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山东省临清市2020年九年级初中学业水平第二次模拟考试数学试题 及答案
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这是一份山东省临清市2020年九年级初中学业水平第二次模拟考试数学试题 及答案，共27页。试卷主要包含了若|a|＝，则a＝，若分式的值为0，则x的值是，下列运算正确的是，若关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
1．若|a|＝，则a＝（ ）
A．B．﹣C．±D．3
2．一个机器零件如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．±3B．﹣3C．3D．0
4．在抗击“新冠肺炎”时期的线上教学活动中，小玲连续七天数学在线答题分数如表：
则这七天测评分数的众数和中位数依次是（ ）
A．98，85B．85，98C．98，86D．85，86
5．下列运算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2B．a3•a2＝a5C．（a4）2＝a6D．a3+a4＝a7
6．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．（﹣12+8）cm2B．（16﹣8）cm2
C．（8﹣4）cm2D．（4﹣2）cm2
7．解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（ ）
A．5B．πC．D．π
9．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜且k≠﹣2B．kC．k≤且k≠﹣2D．k
10．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息有：
①甲队挖掘30m时，用了3h；
②挖掘5h时甲队比乙队多挖了5m；
③乙队比甲队多挖4m时，所对应的时间为h和h；
④开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时，x＝4．
其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
12．如图，已知P（3，2），B（﹣2，0），点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标为（ ）
A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
二．填空题（共5小题）
13．8cs60°﹣3×（﹣）+（﹣3）的值为 ．
14．若一个圆锥的主视图如图，其中AB＝6cm，BC＝4cm，则该圆锥的侧面积为 cm2．
15．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
16．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠ABC＝60°，则DE＝ m．
17．已知点C在线段AB上，M1、N1分别为线段AC、CB的中点，M2、N2分别为线段M1C、N1C的中点，M3、N3分别为线段M2C、N2C的中点，…M2020、N2020分别为线段M2019C、N2019C的中点．若线段AB＝a，则线段M2020N2020的值是 ．
三．解答题
18.化简：（+）÷
19.某校为了解九年级学生的视力情况，随机抽样调查了部分九年级学生的视力，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
根据以上信息，解决下列问题：：
（1）本次调查的样本容量是 ；
（2）在被调查学生中，视力在4.25＜x≤4.55范围内的人数为 人，视力在5.15＜x≤5.45范围内学生数占被调查学生数的百分比是 %；
（3）在统计图中，求C组对应扇形的圆心角度数；
（4）若该校九年级有400名学生，估计视力超过4.85的学生人数．
20.如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
21.某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球和足球，已知购买20个篮球和40个足球的总金额为4600元；购买30个篮球和50个足球的总金额为6100元．
（1）每个篮球、每个足球的价格分别为多少元？
（2）若该校购买篮球和足球共60个，且购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，则该校最多可购买多少个篮球？
22.如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．
23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．
25.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝2OC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接PA，PC，设点P的横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，当MN＝2时，求点M的坐标．
2020年山东省聊城市临清市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．若|a|＝，则a＝（ ）
A．B．﹣C．±D．3
【分析】利用绝对值的代数意义化简即可确定出a的值．
【解答】解：∵|a|＝，
∴a＝±，
故选：C．
2．一个机器零件如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的里面有两条纵向的虚线．
故选：B．
3．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．±3B．﹣3C．3D．0
【分析】分式的值等于零，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意，得
x2﹣9＝0且x+3≠0，
解得，x＝3．
故选：C．
4．在抗击“新冠肺炎”时期的线上教学活动中，小玲连续七天数学在线答题分数如表：
则这七天测评分数的众数和中位数依次是（ ）
A．98，85B．85，98C．98，86D．85，86
【分析】根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，进行判断即可．
