考点25-1 二次函数与面积综合-2022年中考数学专项分类提分训练（天津专用）

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考点25—1 二次与面积综合
1．已知二次函数的图象过点（3，0）、（－1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，二次函数的图象与轴交于点，二次函数图象的对称轴与直线交于点，求点的坐标；
（3）在第一象限内的抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;(2) P（1，2）．(3) Q（，）．
【解析】
试题分析：（1）将A、C的坐标代入函数解析式，解方程组求出b、c的值，即可得到函数的解析式；
（2）先令x＝0求出B点坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，再在直线AB解析式中令x＝1即可得出点P坐标；
（3）设Q（m，），△QAB的面积为S，连接QA，QB，OQ，则S＝，用含m的代数式表示S，然后利用二次函数的最值即可求出点Q的坐标．
试题解析：
（1）把点A（3，0）、C（－1，0）代入中，
得 解得
∴抛物线的解析式为．
（2）在中，当x＝0时y＝3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为，
当x＝1时，y＝2，
∴P（1，2）．
（3）设Q（m，），△QAB的面积为S，
连接QA，QB，OQ，则S＝
＝
又∵，
∴S＝

＝
∴当时S最大，
此时＝，
∴Q（，）．

2．（2019·湖南九年级期中）已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段AB为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位（t＞0），二次函数的图象与x 轴交于 M，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点．当 t 为何值时，过 F，M，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
【答案】（1）一次函数的解析式为；二次函数解析式为．
（2）相切，证明见解析
（3）当时，过三点的圆面积最小，最小面积为．
【解析】
【解析】
把代入得
一次函数的解析式为
二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴，
二次函数的解析式为,将代入解析式得
二次函数的解析式为
由解得或，，取的中点，
过作直线的垂线,垂足为,则
，而直径

，即圓心到直线的距离等于半径，
以为直径的圆与直线相切.

平移后二次函数的解析式为,
令得
过三点的國的圆心一定在平移后抛物线的对称轴.上,要使圓面积最小,圆半径应等于点到直线2的距离,点坐标为.
此时,半径为,面积为
设圆心为的中点为,连接,则，
在三角形中，
，而
当时，过三点的圓面积最小,最小面积为.
3．（2017·四川中考真题）如图，已知二次函数的图象经过三点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是该二次函数图象上的一点，且满足(是坐标原点)，求点的坐标；
（3）点是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接分别交轴与点若的面积分别为求的最大值.
【答案】（1）；（2）满足条件的点有：；（3）当时，有最大值，最大值为：.
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式即可；（2）设直线与轴的交点为，根据已知条件求得t=±8，根据t的值求得直线BD的解析式，把直线BD的解析式与抛物线的解析式联立组成方程组，解方程组即可求得点D的坐标；（3）过点P作PH//轴交直线于点，设，则，所以，分别用t表示出的面积分别为在计算出与t的函数关系，利用二次函数的性质求解即可.=
试题解析：
（1）由题意得：设抛物线的解析式为：；
因为抛物线图像过点,
解得
所以抛物线的解析式为：
即：
(2)设直线与轴的交点为

当时，直线解析式为：

所以，点
当时，直线解析式为：

所以，点
综上：满足条件的点有：
（3）：过点P作PH//轴交直线于点，设
BC直线的解析式为故：

AP直线的解析式为：
故：

；


即：
所以，当时，有最大值，最大值为：.
4．（2021·辽宁九年级期末）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，点在第三象限内的二次函数图象上运动．
求二次函数的解析式；
如图1，设四边形的面积为，试求的最大值并求出此时点坐标；

如图2，点在二次函数图象上，且位于直线的下方，过点作，垂足为点，连接，若与相似，求点的坐标．

【答案】；的最大值为9，此时；，
【分析】
（1）直接将和点代入解析式，运用待定系数法求解即可；
（2）连接OP，则四边形的面积由△OAP，△OCP和△OBC三部分构成，分别表示出三部分的面积即可得到关于S的二次函数式，运用二次函数的性质即可求解最大值及坐标；
（3）分两种情况进行分析，和，分别根据相似三角形的性质求解即可．
【解析】
解：把，代入中，
可求得，，，
∴
如图1，连接，
=，
∵点在第三象限内的二次函数图象上运动，
∴，
∴，
当时，，此时；

两种情形，
①当时，如图2，
，解得，


②时，如图3，过点作

设，由
可求得，


代入
解得，

综上，点的坐标为：，．
【点睛】
本题考查二次函数与几何综合问题，准确分类讨论并灵活运用相似三角形的性质是解题关键．
5．（2019·吉林九年级）我们规定，以二次函数y=ax2+bx+c的二次项系数a的2倍为一次项系数，一次项系数b为常数项构造的一次函数y=2ax+b叫做二次函数y=ax2+bx+c的“子函数”，反过来，二次函数y=ax2+bx+c叫做一次函数y=2ax+b的“母函数”．
（1）若一次函数y=2x-4是二次函数y=ax2+bx+c的“子函数”，且二次函数经过点（3，0），求此二次函数的解析式及顶点坐标．
（2）若“子函数”y=x-6的“母函数”的最小值为1，求“母函数”的函数表达式．
（3）已知二次函数y=-x2-4x+8的“子函数”图象直线l与x轴、y轴交于C、D两点，动点P为二次函数y=-x2-4x+8对称轴右侧上的动点，求△PCD的面积的最大值．
【答案】(1) ，抛物线的顶点坐标为； (2) “母函数”的函数表达式为；(3)当时，最大，最大值为．
【解析】
【分析】
(1)根据二次函数y=ax2+bx+c的“子函数”的定义，可知a=1，b=-4，再把点（3，0）代入解析式即可解决问题．
（2）“子函数”的“母函数”为．利用最小值为1即可求出C的值．
（3）得直线的表达式为，可求C,D坐标,再根据可解决问题．
【解析】
解：(1)由题意得，，
∴抛物线的解析式为，把点代入可得，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
(2)“子函数”的“母函数”为．
∵，
∴，
∴，
∴“母函数”的函数表达式为．
(3)如图，连接，设点的坐标为．

