左侧运动．①当，时，则_________；②猜想线段与之间的数量关系为_____________________________．（2）如图2，点E在线段上运动时，第（1）问中线段与之间的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．（3）点E在射线上运动，，设，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．3．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：（1）探究1，如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D作BC边上的高DE，则DE与BC的数量关系是______，的面积为_____；（2）探究2，如图2，在一般的中，，（，），将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含m，n的式子表示的面积，并说明理由．（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，，（，，），将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a，b，c的式子表示的面积，要有探究过程．4．一块三角尺ABC如图放置，顶点B在直线MN上，，BP是的三等分线，．（1）如图①，三角尺ABC在直线MN的上方，若，则___________度；（2）将三角尺ABC绕点B旋转到直线MN的下方，如图②，若，求的度数；（3）将三角尺ABC绕点B旋转一周，探究旋转过程中与的数量关系．（请直接写出结论）5．已知，，， 为 上的一点． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，过点作垂直的平分线于点，过点作交的延长线于点，连接交于点，若平分，．求证：6．已知，点是等边内的任一点，连接，，．（Ⅰ）如图1所示，已知，，将绕点按顺时针方向旋转得．①求的度数：②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；（Ⅱ）设，．①当，满足什么关系时，有最小值？并说明理由；②若等边的边长为1，请你直接写出的最小值．7．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转90°得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．（1）求证：；（2）如图2，将沿x轴正方向平移得，当直线经过点D时，求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，正方形，点在射线上（不与点、重合），点在线段的延长线上，且，将线段绕点顺时针旋转90°得到，连接，，．（1）如图1，当点是中点时，四边形形状为______；（2）如图2，当点不是中点时，（1）中结论是否成立？说明理由；（3）若正方形边长2，当时，请直接写出四边形的面积．9．已知四边形为矩形，对角线、相交于点，．点E、F为矩形边上的两个动点，且．（1）如图1，当点E、F分别位于、边上时，若，求证：；（2）如图2，当点E、F同时位于边上时，若，试说明与的数量关系；（3）如图3，当点E、F同时在边上运动时，将沿所在直线翻折至，取线段的中点Q．连接，若，则当最短时，求之长．10．如图，菱形的对角线，交于点，其中．把绕点顺时针旋转得到（点的对应点为），旋转角为（为锐角）．连接，若．（1）求证：；（2）当时，判断点与直线的位置关系，并说明理由．11．问题：如图①，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转90°得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为______．探索：（1）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图②，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转90°得到，连接交与点，求的最大值；应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长．12．如图1，在中，已知，，点D，E分别在边，上，且，此时显然，成立．若保持不动，将绕点C逆时针旋转，旋转角为．（1）如图2，当时，问：，是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）如图3，当时，延长交于点F，若，，则线段______（直接写出结果即可）13．如图①，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE. 把△ADE绕点A逆时针方向旋转，如图②．（1）请你在图②中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；（2）请你在图③中，画出当＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；（3）若，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段AM的最大值：_______．14．（1）发现问题 如图（1），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边BC，CD边上的动点（均不与端点重合），且∠EAF=45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系．小明把△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，发现EF=BE+DF，请你给出证明过程；（2）类比探究①如图（2），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边CB，DC延长线上的动点，且∠EAF=45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图（3），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF=45°，请直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．（不要求证明）（3）拓展应用在（1）中，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求EF的长．15．如图，点A为平面直角坐标系第一象限内一点，直线y＝x过点A，过点A作AD⊥y轴于点D，点B是y轴正半轴上一动点，连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C．（1）如图1，当点B在线段OD上时，求证：AB＝AC；（2）①如图2，当点B在OD延长线上，且点C在x轴正半轴上，写出OA、OB、OC之间的数量关系，并说明理由；②当点B在OD延长线上，且点C在x轴负半轴上，直接写出OA、OB、OC之间的数量关系；（3）直线BC分别与直线AD、直线y＝x交于点E、F．若BE＝5，CF＝12，画出符合条件的图形，并直接写出AB的长．