【解答】解：共有7个数，排序为：78，80，84，85，86，98，98，
∴中位数是第四个数，
∴中位数是85；
∵98出现的次数最多，
∴众数为98，
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2B．a3•a2＝a5C．（a4）2＝a6D．a3+a4＝a7
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是3a，故本选项不符合题意；
B、结果是a5，故本选项符合题意；
C、结果是a8，故本选项不符合题意；
D、a3和a4不能合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．（﹣12+8）cm2B．（16﹣8）cm2
C．（8﹣4）cm2D．（4﹣2）cm2
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，
∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，
∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16，
＝8+16﹣12﹣16，
＝（﹣12+8）cm2．
故选：A．
7．解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①得：x≤﹣1，
解不等式②得：x＜5，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选：D．
8．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（ ）
A．5B．πC．D．π
【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC＝60°，再利用弧长公式求得即可．
【解答】解：连接OC、OA，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴的长＝＝π，
故选：D．
9．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜且k≠﹣2B．kC．k≤且k≠﹣2D．k
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，
解得：k且k≠﹣2，
故选：C．
10．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息有：
①甲队挖掘30m时，用了3h；
②挖掘5h时甲队比乙队多挖了5m；
③乙队比甲队多挖4m时，所对应的时间为h和h；
④开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时，x＝4．
其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
甲队的速度为：60÷6＝10（米/小时），故甲队挖掘30m时，用时30÷10＝3h，故①正确；
当x＞2时，乙队的速度为：（50﹣30）÷（6﹣2）＝5（米/小时），
故挖掘5h时甲队比乙队多挖了10×5﹣[30+（5﹣2）×5]＝5m，故②正确；
当0＜x＜2时，乙队的速度为：30÷2＝15（米/小时），
设乙队比甲队多挖4m时，所对应的时间为th，
当0＜t＜2时，令15t﹣10t＝4，得t＝，
当2＜t＜6时，令[30+5（t﹣2）]﹣10t＝4，得t＝，
故③错误；
当当2＜x＜6时，令[30+5（x﹣2）]﹣10x＝0，得x＝4，故④正确；
故选：C．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
【分析】如图，连接BD，由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝60°，可证△ABD为等边三角形，由“SSS”可证△ABE≌△DBE，可得∠ABE＝∠DBE＝30°，由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：如图，连接BD，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，AB＝BD，且AE＝DE，BE＝BE，
∴△ABE≌△DBE（SSS）
∴∠ABE＝∠DBE＝30°
∴∠ABE＝∠DBE＝30°，且∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝15°，
∴∠BED＝135°．
故选：C．
12．如图，已知P（3，2），B（﹣2，0），点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标为（ ）
A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
【分析】将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，可得四边形ABNM是平行四边形，根据当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于AP长，可得PM、MN、NB长度之和最小，再根据待定系数法求得AP的解析式，即可得到点M的坐标．
【解答】解：如图，将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，则BN＝AM，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴MN＝AB＝1，
∴当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于AP长，
此时PM、MN、NB长度之和最小，
∵P（3，2），B（﹣2，0），AB＝1，
∴A（﹣1，0），
设AP的解析式为y＝kx+b，则
，解得，
∴y＝x+，
令x＝0，则y＝，即M（0，），
故选：A．
二．填空题（共5小题）
13．8cs60°﹣3×（﹣）+（﹣3）的值为 3 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及有理数的混合运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝8×+2﹣3
＝4+2﹣3
＝3．
故答案为：3．
14．若一个圆锥的主视图如图，其中AB＝6cm，BC＝4cm，则该圆锥的侧面积为 12π cm2．
【分析】先根据主视图得出圆锥底面圆的半径为2cm，母线长为6cm，再根据扇形的面积公式S＝LR求解可得．