由题意得直线的表达式为，
∴，，
∴
，
∴当时，最大，最大值为．
【点睛】
本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考压轴题．
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）当y＞﹣3，写出x的取值范围；
（3）A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．
【答案】详见解析
【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）求出y=3时x的值，结合函数图象，求出y＞﹣3时x的取值范围．
（3）△ABC的底边AB长度为2，是定值，因此当AB边上的高最小时，△ABC的面积最小．如解答图所示，由点C向直线y=﹣2x﹣6作垂线，利用三角函数（或相似三角形）求出高CE的表达式，根据表达式求出CE的最小值，这样问题得解．
【解析】
解：（1）∵点（1，0），（5，0），（3，﹣4）在抛物线上，
∴，解得．
∴二次函数的解析式为：y=x2﹣6x+5．
（2）在y=x2﹣6x+5中，令y=﹣3，即x2﹣6x+5=﹣3，
整理得：x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4．
结合函数图象，可知当y＞﹣3时，x的取值范围是：x＜2或x＞4．
（3）设直线y=﹣2x﹣6与x轴，y轴分别交于点M，点N，

令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣2，
∴M（﹣3，0），N（0，﹣6）．
∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN=，
∴．
设点C坐标为（x，y），则y=x2﹣6x+5．．
过点C作CD⊥y轴于点D，
则CD=x，OD=﹣y，DN=6+y．
过点C作直线y=﹣2x﹣6的垂线，垂足为E，交y轴于点F，
在Rt△CDF中，DF=CD•tan∠MNO=x，．
∴FN=DN﹣DF=6+y﹣x．
在Rt△EFN中，EF=FN•sin∠MNO=（6+y﹣x），
∴CE=CF+EF=x+（6+y﹣x）．
∵C（x，y）在抛物线上，
∴y=x2﹣6x+5，代入上式整理得：CE=（x2﹣4x+11）=（x﹣2）2+．
∴当x=2时，CE有最小值，最小值为．
当x=2时，y=x2﹣6x+5=﹣3，∴C（2，﹣3）．
∴△ABC的最小面积为：AB•CE=×2×=．
∴当C点坐标为（2，﹣3）时，△ABC的面积最小，面积的最小值为．
7．（2020·湖南九年级）如图所示，已知二次函数的图像的顶点为点，与轴的交点为点（点A位于点E的左侧），与轴的交点为B，连接AB，将绕点A顺时针旋转后，点B落在点C的位置，得到．
（1）如图①，求点C的坐标；
（2）如图②，将二次函数的图像沿轴向下平移后，得到的二次函数的图像经过点、顶点为、与轴的交点为，连接．
①求二次函数的解析式；
②点N为平移后得到的二次函数上的动点，点N的坐标为，且，是否存在这样的点N，使的面积是面积的2倍，若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）点C的坐标为（3，1）；（2）①；②存在，点N的坐标为（1，-1）或（3，1）
【分析】
（1）先求出点B和点A的坐标，然后根据旋转的性质可得FC=OB=2，AF=AO=1，∠AFC=90°，从而求出点C的坐标；
（2）①根据二次函数图象的平移规律可得平移后的解析式为，然后将点C的坐标代入解析式中即可求出结论；
②根据平移性质可得BB1=1，DD1=1，然后根据面积关系列出方程，然后分类讨论，分别求出n的值，即可求出结论．
【解析】
解：（1）在中，令，得．
∴点B的坐标为（0，2）．
令，得，
解得，．
∴点A的坐标为（1，0）．
则OA=1，OB=2．
将ABO绕点O顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，得到ACF，
可得，FC=OB=2，AF=AO=1，∠AFC=90°．
故点C的坐标为（3，1）．
（2）①由二次函数的图象沿轴向下平移后，得到二次函数的图象，则，
对称轴不变，即，
∴=3．
∴，
又的图象过点（3，1），
∴，
即，
∴．
②由（2）可知的图象是由的图象向下平移1个单位后得到的，
∴BB1=1，DD1=1．
又的图象的对称轴为，
若的面积是面积的2倍，
∴，（其中＞0）．
①当0＜时，如图②，

则，
∴，
此时，
∴点N的坐标为（1，—1）．
②当＞时，如图③，

则，
∴，
此时，
∴点N的坐标为（3，1）．
故点N的坐标为（1，-1）或（3，1）．
【点睛】
此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的平移规律是解决此题的关键．
8．（2018·湖北九年级期中）已知二次函数的图象对称轴为，图象交x轴于A，B，交y轴于，且，直线与二次函数图象交于M，在N的右边，交y轴于P．
求二次函数图象的解析式；
若，且的面积为3，求k的值；
若，直线AN交y轴于Q，求的值或取值范围．

【答案】（1）（2）k=2（3）
【解析】
【分析】
（1）由图象对称轴为x=，AB=5，知：A（﹣2，0）、B（3，0），把C点坐标代入二次函数即可求解；
（2）S△CMN=•HN•xM=6，用韦达定理求解即可；
（3）求出xN=，分2k﹣5＞0时和2k﹣5＜0两种情况，求出点Q坐标即可求解．
【解析】
（1）由图象对称轴为x=，AB=5，知：A（﹣2，0）、B（3，0），设 ，把代入二次函数表达式得：－3=－6a，∴a=，∴y= ，即．故函数表达式为：y=x2﹣x﹣3…①；
（2）∵b′=﹣5，∴直线MN表达式为：y=kx﹣5…②．设：N（x1，y1），M（x2，y2），将①、②联立并整理得：x2﹣（2k+1）x+4=0，则：x1+x2=2k+1，x1•x2=4，直线C（0，﹣3）、M（x2，y2）所在的直线方程为：y=，过N点做直线HM∥y轴，交MC于H，则H（x1，）．
∵S△CMN=•HN•xM=6，整理得：x1•y2﹣x2y1+3x1﹣3x2=6，把y1=3x1﹣5，y2=3x2﹣5，代入上式整理得：x2﹣x1=3，即：（x1+x2）2﹣4x1x2=9，k=2或k=－3（舍去）；
（3）b′=﹣3k，直线y=kx+b=kx﹣3k…③，将①、③方程联立并整理得：
x2﹣（2k+1）x+（6k﹣6）=0，△=4k2﹣20k+25=（2k﹣5）2＞0，xN=．
①当2k﹣5＞0时，xN=3，则N（3，0），而Q（0，0），P（0，﹣3k），C（0，﹣3），则：CP=3k﹣3，CQ=3，∴=k﹣1，即：＞；
②当2k﹣5＜0时，xN=2k﹣2，则N（2k﹣2，2k2﹣5k），则AN所在的直线方程为：y=，则：Q（0，2k﹣5），而C（0，﹣3），P（0，﹣3k），则：CP=3k﹣3，CQ=2k﹣2，∴=．故：≥．

【点睛】
本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
9．（2020·江阴市临港实验学校九年级月考）已知：如图，一次函数y=－2x与二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图像交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与其对称轴交于点C
（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图像的顶点为D，点C与点D关于 x轴对称，且△ACD的面积等于2．
① 求二次函数的解析式；
② 在该二次函数图像的对称轴上求一点P（写出其坐标），使△PBC与△ACD相似．