16．（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合）．连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______．（2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索线段、、之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请直接写出线段的长．17．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为．（1）求证：．（2）直接写出：的度数为______，点D的坐标为______（用t表示）．（3）当t为何值时，为等腰三角形？（4）探索周长是否随t变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求这个定值．18．解答下列各题：（1）如图1，直线AB与y轴交于A（0，4），与a轴交于B（﹣3，0），求AB的关系式．（2）在（1）的条件下，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC．若在y轴上有一点M，使得△ACM的面积为14，求M点的坐标．（3）如图2，矩形ABCO中，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．19．问题提出（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，．求证：①；②若连接，则；（2）如图2，在中，，，求的最小值．问题解决（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场，分别从、、向游乐场修三条路，，，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．20．如图，在平面直角坐标系中，，点P为内任一点，连接PO．PA．PB，将绕着点A顺时针旋转60°得到，连接．（Ⅰ）求点的坐标；（Ⅱ）当与满足什么条件时，的值最小，并求出此最小值；（Ⅲ）试直接写出（Ⅱ）中的点P坐标．21．已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于B，连接CB．（1）问题发现：如图①，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则容易发现BD与EA之间的数量关系为　 ，BD，AB，CB之间的数量关系为　 　； （2）拓展探究：当MN绕点A旋转到如图②的位置时，试猜想线段BD，AB，CB之间的数量关系，并证明．（3）解决问题：当MN绕点A旋转到如图③的位置时（点C，D在直线MN的两侧），若此时∠BCD=30°，BD=2，则CB= 　 ．22．如图，点，，且a、b满足．（1）如图1，求的面积；（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值．23．如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和重合放置，其中，，． （1）操作发现：如图②，固定，将绕点C旋转，当点恰好落在AB边上时．①__，旋转角___（），线段与AC的位置关系是____．②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是___．（2）猜想论证：当绕点C旋转到③所示的位置时，徐富老师猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中BC，边上的高，AE，请你证明徐富老师的猜想．（3）拓展探究：如图④，，OP平分，点N为动点，交ON于点Q，若在射线OM上作点F，使，请证明．24．在平面直角坐标系中，直线过点、．（1）将直线绕点顺时针旋转90°得直线，则的对应点的坐标是__________．（2）将直线绕点顺时针旋转45°得直线，求直线的表达式．（3）点是直线（不包括点）上的一点，以为斜边作等腰直角，求两点之间距离的最小值．25．我们给出如下定义：点P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，我们称以PA，PB，PC为边构成的新三角形为原三角形的“联谊三角形”．（1）如图，点P是等边△ABC内一点，且∠APB= 150°，∠BPC= 120°，∠APC=90°，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP'，连结PP'，请判断△CPP'是不是△ABC的“联谊三角形”?若是，请说明理由，并求出该“联谊三角形”各内角的度数；若不是，请说明理由．（2）若等边△ABC的“联谊三角形”是等腰直角三角形（设PB= PC），分别求∠APB，∠APC，∠BPC的度数？（3）若∠APB= ，∠BPC=，∠APC=，则“联谊三角形”各内角的度数分别为 ， ， （直接用含或或的式子表示）．26．已知，，是过点的直线，过点作于，连接．（1）问题发现：如图①，过点作，与交于点，则容易发现与之间的数量关系为______，，，之间的数量关系为______．（2）拓展探究：当绕点旋转到如图②的位置时，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明；（3）解决问题：当绕点旋转到如图③的位置时（点，在直线的两侧），若此时，，则______．27．（1）如图①，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转，得到，那么之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在中，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，且．求证：．（3）如图③，在中，，，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，若以为边长的三角形是以为斜边的直角三角形时，求的长．28．中，，，点为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交射线，于点、．（1）如图1，当时，正方形的面积为，的面积为，直接写出与的数量关系；（2）如图2，当点在线段上，与不垂直时，求证：；（3）如图3，当点、分别在线段、的延长线上时，问、、有怎样的数量关系？证明你的结论．29．如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，．（1）在旋转过程中，①当，，三点在同一直线上时，求的长；②当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长；（2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，即，连结，如图2，此时，，求的长．30．如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得矩形．（1）如图，若在旋转过程中，点落在对角线上，、分别交于点，．①求证：；②求的长；（2）如图，在旋转过程中，若直线经过线段的中点，连接， ，求的面积．