【解答】解：由题意知，该圆锥底面圆的半径为2cm，母线长为6cm，
则该圆锥的侧面积为×2π×2×6＝12π（cm2），
故答案为：12π．
15．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为＝，
故答案为：．
16．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠ABC＝60°，则DE＝ 2 m．
【分析】由于BC、DE垂直于横梁AC，可得BC∥DE，利用平行线分线段成比例定理可得AE：CE＝AD：BD，而D是AB中点，可知AB＝BD，从而有AE＝CE，即可证DE是△ABC的中位线，可得DE＝BC，在Rt△ABC中易求BC，进而可求DE．
【解答】解：∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∴AE：CE＝AD：BD，
∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
在Rt△ABC中，BC＝AB＝4，
∴DE＝2．
故答案为：2．
17．已知点C在线段AB上，M1、N1分别为线段AC、CB的中点，M2、N2分别为线段M1C、N1C的中点，M3、N3分别为线段M2C、N2C的中点，…M2020、N2020分别为线段M2019C、N2019C的中点．若线段AB＝a，则线段M2020N2020的值是 ．
【分析】根据线段中点的定义分别求解线段M1N1，线段M2N2的值，线段M3N3的值，线段M2019N2019的值，通过找规律可求解．
【解答】解：∵点C在线段AB上，M1、N1分别为线段AC、CB的中点，线段AB＝a，
∴M1N1＝AB＝a；
∵M2、N2分别为线段M1C、N1C的中点，
∴M2N2＝M1N1＝；
∵M3、N3分别为线段M2C、N2C的中点，
∴M3N3＝M2N2＝；
…
∴M2019N2019＝；
∴M2020N2020＝．
故答案为．
三．解答题
18.化简：（+）÷
【考点】6C：分式的混合运算．
【专题】11：计算题；513：分式．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝a．
19.某校为了解九年级学生的视力情况，随机抽样调查了部分九年级学生的视力，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
根据以上信息，解决下列问题：：
（1）本次调查的样本容量是 ；
（2）在被调查学生中，视力在4.25＜x≤4.55范围内的人数为 人，视力在5.15＜x≤5.45范围内学生数占被调查学生数的百分比是 %；
（3）在统计图中，求C组对应扇形的圆心角度数；
（4）若该校九年级有400名学生，估计视力超过4.85的学生人数．
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图．
【专题】542：统计的应用；69：应用意识．
【答案】（1）40；
（2）6、12.5；
（3）162°；
（4）130人．
【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以B组百分比求得其人数，再根据各分组人数之和等于总人数求得E组人数，最后用所得人数除以总人数即可得；
（3）用360°乘以C组人数所占比例即可得；
（4）总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可得．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是8÷20%＝40，
故答案为：40；
（2）视力在4.25＜x≤4.55范围内的人数为40×15%＝6人，
∵B组人数为40×15%＝6，
∴E组人数为40﹣（3+6+18+8）＝5，
则视力在5.15＜x≤5.45范围内学生数占被调查学生数的百分比是×100%＝12.5%，
故答案为：6、12.5；
（3）在统计图中，C组对应扇形的圆心角度数为360°×＝162°；
（4）估计视力超过4.85的学生数为400×＝130人．
20.如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．
【专题】553：图形的全等；556：矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“AAS”可证△AEB≌△BFC，可得AE＝BF；
（2）由线段垂直平分线的性质可得BD＝AB＝2．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
21.某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球和足球，已知购买20个篮球和40个足球的总金额为4600元；购买30个篮球和50个足球的总金额为6100元．
（1）每个篮球、每个足球的价格分别为多少元？
（2）若该校购买篮球和足球共60个，且购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，则该校最多可购买多少个篮球？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【专题】12：应用题；524：一元一次不等式(组)及应用；66：运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每个篮球、足球的价格分别是x元，y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）设购买了篮球m个，根据题意列出不等式，求出解集即可确定出m的最大值．
【解答】解：（1）设每个篮球、足球的价格分别是x元，y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每个篮球、足球的价格分别是70元，80元；
（2）设购买了篮球m个，
根据题意得：70m≤80（60﹣m），
解得：m≤32，
∴m最多取32，
答：最多可购买篮球32个．
22.如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数求出BJ+EK的长度，再与2比较大小即可解答本题．
【解答】解：∵BH＝0.6米，sinα＝，
∴AB＝＝1米，
∴AH＝0.8米，
∵AF＝FC＝2米，
∴BF＝1米，
作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，
∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，BF＝AB，