【答案】（1）C点的坐标为（－1，2）；（2）①y＝2x2＋4x； ②点P的坐标为（－1， 10），（－1，）．
【分析】
（1）把y＝ax2＋2ax＋c配方可得抛物线的对称轴为直线x=1，由此结合已知条件即可求得点C的坐标为（-1，2）；
（2）①由（1）中的结论结合题意可得点D的坐标为（-1，-2），由此可得CD=4，结合△ACD的面积为2可得点A到CD的距离为1，结合点A是抛物线与直线y=-2x的交点可得点A与原点重合，即点A的坐标为（0，0），这样设抛物线的解析式为y-a(x+1)2-2，再代入点A的坐标即可求得a的值，从而可得抛物线的解析式；
②如下图，由已得抛物线的解析式结合题意可求得点B的坐标，再求结合点A、C、D的坐标即可得到AC、BC、CD的长，然后分△P1BC∽△ACD和△P1BC∽△ACD两种情况列出比例式，解出对应的P1C和P2C即可得到对应的点P的坐标了．
【解析】
解：（1）∵y＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，
∴它的对称轴为x＝－1．
又∵一次函数y=－2x与对称轴交于点C，
∴y＝2，
∴C点的坐标为（－1，2）．
（2）①∵点C与点D 关于x轴对称，
∴点D的坐标为（－1，－2）．
∴CD=4，
∵△ACD的面积等于2．
∴点A到CD的距离为1，点A是抛物线与直线y=-2x的交点，
∴可得A点与原点重合，点A的坐标为（0，0），
设二次函数为y＝a(x+1)2－2，∵其图象过点A（0，0），
∴a(0+1)2-2=0，解得a＝2
∴二次函数的解析式为：y＝2x2＋4x；
② 由 解得： , ，
∴点B的坐标为（－3，6），
∵点A、B、C、D的坐标分别为（0，0），（-3，6），（-1，2），D（-1，-2），
∴易得△ACD是等腰三角形，CD=4，AC=，BC=，
如下图，①当△P2BC∽△CAD时，
，即，解得P2C=8，
∴点P2到x轴的距离为10，即点P2的坐标为（-1，10）；
②当△P1BC∽△ACD时，
，即，解得P1C=2.5，
∴点P1到x轴的距离为4.5，即点P1的坐标为
∴综上所述可得：点P的坐标为（－1， 10），（－1，）

【点睛】
本题考查解本题第3小题的要点（1）画出符合题意分图形，即可以帮助我们分析、寻找到解题思路；（2）由图可知∠PCB=∠ACD，由此可知两个三角形相似存在两种情况：△P1BC∽△ACD和△P1BC∽△ACD，这样结合已知条件和相似三角形的性质解出对应的PC的长度即可得到对应的点P的坐标了．
10．（2021·山东九年级期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与二次函数的图象交于轴上的一点二次函数的图象与轴只有唯一的交点，且．
求二次函数的表达式；
点为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点的坐标；
设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为，已知为轴上的一个动点，且为直角三角形，求点的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为和
【分析】
（1）根据y＝0.5x＋2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2．得出可设二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a（x−2）2，进而求出即可；
（2）作于轴交于点，易证，设，则G（t，），可表示出MH，进而求出的函数解析式，进而即可求解；
（3）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．
【解析】
解：交x轴于点，
，
，
，
∵直线与轴交于点，
点坐标为，
二次函数的图像与轴只有唯一的交点，且，
可设二次函数，
把代入得，，
二次函数的表达式：；
作于轴交于点，
则∠MGH=∠OBA，∠MHG=∠AOB=90°，
∴，
∴，

设，则G（t，），
∴，
又∵AB=，OA=4，
，
，
当时，最大，此时，，
；
（3） 当点B为直角顶点时，过作交轴于点，则，如图1，

，
，得，
；
当点D为直角顶点时，作，如图2，

将与联立，
可得点坐标为，
∴，
，
，
，即，
解得：，则，
故点坐标为；
当为直角顶点时，过点作轴于点，如图3，

设，
则由，得，
，
方程无解，
点不存在，
点的坐标为和．
【点睛】
此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的判定与性质等知识，关键是根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．
11．（2018·江阴市暨阳中学九年级期中）如图，二次函数y=―ax2+2ax+c(a＞0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，过A的直线y=kx+2k(k≠0)与这个二次函数图象交于另一点F，与其对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DE=EF．
（1）求A点坐标；
（2）若△BDF的面积为12，求此二次函数的表达式；
（3）设二次函数图象顶点为P，连接PF，PC，若∠CPF=2∠DAB，求此二次函数的表达式．

【答案】(1) A(−2,0)；(2) y=−x²+2x+8；(3) y=−x²+x+4.
【解析】
分析：（1）求出一次函数值为0时对应的自变量的值可得到A点坐标；
（2）利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=1，则利用对称性得到B点坐标为（4，0），把A点坐标代入得c=8a，则抛物线解析式为y=﹣ax2+2ax+8a，再根据DE=EF可确定F（2，8a），接着把F（2，8a）代入一次函数得到y=kx+2k得k=2a，所以D（0，4a），然后利用三角形面积公式得到•（4+2）•8a﹣•（4+2）•4a=12，于是解方程求出a，从而得到抛物线解析式；
（3）利用抛物线的解析式为y=﹣ax2+2ax+8a得到C（0，8a），P（1，9a），则可判断CF∥x轴，所以E（1，8a），根据二次函数的对称性判断△PCF为等腰三角形，则∠CPF=2∠CPE，于是可证明∠DAB=∠CPE，然后根据相似三角形的判定方法可得到Rt△ADO∽Rt△PCE，再利用相似比可其求出a的值，从而得到抛物线解析式．
解析：（1）当y=0时，kx+2k=0，解得：x=﹣2，则A（﹣2，0）；
（2）∵二次函数y=﹣ax2+2ax+c（a＞0）的图象的对称轴为直线x=﹣=1，∴B点坐标为（4，0），把A（﹣2，0）代入y=﹣ax2+2ax+c得：﹣4a﹣4a+c=0，∴c=8a，∴抛物线解析式为y=﹣ax2+2ax+8a．∵DE=EF，∴F点的横坐标为2，∴F（2，8a），把F（2，8a）代入y=kx+2k得8a=2k+2k，解得：k=2a，∴y=2ax+4a，当x=0时，y=4a，则D（0，4a）．∵S△BDF=S△FAB﹣S△DAB，∴•（4+2）•8a﹣•（4+2）•4a=12，解得：a=1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+8；
（3）抛物线的解析式表示为y=﹣ax2+2ax+8a，D（0，4a），F（2，8a），当x=0时，y=﹣ax2+2ax+8a=8a，则C（0，8a），当x=1时，y=﹣ax2+2ax+8a=9a，则P（1，9a）．∵F（2，8a），C（0，8a），∴CF∥x轴，E（1，8a），∴△PCF为等腰三角形，∴PE平分∠CPF，即∠CPF=2∠CPE．∵∠CPF=2∠DAB，∴∠DAB=∠CPE，∴Rt△ADO∽Rt△PCE，∴=，即=，解得：a=或a=﹣（舍去），∴抛物线的解析式表示为y=﹣x2+x+4．