∴△EFK∽△FBJ∽△ABH，△FBJ≌△ABH，
∴，BJ＝BH＝0.6米，
即，
解得，EK＝1.28，
∴BJ+EK＝0.6+1.28＝1.88＜2，
∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．
23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作AD⊥y轴于D，根据正切函数，可得AD的长，得到A的坐标，根据待定系数法，可得k的值；
（2）根据题意即可求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（3）先根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得△AOB的面积为4，然后设P（0，t），得出S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，由S△PBC＝2S△AOB列出关于t的方程，解得即可．
【解答】解：（1）作AD⊥y轴于D，
∵点A的坐标为（m，3），
∴OD＝3，
∵tan∠AOC＝．
∴＝，即＝，
∴AD＝1，
∴A（﹣1，3），
∵在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3；
（2）∵点B与点A关于y＝x成轴对称，
∴B（3，﹣1），
∵A、B在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（3）连接OC，
由直线AB为y＝﹣x+2可知，C（0，2），
∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×1+×2×3＝4，
∵P是y轴上一点，
∴设P（0，t），
∴S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，
∵S△PBC＝2S△AOB，
∴|t﹣2|＝2×4，
∴t＝或t＝﹣，
∴P点的坐标为（0，）或（0，﹣）．
24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．
【考点】KQ：勾股定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质和已知条件推知OC∥AD，根据平行线的性质和等角对等边证得结论；
（2）AE＝AD﹣ED，通过相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AD＝4，DC＝2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE＝＝1，故AE＝AD﹣ED＝3．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1＝∠3．
又OA＝OC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴CE＝CB；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝2，CB＝CE＝，
∴AB＝＝＝5．
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠2，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝＝，即＝＝，
∴AD＝4，DC＝2．
在直角△DCE中，DE＝＝1，
∴AE＝AD﹣ED＝4﹣1＝3．
25.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝2OC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接PA，PC，设点P的横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，当MN＝2时，求点M的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】153：代数几何综合题；536：二次函数的应用；66：运算能力；67：推理能力；69：应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2．
（2）S＝t2+t；
（3）（2，3），（2﹣2﹣1），（2+2﹣1）．
【分析】（1）由题意求出B，C的坐标，将点B，C坐标代入抛物线的解析式，则可得出答案；
（2）设点P（t，﹣t2+t+2），连接OP，根据S△ACP＝S△ACO+S△OCP﹣S△AOP可得出答案；
（3）设点M的坐标为（m，﹣m+2），则ON＝m，得出点N的坐标为（m，），则MN＝|﹣+2m|，由MN＝2得出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）∵OB＝2OC＝4，
∴点B，C的坐标分别为（4，0），（0，2），
将点B，C坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2．
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0
∴x＝﹣1或x＝4，
∴点A（﹣1，0）；
设点P（t，﹣t2+t+2），
连接OP，
S△ACP＝S△ACO+S△OCP﹣S△AOP＝×OA×OC+×xP×OC﹣×OA×yP
＝1+t﹣（﹣t2+t+2）
＝t2+t；
即S＝t2+t；
（3）设点M的坐标为（m，﹣m+2），则ON＝m，
∵tan∠CBA＝，
∴DN＝，
∴点N的坐标为（m，），
∴MN＝|﹣|
＝|﹣+2m|，
∵MN＝2，
∴|﹣+2m|＝2，
当0＜m＜4时，﹣+2m＝2，
解得，m1＝m2＝2，
∴点M的坐标为（2，3）；
当m＜0或m＞4时，﹣+2m＝﹣2，
解得，m1＝2﹣2，m2＝2+2，
∴点M的坐标为（2﹣2﹣1），（2+2﹣1）．
综上所述，点M的坐标为（2，3），（2﹣2﹣1），（2+2﹣1）．
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
分数
98
85
80
86
84
78
98
分组
视力
人数
A
3.95≤x≤4.25
3
B
4.25＜x≤4.55
C
4.55＜x≤4.85
18
D
4.85＜x≤5.15
8
E
5.15＜x≤5.45
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
分数
98
85
80
86
84
78
98
1
2
4
8
1
2
4
8
2
2
8
16
4
4
8
32
8
8
16
32
分组
视力
人数
A
3.95≤x≤4.25
3
B
4.25＜x≤4.55
C
4.55＜x≤4.85
18
D
4.85＜x≤5.15
8
E
5.15＜x≤5.45
1．若|a|＝，则a＝（ ）
A．B．﹣C．±D．3
2．一个机器零件如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．±3B．﹣3C．3D．0
4．在抗击“新冠肺炎”时期的线上教学活动中，小玲连续七天数学在线答题分数如表：
则这七天测评分数的众数和中位数依次是（ ）
A．98，85B．85，98C．98，86D．85，86
5．下列运算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2B．a3•a2＝a5C．（a4）2＝a6D．a3+a4＝a7
6．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．（﹣12+8）cm2B．（16﹣8）cm2
C．（8﹣4）cm2D．（4﹣2）cm2
7．解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（ ）
A．5B．πC．D．π
9．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜且k≠﹣2B．kC．k≤且k≠﹣2D．k
10．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息有：
①甲队挖掘30m时，用了3h；
②挖掘5h时甲队比乙队多挖了5m；
③乙队比甲队多挖4m时，所对应的时间为h和h；
④开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时，x＝4．
其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
12．如图，已知P（3，2），B（﹣2，0），点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标为（ ）
A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
二．填空题（共5小题）
13．8cs60°﹣3×（﹣）+（﹣3）的值为 ．
14．若一个圆锥的主视图如图，其中AB＝6cm，BC＝4cm，则该圆锥的侧面积为 cm2．
15．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
16．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠ABC＝60°，则DE＝ m．
17．已知点C在线段AB上，M1、N1分别为线段AC、CB的中点，M2、N2分别为线段M1C、N1C的中点，M3、N3分别为线段M2C、N2C的中点，…M2020、N2020分别为线段M2019C、N2019C的中点．若线段AB＝a，则线段M2020N2020的值是 ．
三．解答题
18.化简：（+）÷
19.某校为了解九年级学生的视力情况，随机抽样调查了部分九年级学生的视力，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
根据以上信息，解决下列问题：：
（1）本次调查的样本容量是 ；
（2）在被调查学生中，视力在4.25＜x≤4.55范围内的人数为 人，视力在5.15＜x≤5.45范围内学生数占被调查学生数的百分比是 %；
（3）在统计图中，求C组对应扇形的圆心角度数；
（4）若该校九年级有400名学生，估计视力超过4.85的学生人数．
20.如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
21.某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球和足球，已知购买20个篮球和40个足球的总金额为4600元；购买30个篮球和50个足球的总金额为6100元．
（1）每个篮球、每个足球的价格分别为多少元？
（2）若该校购买篮球和足球共60个，且购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，则该校最多可购买多少个篮球？
22.如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．
23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．
25.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝2OC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接PA，PC，设点P的横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，当MN＝2时，求点M的坐标．
2020年山东省聊城市临清市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．若|a|＝，则a＝（ ）
A．B．﹣C．±D．3
【分析】利用绝对值的代数意义化简即可确定出a的值．
【解答】解：∵|a|＝，
∴a＝±，
故选：C．
2．一个机器零件如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的里面有两条纵向的虚线．
故选：B．
3．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．±3B．﹣3C．3D．0
【分析】分式的值等于零，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意，得
x2﹣9＝0且x+3≠0，
解得，x＝3．
故选：C．
4．在抗击“新冠肺炎”时期的线上教学活动中，小玲连续七天数学在线答题分数如表：
则这七天测评分数的众数和中位数依次是（ ）
A．98，85B．85，98C．98，86D．85，86
【分析】根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，进行判断即可．
【解答】解：共有7个数，排序为：78，80，84，85，86，98，98，
∴中位数是第四个数，
∴中位数是85；
∵98出现的次数最多，
∴众数为98，
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2B．a3•a2＝a5C．（a4）2＝a6D．a3+a4＝a7