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会求二次函数和一次函数与坐标轴的交点坐标；能利用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形性质．
12．（2020·江苏九年级期中）如图，已知二次函数的图像经过点．

（1）求该二次函数的表达式；
（2）点D是该二次函数图像上的一点，且满足（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图像上位于第一象限内的一动点，直线分别交、y轴于点E、F，若、的面积分别为、，是否存在点P，使得．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点D的坐标为或；（3）存在，．
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当点D在x轴上方时，由二次函数的对称性求解即可，当点D在x轴下方时，由证得，由此求出直线BD的表达式，再联立求解即可；
（3）设点F(0，n)，求出AF所在直线表达式，分别联立直线BC、二次函数的表达式求出点E、点P的横坐标，根据面积相等得到点E为PF的中点，从而建立方程求解即可．
【解析】
解：（1）由题意可得，，
解得， ，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）①当点D在x轴上方时，过C作交抛物线于点D，

由抛物线的轴对称性，得，即点D满足条件，
∵抛物线对称轴为直线，且点C(0，2)，
∴D(3，2)；
②当点D在x轴下方时，
∵，
∴，
∵C(0，2)，
∴设直线AC：，把A(－1，0)代入可求得，
∴直线AC：，
∴设直线BD：，把B(4，0)代入可求得，
∴直线BD：，
联立得：，
解得：（舍去）或，
∴；
综上可知，满足条件的点D的坐标为或；
（3）设，由，可得AF：，
由B(4，0)，C(0，2)，可得BC：，
联立直线BC与AF表达式得：，
解得：E的横坐标是，
联立直线AF与二次函数得：，
解得：P的横坐标是，
∵，
∴PE=PF，即点E为PF中点，
∴，
解得：，
∴P(2，3)．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握表达式求法，二次函数的图象性质，中点公式等知识是解题的关键．
13．（2020·湖北思源实验学校九年级月考）如图，二次函数的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求BDE的面积．
（4）如果P为抛物线B、E间的一个动点，问是否存在点P使PBE面积最大？如果存在，求PBE面积的最大值及此时P点的坐标；如果不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）顶点（4，－2），D（6，0）；（3）；（4）存在，面积最大值为，此时点P的坐标为
【分析】
（1）利用待定系数法求出b，c即可求出二次函数解析式，
（2）把二次函数式转化可直接求出顶点坐标，由A对称关系可求出点D的坐标．
（3）由待定系数法可求出BC所在的直线解析式，与抛物线组成方程求出点E的坐标，利用求出△BDE的面积．
（4）设P(，)，则Q(，)，由三角形面积公式得出函数关系式，进而求出答案．
【解析】
（1）∵二次函数的图象过A（2，0），B（8，6）
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为：；
（2）由得：，
∴函数图象的顶点坐标为（4，-2），
∵点A，D是二次函数的图象与轴的两个交点，
又∵点A（2，0），对称轴为，
∴点D的坐标为（6，0）；
（3）∵二次函数的对称轴交轴于C点．
∴C点的坐标为（4，0），
∵B（8，6），
设BC所在的直线解析式为，
∴，
解得：，
∴BC所在的直线解析式为，
∵E点是直线与二次函数的图象的交点，
∴，
解得：（舍去），
当时，，
∴E(，)，
∴

；
（4）设P(，)，过P作PQ∥y轴交BC于Q，

则Q(，)，
∴

，
∴

，
故当即P(，)，时，△PBE面积最大，最大值为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是利用待定系数的方法求出函数解析式以及三角形面积的转化．第(3)问利用数形结合表示出线段PQ的长是解题关键．
14．（2019·辽宁中考模拟）如图，一次函数y1＝x﹣与x轴交点A恰好是二次函数y2与x轴的其中一个交点，已知二次函数图象的对称轴为x＝1，并与y轴的交点为D(0，1)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接DC，求三角形ADC的面积．
(3)根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围．

【答案】(1)y＝x2﹣x+1；(2)S△ADC＝；(3)＜x＜．
【解析】
【分析】
（1）根据题意求得A点坐标，用待定系数法求解即可.
（2）根据题意求得C，D两点的坐标，进而求得三角形的面积.
（3）观察图像即可得到y1＞y2时x的取值范围.
【解析】
解：(1)由已知可得y＝x﹣与x轴交点A的坐标为(，0)
∵二次函数过(0，1)
∴设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+1
∵二次函数图象的对称轴为x＝1，且过A(，0)
∴，
解得
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣x+1；
(2)由(1)知函数y＝x2﹣x+1过A(，0)，
当y＝0时，0＝x2﹣x+1，解得x1＝，x2＝，
∴B(，0)
解方程组
解得或，
所以C(，)
直线y＝x﹣与y轴的交点坐标为(0，﹣)，
∴S△ADC＝×(1+)(﹣﹣)＝；
(3)根据图象知，当y1＞y2时，x的取值范围是＜x＜．
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质.
15．（2020·广东九年级月考）如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值．