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是3a，故本选项不符合题意；
B、结果是a5，故本选项符合题意；
C、结果是a8，故本选项不符合题意；
D、a3和a4不能合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．（﹣12+8）cm2B．（16﹣8）cm2
C．（8﹣4）cm2D．（4﹣2）cm2
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，
∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，
∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16，
＝8+16﹣12﹣16，
＝（﹣12+8）cm2．
故选：A．
7．解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①得：x≤﹣1，
解不等式②得：x＜5，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选：D．
8．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（ ）
A．5B．πC．D．π
【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC＝60°，再利用弧长公式求得即可．
【解答】解：连接OC、OA，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴的长＝＝π，
故选：D．
9．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜且k≠﹣2B．kC．k≤且k≠﹣2D．k
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，
解得：k且k≠﹣2，
故选：C．
10．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息有：
①甲队挖掘30m时，用了3h；
②挖掘5h时甲队比乙队多挖了5m；
③乙队比甲队多挖4m时，所对应的时间为h和h；
④开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时，x＝4．
其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
甲队的速度为：60÷6＝10（米/小时），故甲队挖掘30m时，用时30÷10＝3h，故①正确；
当x＞2时，乙队的速度为：（50﹣30）÷（6﹣2）＝5（米/小时），
故挖掘5h时甲队比乙队多挖了10×5﹣[30+（5﹣2）×5]＝5m，故②正确；
当0＜x＜2时，乙队的速度为：30÷2＝15（米/小时），
设乙队比甲队多挖4m时，所对应的时间为th，
当0＜t＜2时，令15t﹣10t＝4，得t＝，
当2＜t＜6时，令[30+5（t﹣2）]﹣10t＝4，得t＝，
故③错误；
当当2＜x＜6时，令[30+5（x﹣2）]﹣10x＝0，得x＝4，故④正确；
故选：C．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
【分析】如图，连接BD，由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝60°，可证△ABD为等边三角形，由“SSS”可证△ABE≌△DBE，可得∠ABE＝∠DBE＝30°，由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：如图，连接BD，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，AB＝BD，且AE＝DE，BE＝BE，
∴△ABE≌△DBE（SSS）
∴∠ABE＝∠DBE＝30°
∴∠ABE＝∠DBE＝30°，且∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝15°，
∴∠BED＝135°．
故选：C．
12．如图，已知P（3，2），B（﹣2，0），点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标为（ ）
A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
【分析】将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，可得四边形ABNM是平行四边形，根据当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于AP长，可得PM、MN、NB长度之和最小，再根据待定系数法求得AP的解析式，即可得到点M的坐标．
【解答】解：如图，将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，则BN＝AM，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴MN＝AB＝1，
∴当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于AP长，
此时PM、MN、NB长度之和最小，
∵P（3，2），B（﹣2，0），AB＝1，
∴A（﹣1，0），
设AP的解析式为y＝kx+b，则
，解得，
∴y＝x+，
令x＝0，则y＝，即M（0，），
故选：A．
二．填空题（共5小题）
13．8cs60°﹣3×（﹣）+（﹣3）的值为 3 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及有理数的混合运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝8×+2﹣3
＝4+2﹣3
＝3．
故答案为：3．
14．若一个圆锥的主视图如图，其中AB＝6cm，BC＝4cm，则该圆锥的侧面积为 12π cm2．
【分析】先根据主视图得出圆锥底面圆的半径为2cm，母线长为6cm，再根据扇形的面积公式S＝LR求解可得．
【解答】解：由题意知，该圆锥底面圆的半径为2cm，母线长为6cm，
则该圆锥的侧面积为×2π×2×6＝12π（cm2），
故答案为：12π．
15．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为＝，
故答案为：．