【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+1；（2）S△APC最大值为，此时P(,)
【分析】
（1）根据题意设这个二次函数的表达式为y＝a(x﹣1)2+3，将A(0,1)代入解方程即可求解；
（2）直线AB与x轴交于点D，直线AC与x轴交于点E,先求得直线AC的解析式，即可求得抛物线和直线AC的交点C的坐标，过P作PQ∥y轴交AC于Q，根据抛物线解析式和直线AC的解析式设出P，Q点坐标，横坐标用t表示，即可表示出PQ，根据S△APC＝PQ|xC﹣xA|，得出关于t的二次函数，化为顶点式，即可得到当t为何值时，S△APC有最大值．
【解析】
（1）∵抛物线的顶点为B(1,3)
∴设这个二次函数的表达式为y＝a(x﹣1)2+3
∵二次函数的图象经过点A(0,1)
∴a(0﹣1)2+3=1
解得：a＝﹣2
∴二次函数的表达式为y＝-2(x﹣1)2+3，即y＝﹣2x2+4x+1
故答案为：y＝﹣2x2+4x+1
（2）直线AB与x轴交于点D，直线AC与x轴交于点E，如图所示
∵A(0,1)，B(1,3)
设直线AB的解析式为y=kx+b
∴
∴y=2x+1
令2x+1=0
解得x=
∴OD=
，
∵AC⊥AB
∴∠DAE=90°
∴
∴
解得OE=2
∴E(2,0)
设直线AC的解析式为y＝mx+n
∵直线AC经过A点，E点
∴
∴
∴直线AC的解析式为y＝x+1
令x+1=﹣2x2+4x+1
解得：或
∴C(,)
过P作PQ∥y轴交AC于Q
设P(t,﹣2t2+4t+1)，则Q(t,t+1)
∴PQ＝(﹣2t2+4t+1)﹣(t+1)＝﹣2t2+t
∴S△APC＝PQ|xC﹣xA|＝(﹣2t2+t)(﹣0)＝﹣(t﹣)2+
∴当t＝时，S△APC有最大值，此时，P(,)

故答案为：S△APC最大值为，此时P(,)
【点评】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，已知两个函数解析式，即可求出交点坐标，已知二次函数可求出最值，本题是一次函数与二次函数的综合题，正确的理解题意是解题的关键．
16．（2020·山东九年级）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象经过点，，其对称轴为直线．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若直线将的面积分成相等的两部分，求的值；
(3)点是该二次函数图象与轴的另一个交点，点是直线上位于轴下方的动点，点是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线右侧．若以点为直角顶点的与相似，求点的坐标．

【答案】(1)抛物线的表达式为：，直线的表达式为： ；(2)；(3)点坐标为或．
【分析】
(1)把A、C坐标代入二次函数表达式，再由对称轴公式以及对称轴x=2得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可得；
(2)求出直线AC解析式为：，联立，求得两直线交点的横坐标为，直线 与轴的交点为，求出，
由题意得则可知两直线与y轴围成的三角形的面积为 且m>-6，解方程即可得；
(3)由已知可得，然后分①当时，则，如图1，过点作直线，垂足为，过点作，垂足为，则，根据相似三角形的性质则可得到，设点，则，，求得h值即可求得答案；②当时， ，过点作直线，垂足为，过点作，垂足为，则 ，则可得，设点，则， ，求得p的值即可求得答案.
【解析】
(1)由已知得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
(2)设直线AC解析式为y=k1x+b1，将A(-2，0)、C(0，-6)分别代入得
，解得：，
所以直线的表达式为：，
联立，解得：，
直线 与轴的交点为，
∵，
∴由题意得： ，
解得：或(舍去)，
；
(3)，，
，
①当时，则，
如图1，过点作直线，垂足为，过点作，垂足为，

则，
则，则，
设点，则，，
则，即，
点在二次函数上，故： ，
解得：或(舍去)，
则点；
②当时， ，
过点作直线，垂足为，过点作，垂足为，

则 ，则，则，
设点，则， ，
则，解得：或(舍去)；
故点坐标为或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合题，涉及了待定系数法，三角形的面积，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.
17．（2018·江苏九年级期末）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点其中点A在点B的左侧，交y轴正半轴于点C，且，点D在该函数的第一象限内的图象上．
求点A、点B的坐标；
若的最大面积为平方单位，求点D的坐标及二次函数的关系式；
若点D为该函数图象的顶点，且是直角三角形，求此二次函数的关系式．

【答案】（1）、；（2）；（3）二次函数表达式为：或．
【解析】
【分析】
(1)函数的对称轴为：，，即可求解；
(2)由，即可求解；
(3)分两种情况，求解即可．
【解析】
解：函数的对称轴为：，，
点A、B的坐标为、；
二次函数表达式为：，即：，
把点B、C坐标代入一次函数表达式得：，
则一次函数表达式为：，
过点D作x轴的平行线交BC于E点，
设点D的坐标为，则点E的坐标为，

，
，故有最大值，
当时，最大值为，
解得：，
点D的坐标为，
故：二次函数表达式为：；
点B、C、D的坐标分别为、，
则直线CD所在直线表达式中的k值为：，
同理，，
当时，
由两直线垂直k值互为负倒数得：，解得：正值已舍去，
当时，同理解得：，
故：二次函数表达式为：或．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
18．如图，已知二次函数图象的顶点为A(1，－3)，并经过点C(2，0)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)直线y＝3x与该二次函数的图象交于点B(非原点)，求点B的坐标和△AOB的面积；
(3)点Q在x轴上运动，求出所有使得△AOQ是等腰三角形的点Q的坐标．

【答案】（1）y＝3x2－6x；（2）9；（3）满足题意的点Q的坐标为(2，0)或(－，0)或(，0)或(5，0)．
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-3，由待定系数法就可以求出结论；
（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线AB的解析式，就可以求出AB与x轴的交点坐标，就可以求出△AOB的面积；
（3）分三种情况进行讨论即可得.
【解析】
(1)由二次函数图象的顶点为A(1，－3)可设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－3，
∵其图象过点C(2，0)，∴0＝a－3，解得a＝3，
∴该二次函数的表达式为y＝3(x－1)2－3＝3x2－6x；
(2)由题意得，解得：，，
∵交点不是原点，
∴点B的坐标为(3，9)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A(1，－3)，B(3，9)分别代入可得，解得：，
所以直线AB的函数表达式为y＝6x－9，
令y＝0，得x＝，
设直线AB与x轴的交点为D，则OD＝，
∴S△AOB＝S△BOD＋S△AOD＝××9＋××3＝9；
(3)△AOQ是等腰三角形分以下三种情况：
①AO＝AQ，此时点Q与点C重合，
∴点Q的坐标为(2，0)；
②OQ＝OA，
由A(1，－3)可求得OA＝，∴OQ＝，
∴此时点Q的坐标为(－，0)或(，0)；
③QO＝QA，如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，