16．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠ABC＝60°，则DE＝ 2 m．
【分析】由于BC、DE垂直于横梁AC，可得BC∥DE，利用平行线分线段成比例定理可得AE：CE＝AD：BD，而D是AB中点，可知AB＝BD，从而有AE＝CE，即可证DE是△ABC的中位线，可得DE＝BC，在Rt△ABC中易求BC，进而可求DE．
【解答】解：∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∴AE：CE＝AD：BD，
∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
在Rt△ABC中，BC＝AB＝4，
∴DE＝2．
故答案为：2．
17．已知点C在线段AB上，M1、N1分别为线段AC、CB的中点，M2、N2分别为线段M1C、N1C的中点，M3、N3分别为线段M2C、N2C的中点，…M2020、N2020分别为线段M2019C、N2019C的中点．若线段AB＝a，则线段M2020N2020的值是 ．
【分析】根据线段中点的定义分别求解线段M1N1，线段M2N2的值，线段M3N3的值，线段M2019N2019的值，通过找规律可求解．
【解答】解：∵点C在线段AB上，M1、N1分别为线段AC、CB的中点，线段AB＝a，
∴M1N1＝AB＝a；
∵M2、N2分别为线段M1C、N1C的中点，
∴M2N2＝M1N1＝；
∵M3、N3分别为线段M2C、N2C的中点，
∴M3N3＝M2N2＝；
…
∴M2019N2019＝；
∴M2020N2020＝．
故答案为．
三．解答题
18.化简：（+）÷
【考点】6C：分式的混合运算．
【专题】11：计算题；513：分式．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝a．
19.某校为了解九年级学生的视力情况，随机抽样调查了部分九年级学生的视力，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
根据以上信息，解决下列问题：：
（1）本次调查的样本容量是 ；
（2）在被调查学生中，视力在4.25＜x≤4.55范围内的人数为 人，视力在5.15＜x≤5.45范围内学生数占被调查学生数的百分比是 %；
（3）在统计图中，求C组对应扇形的圆心角度数；
（4）若该校九年级有400名学生，估计视力超过4.85的学生人数．
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图．
【专题】542：统计的应用；69：应用意识．
【答案】（1）40；
（2）6、12.5；
（3）162°；
（4）130人．
【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以B组百分比求得其人数，再根据各分组人数之和等于总人数求得E组人数，最后用所得人数除以总人数即可得；
（3）用360°乘以C组人数所占比例即可得；
（4）总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可得．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是8÷20%＝40，
故答案为：40；
（2）视力在4.25＜x≤4.55范围内的人数为40×15%＝6人，
∵B组人数为40×15%＝6，
∴E组人数为40﹣（3+6+18+8）＝5，
则视力在5.15＜x≤5.45范围内学生数占被调查学生数的百分比是×100%＝12.5%，
故答案为：6、12.5；
（3）在统计图中，C组对应扇形的圆心角度数为360°×＝162°；
（4）估计视力超过4.85的学生数为400×＝130人．
20.如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．
【专题】553：图形的全等；556：矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“AAS”可证△AEB≌△BFC，可得AE＝BF；
（2）由线段垂直平分线的性质可得BD＝AB＝2．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
21.某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球和足球，已知购买20个篮球和40个足球的总金额为4600元；购买30个篮球和50个足球的总金额为6100元．
（1）每个篮球、每个足球的价格分别为多少元？
（2）若该校购买篮球和足球共60个，且购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，则该校最多可购买多少个篮球？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【专题】12：应用题；524：一元一次不等式(组)及应用；66：运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每个篮球、足球的价格分别是x元，y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）设购买了篮球m个，根据题意列出不等式，求出解集即可确定出m的最大值．
【解答】解：（1）设每个篮球、足球的价格分别是x元，y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每个篮球、足球的价格分别是70元，80元；
（2）设购买了篮球m个，
根据题意得：70m≤80（60﹣m），
解得：m≤32，
∴m最多取32，
答：最多可购买篮球32个．
22.如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数求出BJ+EK的长度，再与2比较大小即可解答本题．
【解答】解：∵BH＝0.6米，sinα＝，
∴AB＝＝1米，
∴AH＝0.8米，
∵AF＝FC＝2米，
∴BF＝1米，
作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，
∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，BF＝AB，
∴△EFK∽△FBJ∽△ABH，△FBJ≌△ABH，
∴，BJ＝BH＝0.6米，
即，
解得，EK＝1.28，
∴BJ+EK＝0.6+1.28＝1.88＜2，
∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．