则AQ＝x，OE＝1，AE＝3，
设OQ＝x，则AQ＝x，EQ＝x－1，
在Rt△AEQ中，AQ2＝EQ2＋AE2，
∴x2＝(x－1)2＋32，解得x＝5，∴此时点Q的坐标为(5，0)，
综上，满足题意的点Q的坐标为(2，0)或(－，0)或(，0)或(5，0)．
【点睛】
本题考查了二次函数综合，涉及了待定系数法、三角形的面积，等腰三角形的性质、勾股定理等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
19．（2021·广西九年级期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，4），B点在y轴上．
（1）求m的值及这个二次函数的解析式；
（2）若P是线段AB下方抛物线上一动点，当△ABP面积最大时，求P点坐标以及△ABP面积最大值；
（3）若D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，Q为线段AB之间的一个动点，过Q作x轴的垂线，与这个二次函数图象交于点E，问是否存在这样的点Q，使得四边形DCEQ为平行四边形，若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）m＝1，y＝x2﹣2x+1；（2）△ABP面积最大值为，点P的坐标为（，）；（3）存在，Q点的坐标为（2，3）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△ABP面积＝S△PEA＋S△PEB，即可求解；
（3）要使四边形DCEQ是平行四边形，必需有QE＝DC，即可求解．
【解析】
解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，
∴4＝3+m．
∴m＝1．
设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2，
∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，
∴4＝a（3﹣1）2，
∴a＝1．
∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．
即y＝x2﹣2x+1；
（2）过点P作y轴的平行线交AB于点E，

则△ABP面积＝S△PEA+S△PEB＝PE•（xA﹣xB）＝×[（x+1）﹣（x2﹣2x+1）]×3
＝﹣x2+x，
∵﹣＜0，故△ABP面积存在最大值，当x＝时，△ABP面积最大值为，
此时点P的坐标为（，）；
（3）存在．
理由：要使四边形DCEQ是平行四边形，必需有QE＝DC．

∵点D在直线y＝x+1上，
∴点D的坐标为（1，2），
∴﹣x2+3x＝2．
即x2﹣3x+2＝0．
解得：x1＝2，x2＝1（不合题意，舍去）
∴当Q点的坐标为（2，3）时，四边形DCEQ是平行四边形．
【点睛】
本题为二次函数综合题，考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答，其中（3）是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P存在，然后进行验证计算．
20．（2020·山东九年级）已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点在直线上，横坐标为．
（1）确定二次函数的解析式；
（2）如图1，时，交二次函数的图象于点的面积记作为何值时的值最大，并求出的最大值；

（3）如图2，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点点与点关于直线对称是否存在点使四边形为菱形，若存在直接写出的值;若不存在请说明理由．
【答案】（1） ；（2）m=；；（3）存在，m的值为或．
【分析】
（1）把点A、B的坐标代入，即可得到答案；
（2）过点D作DE∥轴，交直线BC于点E，令点D（，），则点E(，)，易证MED是等腰直角三角形，由，得到二次函数解析式，进而即可求解；
（3）由题意得：当MN=MC时，四边形为菱形，设M(m，-m+3)，则N（m，），从而得MN，MC的表达式，列出关于m的方程，进而即可求解．
【解析】
（1）A（-1，0）、B（3，0）代入 可得，解得·
∴
（2）过点D作DE∥轴，交直线BC于点E
∵
∴点C（0，3）
∴直线BC：·
令点D（，），则点E(，)
∴DE=
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∵DE⊥x轴，
∴MED是等腰直角三角形，
∴MD=
∴·
则时，
此时，点D（，），点E（，）
∴DE=-=，
∴m=；
（3）由题意得：当MN=MC时，四边形为菱形，
设M(m，-m+3)，则N（m，），
∴MN=，MC=，
∴=，解得：m=或
或．

【点睛】
本题主要考查二次函数，一次函数与平面几何的综合，涉及二次函数的图象和性质，菱形的性质定理，熟练掌握二次函数图象与一次函数图象上点的坐标特征，是解题的关键．
21．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使的面积与的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）这个正比例函数的解析式为．
这个反比例函数的解析式为．
（2）因为点在的图象上，所以
，则点．
一次函数的解析式为．……2分
（3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为．
设二次函数的解析式为．
因为的图象过点、、和，
所以……1分 解得
这个二次函数的解析式为．
（4）交轴于点，点的坐标是，
．
假设存在点，使．
∴
在二次函数的图象上，
∴或或
点的坐标为．
【解析】
（1）由点A的坐标根据待定系数法即可求得两个函数的解析式；
（2）先根据反比例函数解析式求得点B的坐标，再由平移的特征设出一次函数解析式，最后把点B的坐标代入即可；
（3）先求出点D的坐标，由A、B、D三点坐标根据待定系数法即得二次函数解析式；
（4）先求出点C的坐标，从而得到的面积S，再根据求得点E的纵坐标，最后根据二次函数解析式求得点E的横坐标即可．
22．（2019·广东深圳外国语学校九年级月考）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） （2）最大值为10
（3）故点P坐标为：或或．
【解析】
【分析】
（1）二次函数表达式为：，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG的周长，即可求解；
（3），解得：，即可求解．
【解析】
（1）二次函数表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，解得：，
故函数表达式为：…①；
（2）设点M的坐标为，则点，
则，，
矩形MNHG的周长，
∵，故当，C有最大值，最大值为10，
此时，点与点D重合；
（3）的面积是矩形MNHG面积的，
则，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即，
过点P作于点K，

将、坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：，
，∴，，
设点，则点，
，
解得：，
则，
解得：，
故点，
直线n的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
即点、的坐标分别为、；
故点P坐标为：或或．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
23．（2018·山西中考模拟）如图，平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图线与坐标轴分别交于点A、B、C，其中点A（0，8），OB=OA．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若OD=OB，点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点，E为DF的中点，当△CEF的面积最大时，求出点E的坐标；
（3）将三角形CEF绕E旋转180°，C点落在M处，若M恰好在该抛物线上，求出此时△CEF的面积．

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+8；（2）E（﹣，）；（3）
【解析】
分析：（1）根据题意得出B点坐标，进而利用待定系数法求出函数解析式；
（2）首先求出直线DC的解析式进而表示出FP的长，再表示出S△CEF，进而得出E的坐标；
（3）根据题意表示出M点坐标，进而代入二次函数解析式得出m的值，即可得出答案．
解析：（1）∵OA=8，
∴OB=OA=4，
∴B（4，0），
∵y=﹣x2+bx+c的图象过点A（0，8），B（4，0），
∴，解得：，
∴二次函数表达式为：y=﹣x2﹣x+8；
（2）当y=0时，﹣x2﹣x+8=0，
解得：x1=4，x2=﹣8，
∴C点坐标为：（﹣8，0），
∵D点坐标为：（0，4），
∴设CD的解析为：y=kx+d，
故，解得：，
故直线DC的解析为：y=x+4；
如图1，过点F作y轴的平行线交DC于点P，

设F点坐标为：（m，﹣m2﹣m+8），则P点坐标为：（m，m+4），
则FP=﹣m2﹣m+4，
∴S△FCD=•FP•OC=×（﹣m2﹣m+4）×8
=﹣m2﹣6m+16，
∵E为FD中点，
∴S△CEF=×S△FCD=﹣m2﹣3m+8=﹣（m﹣3）2+，
当m=﹣3时，S△CEF有最大值，
∴﹣m2﹣m+8=﹣×9+3+8=，
E点纵坐标为：×（﹣4）+4=，
∴F（﹣3，），
∴E（﹣，）；
（3）如图2，∵F点坐标为：（m，﹣m2﹣m+8），

C点坐标为：（﹣8，0），D点坐标为：（0，4），
∴M（m+8，﹣m2﹣m+12），
又∵M点在抛物线上，
∴﹣（m+8）2﹣（m+8）+8=﹣m2﹣m+12，
解得：m=﹣7，
故S△CEF=﹣m2﹣3m+8=．
点睛：此题主要考查了二次函数综合以及三角形面积求法和待定系数法求函数解析式等知识，正确表示出各点坐标是解题关键．
24．（2016·山东九年级期末）（2015•黑龙江二模）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．

（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点，连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，直接写出△BDE的面积．
【答案】（1）y=x2﹣4x+6；（2）顶点坐标为（4，﹣2），y=x2﹣4x+6；（3）．
【解析】
试题分析：（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先把（1）中的解析式配成顶点式即可得到顶点坐标，然后利用抛物线对称性确定D点坐标；
（3）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再利用解方程组得E点坐标，然后利用S△BDE=S△BDC+S△EDC进行计算即可．
解：（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=x2+bx+c得，解得，
所以二次函数解析式为y=x2﹣4x+6；
（2）y=x2﹣4x+6=（x﹣4）2﹣2，
所以二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），
由于抛物线的对称轴为直线x=4，而A（2，0），
所以D点坐标为（6，0）；
（3）C（4，0），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（8，6），C（4，0）代入得，解得，
所以直线BC的解析式为y=x﹣6，
解方程组得或，
所以E点坐标为（3，﹣），
所以S△BDE=S△BDC+S△EDC=×（6﹣4）×6+×（6﹣4）×=．
考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
25．（2020·江苏九年级）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）10 （3）存在；（，）或（，）或（，）
【分析】
（1）将抛物线的解析式设为顶点式，然后将点B代入即可求出抛物线的解析式；
（2）由四边形MNHG为矩形知MN∥x轴，MG∥y轴，故可设出点M坐标，则矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，利用二次函数性质即可求解；
（3）由（2）中知，D与N重合，由已知先求出S△PNC值，连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK⊥CD于点K，设出点P坐标，通过推导计算，即可求解出点P的坐标.
【解析】
（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，
故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），
则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，
矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，
∵﹣2＜0，故当x＝＝2，C有最大值，最大值为10，
此时x＝2，点N（0，3）与点D重合；
（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的，
则S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK⊥CD于点K，
将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，
OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，
解得：PH＝＝HG，
则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，
解得：x＝，
故点P（，），
直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，
联立①②并解得：x＝，
即点P′、P″的坐标分别为(，）、（，）；
故点P坐标为：（，）或（，）或（，）.

【点睛】
本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，提取有效信息，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推导、探究、发现和计算.
26．（2020·四川九年级期中）如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于，过、画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点在轴正半轴上，且，求的长；
（3）若为线段上一个动点，过点作平行于轴交抛物线于点，当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出此时点 的坐标及四边形面积的最大值．


【答案】(1) y=x2-x-2；（2）OP=；（3）M（1，0），S四边形ACNB面积最大值为4．
【分析】
（1）先根据点的特点，设成交点式，用待定系数法求抛物线的解析式，
（2）设出点P的坐标，表示出PA=m+1，PC=，由PA=PC，求出m即可；
（3）把四边形分成△AOC，梯形OCNM，△BMN，分别求出面积，确定出函数解析式即可．
【解析】
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（2，0）两点，
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-2），
∴抛物线与y轴交于点C（0，-2），
∴-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-2）=x2-x-2，
（2）∵点P在x轴正半轴上，
∴设点P（m，0）（m＞0），
∴PA=m+1，PC=
∵PA=PC，
∴m+1=
∴m=，
∴OP=m=；
（3）如图，∵M为线段OB上的一个动点，
∴设M（n，0），（0＜n＜2）
∵过点M做MN平行于y轴交抛物线于点N，
∴n（n，n2-n-2）
∵OA=1，OC=2，OM=n，MN=|n2-n-2|=-（n2-n-2）=-n2+n+2，MB=2-n，
∴S四边形ACNB=S△AOC+S梯形OCNM+S△BMN
=OA×OC+（OC+MN）×OM+MB×MN，
=×1×2+ [2+（-n2+n+2）]n+×（2-n）×（-n2+n+2）
=-n2+2n+3
=-（n-1）2+4，
∵0＜n＜2，
∴当n=1时，S四边形ACNB面积最大，最大值为4，
∴M（1，0），S四边形ACNB面积最大值为4．

【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，面积的计算，解本题的关键是表示线段，难点是四边形面积的分割．
27．（2015·福建九年级）如图，顶点为P（2，-4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，

（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点A的坐标是（3，-3），求△OAP的面积．
（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，l上有一点N，且点M、N关于点P对称，试证明：∠ANM=∠ONM．
【答案】（1）y=x2-4x；（2）3；（3）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-2）2-4，然后把原点坐标代入求出a即可得到二次函数解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线OA的解析式为y=-x，则确定M（2，-2），则MP=2，由于△OPM和△APM共底边PM，且PM边上的高的和为3，于是可利用S△OAP=S△OPM+S△APM进行计算；
（3）过点A作AB⊥x轴于点B，AH⊥l于点H，l与x轴交于点C，如图，根据二次函数图象上点的坐标特征，设 A（m，m2-4m），则 H（2，m2-4m），B（m，0），C（2，0），通过证明△OCM∽△OBA，可求出CM=-2m+8，得到M（2，2m-8），再利用点M、N关于点P对称得到N（2，-2m），接着计算出，，即有，根据相似三角形的判定方法得到△OCN∽△AHN，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
试题解析：（1）解：设二次函数的关系式为y=a（x-2）2-4，
∵二次函数图象经过原点（0，0），
∴0=（0-2）2-4，解得a=1，
∴二次函数解析式为y=（x-2）2-4，即y=x2-4x；
（2）解：设直线OA的解析式为y=kx，
将A（3，-3）代入得-3=3k，解得k=-1，
∴直线OA的解析式为y=-x，
当x=2代入y=-x=-2，
∴M（2，-2），
∴MP=-2+4=2，
∴S△OAP=S△OPM+S△APM=×3×2=3；
（3）证明：过点A作AB⊥x轴于点B，AH⊥l于点H，l与x轴交于点C，如图，