23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作AD⊥y轴于D，根据正切函数，可得AD的长，得到A的坐标，根据待定系数法，可得k的值；
（2）根据题意即可求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（3）先根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得△AOB的面积为4，然后设P（0，t），得出S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，由S△PBC＝2S△AOB列出关于t的方程，解得即可．
【解答】解：（1）作AD⊥y轴于D，
∵点A的坐标为（m，3），
∴OD＝3，
∵tan∠AOC＝．
∴＝，即＝，
∴AD＝1，
∴A（﹣1，3），
∵在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3；
（2）∵点B与点A关于y＝x成轴对称，
∴B（3，﹣1），
∵A、B在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（3）连接OC，
由直线AB为y＝﹣x+2可知，C（0，2），
∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×1+×2×3＝4，
∵P是y轴上一点，
∴设P（0，t），
∴S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，
∵S△PBC＝2S△AOB，
∴|t﹣2|＝2×4，
∴t＝或t＝﹣，
∴P点的坐标为（0，）或（0，﹣）．
24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．
【考点】KQ：勾股定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质和已知条件推知OC∥AD，根据平行线的性质和等角对等边证得结论；
（2）AE＝AD﹣ED，通过相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AD＝4，DC＝2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE＝＝1，故AE＝AD﹣ED＝3．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1＝∠3．
又OA＝OC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴CE＝CB；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝2，CB＝CE＝，
∴AB＝＝＝5．
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠2，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝＝，即＝＝，
∴AD＝4，DC＝2．
在直角△DCE中，DE＝＝1，
∴AE＝AD﹣ED＝4﹣1＝3．
25.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝2OC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接PA，PC，设点P的横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，当MN＝2时，求点M的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】153：代数几何综合题；536：二次函数的应用；66：运算能力；67：推理能力；69：应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2．
（2）S＝t2+t；
（3）（2，3），（2﹣2﹣1），（2+2﹣1）．
【分析】（1）由题意求出B，C的坐标，将点B，C坐标代入抛物线的解析式，则可得出答案；
（2）设点P（t，﹣t2+t+2），连接OP，根据S△ACP＝S△ACO+S△OCP﹣S△AOP可得出答案；
（3）设点M的坐标为（m，﹣m+2），则ON＝m，得出点N的坐标为（m，），则MN＝|﹣+2m|，由MN＝2得出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）∵OB＝2OC＝4，
∴点B，C的坐标分别为（4，0），（0，2），
将点B，C坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2．
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0
∴x＝﹣1或x＝4，
∴点A（﹣1，0）；
设点P（t，﹣t2+t+2），
连接OP，
S△ACP＝S△ACO+S△OCP﹣S△AOP＝×OA×OC+×xP×OC﹣×OA×yP
＝1+t﹣（﹣t2+t+2）
＝t2+t；
即S＝t2+t；
（3）设点M的坐标为（m，﹣m+2），则ON＝m，
∵tan∠CBA＝，
∴DN＝，
∴点N的坐标为（m，），
∴MN＝|﹣|
＝|﹣+2m|，
∵MN＝2，
∴|﹣+2m|＝2，
当0＜m＜4时，﹣+2m＝2，
解得，m1＝m2＝2，
∴点M的坐标为（2，3）；
当m＜0或m＞4时，﹣+2m＝﹣2，
解得，m1＝2﹣2，m2＝2+2，
∴点M的坐标为（2﹣2﹣1），（2+2﹣1）．
综上所述，点M的坐标为（2，3），（2﹣2﹣1），（2+2﹣1）．
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
分数
98
85
80
86
84
78
98
分组
视力
人数
A
3.95≤x≤4.25
3
B
4.25＜x≤4.55
C
4.55＜x≤4.85
18
D
4.85＜x≤5.15
8
E
5.15＜x≤5.45
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
分数
98
85
80
86
84
78
98
1
2
4
8
1
2
4
8
2
2
8
16
4
4
8
32
8
8
16
32
分组
视力
人数
A
3.95≤x≤4.25
3
B
4.25＜x≤4.55
C
4.55＜x≤4.85
18
D
4.85＜x≤5.15
8
E
5.15＜x≤5.45
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