设 A（m，m2-4m），则 H（2，m2-4m），B（m，0），C（2，0），
∵CM∥AB，
∴△OCM∽△OBA，
∴，即，解得CM=-2m+8，
∴M（2，2m-8），
∴MP=2m-8+4=2m-4，
∵点M、N关于点P对称，
∴PN=MP=2m-4，
∴N（2，-2m），
∵OC=2，CN=2m，AH=m-2，NH=m2-2m，
∴，，
∴，
而∠OCN=∠AHN，
∴△OCN∽△AHN，
∴∠ONC=∠ANH，
即∠ANM=∠ONM．
考点：二次函数综合题．
28．（2020·江苏九年级）如图，已知二次函数y=x2－mx－m－1的图像交x轴于A、B两点（A、B分别位于坐标原点O的左、右两侧），交y轴于点C，且△ABC的面积为6．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P为平面内一点，且PB=3PA，试求当△PAB的面积取得最大值时点P的坐标，并求此时直线PO将△ABC分成的两部分的面积之比．

【答案】（1）y=x2－2x－3；（2）5∶3或1∶15．
【分析】
（1）分别求出A，B，C的坐标，结合△ABC的面积为6，列出关于m的方程，求出m的值，即可得到二次函数解析式；
（2）设P(a，b)，根据PB=3PA以及两点间的距离公式，得到b2关于a的二次函数，利用二次函数的性质，求出使△PAB面积最大时，点P的坐标，然后分两种情况：①当P1(－，)时，②当P2(－，－)时，分别求出此时直线PO将△ABC分成的两部分的面积之比，即可．
【解析】
（1）令y=0，得：0=x2－mx－m－1，解得：x1=－1，x2=m＋1，
∴A(－1，0)，B(m＋1，0)．
当x=0时，y=－m－1，
∴C(0，－m－1)．
∵B(m＋1，0)在y轴的右侧，
∴m＋1＞0，
由“△ABC的面积为6”得：S=（m＋1）（m＋2）=6，
解得：m1=－5（舍去），m2=2，
∴y=x2－2x－3．
（2）设P(a，b)，
∵A(－1，0)，B(3，0)，PB=3PA，
∴PB2=9PA2，即（3－a）2＋b2=9[（－1－a）2＋b2]，
化简得：b2=－a2－3a．
要使△PAB面积最大，底AB=4为定值，因此只要使AB边上的高最大，即b2取得最大值．
∵b2=－（a＋）2＋，
∴当a=－时，b2取得最大值为，即取得最大值为，
∴P1(－，)，P2(－，－)．
①当P1(－，)时，直线P1O的解析式为：y=－x，
∵B(3，0)，C(0，-3)，
∴直线BC的解析式为：y=x－3．
联立y=－x与y=x－3，得-x=x-3，解得：x=，
∴P1O与BC的交点Q1(，－)，
∴△OBQ1的面积=×3×=，四边形ACQ1O的面积=6-=，
∴此时直线PO将△ABC分成的两部分的面积之比为∶，即5∶3．
②当P2(－，－)时，与①同理可得直线PO将△ABC分成的两部分的面积之比为1∶15．
【点睛】
本题主要考查二次函数与平面几何的综合，涉及二次函数的性质，待定系数法，函数图象的交点坐标，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象和性质，利用二次函数求最值，是解题的关键．
29．（2019·江苏九年级期末）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴的两个交点分别为A（1，0）、B（3，0），与y轴的交点为C．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在x轴上方的二次函数图象上，是否存在一点E使得以B、C、E为顶点的三角形的面积为？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在，
【分析】
（1）设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣3），化为一般式得到3a＝﹣3，解得a＝﹣1，从而得到抛物线解析式；
（2）先确定C（0，﹣3），作EF∥y轴交直线BC于F，如图，利用直线平移得到直线BC的解析式为y＝x﹣3，设E（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），利用三角形面积公式得到S△BCE＝•EF•3＝﹣x2+x＝，然后解方程求出x即可得到满足条件的E点坐标．
【解析】
解：（1）抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），即y＝ax2﹣4ax+3a，
∵3a＝﹣3，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在．
当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣3＝-3，
∴C（0，﹣3），
作EF∥y轴交直线BC于F，如图，
∵B（3，0），C（0，﹣3）；
得直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设E（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），
∴EF＝﹣x2+4x﹣3﹣（x﹣3）＝﹣x2+3x，
∴S△BCE＝•EF•3＝﹣x2+x，
即﹣x2+x＝，解得x1＝，x2＝
当x＝时，y＝﹣x2+4x﹣3＝，此时E点坐标为（，），
当x＝时，y＝﹣x2+4x﹣3＝，此时E点坐标为（，），
∵E在x轴上方，此情况不符合题意；
综上所述，E点坐标为（，）．

【点睛】
本题考查了解二次函数综合题的方法：先要运用待定系数法求出二次函数的解析式，其次要利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而表示出三角形的面积，列出方程去确定点的坐标．
30．（2020·山东九年级）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数交轴，在轴上有一点，连接AE,D是第二象限内的抛物线上一动点
（1）求二次函数的解析式；
（2）求面积的最大值并写出此时点D的坐标；
（3）若，求此时点D的坐标．


【答案】（1）；（2）最大值，；（3）
【分析】
(1)将A(-4,0)，B(2,0)代入y=ax2+bx+6即可求解；
(2)先求出AE的解析式为，设，过D点作DK⊥y轴，进而求出K点坐标，再利用即可求解；
(3) 过点A作AN⊥DE，DE与x中交于点F，由tan∠AED=求出AN和NE的长度，再证明Rt△AFN∽Rt△EFO，进而得到，得到F的坐标，进而求出EF的解析式，再和抛物线联立方程组即可求解．
【解析】
（1）将点A(-4,0),B(2,0)代入抛物线的解析式y=ax2+bx+6
得：
∴解析式为
(2)设,
过点D作轴，交于点K，，


当时有最大值，此时．
故答案为：，最大值．
(3)过点A作,DE与X轴交于点F，








∴EF的解析式为,


．


故答案为：．

【点睛】
本题是二次函数的综合问题，主要考查二次函数的图形及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，数形结合解题是关键．