2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第3讲.一次函数与全等三角形综合（含答案）

这是一份2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第3讲.一次函数与全等三角形综合（含答案），共18页。试卷主要包含了 公式法， 割补法， 容斥法；， 等积变换法， 铅垂线法等内容，欢迎下载使用。

漫画释义
梦游记
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题型切片
编写思路
本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是一次函数与全等三角形几个经典模型的综合，在这类题目上，解题方法无外乎以下几种：⑴数形结合，利用三角形的三边关系求解；⑵由函数到图形得全等，边角关系求解；⑶由图形，或函数关系得到所探究题目的隐藏条件，再充分运用所学几何知识得解（一般这种探究题是比较活的，对运用考察较强）；⑷以结论证条件，以条件猜结论．题型二的面积问题重点应落在铅垂线法求解三角形面积，这种方法与平面直角坐标系有天然的联系，在一次函数部分考查方式较灵活，也较多，需熟练掌握．
本讲的最后一道例题是2013年西城的期末考试题，考查了一次函数的图象和性质，与等腰三角形作法的结合，根据直线位置分类讨论求解图形面积，综合性较强，难度中上，不失为全面考查和总结一次函数部分的一道好题．
题型一：一次函数与全等三角形综合
思路导航

几种全等模型的回顾：
例题精讲
平面直角坐标系内有两点和，点在直线上运动．
⑴ 若点横坐标为，求以直线为图象的函数解析式（直接写出结论）；
⑵ 若点在第四象限，作直线于，直线于，求证：；
⑶ 若点在第一象限，仍作直线的垂线段、，试探究线段、、所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．
（实验中学单元测试）
⑴ 设直线函数解析式为

当为时，，∴的坐标为
∵直线过原点，∴解析式为
⑵ 如图1，由题意可证
∴，，∴
⑶ 如图2，证明
可得结论

图1 图2
典题精练
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点，点在轴上，作，垂足为（点在线段上，且点与点不重合），直线与轴交于点，若．
⑴ 求点的坐标；
⑵ 设长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
⑴ 如图，由可知
∴点坐标为
⑵ 由⑴可知，
∴，，的取值范围是
已知：如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，为轴上点下方一点，，以为边作等腰直角三角形，其中，点落在第四象限．
⑴ 求直线的解析式；
⑵ 用的代数式表示点的坐标；
⑶ 若直线与轴交于点，判断点的坐标是否随的变化而变化，写出你的结论并说明理由． （西城期末）
⑴
⑵ 作轴，交轴于，
由此可知
⑶ 由⑵中的全等可知
，，∴
，可得
∴点坐标不随的变化而变化.
此题最关键一步是如何利用线段长表示点坐标，学生极易在此犯错！要记住线段长为正，而点坐标要根据其所在象限判断正负.
如图1，直线与轴交于点，与直线交于轴上一点，且与轴的交点为．
⑴ 求证：
⑵ 如图2，过轴上一点，作于，交轴于点，交于点，求点的坐标；
⑶ 如图3，将沿轴向左平移，边与轴交于点（不同于和两点），过 点作一直线与的延长线交于点，与轴交于点，且CP=BQ.在平移的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度．若变化，确定其变化范围．
⑴ 由题意得，，又∵
∴
⑵ 由题意得，
∴,∴
∴解析式为
由 解得 ∴
⑶ 不变，
如图过作交于，可知，
从而，
∴，又
∴
如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足．

⑴求直线AB的解析式；
⑵若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；
⑶过A点的直线y=kx-2k交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值．
⑴y=
⑵易证阴影部分三角形全等，得到M（3，3）
故而m=1
⑶过N点做直线垂直于y轴，交PM于G点，另直线NM与坐标轴交点分别为O、I（如图所示），连接IG并做MF⊥x轴于F，
易知N、G两点横坐标分别为和1，将其分别代入MN、MP的解析式中，求得两点坐标为N（，）G（1，），
易证△NHP ≌△GHP，
∴NP=GP
易求I（1，0），
∴IG⊥x轴
易证△IGA≌△FMA，
∴MA=AG
∴
题型二：一次函数与面积综合
思路导航
解决平面直角坐标系中的图形面积问题通常可采用的方法有：
1. 公式法：三角形、特殊四边形等面积公式；
2. 割补法：通过“割补”转化为易求图形面积的和或差；
3. 容斥法；
4. 等积变换法：①平行线法：构造同底等高；②直角三角形：；
5. 铅垂线法：如右图所示，称为铅垂高， 称为水平宽．
必要时需分类讨论．
典题精练
已知：平面直角坐标系中，直线与直线交于点．
⑴求直线的解析式；
⑵若直线与另一条直线交于点，且点的横坐标为，求的面积． （西城期末试题）
⑴∵点在直线上，∴，
∴
⑵ 解法一：作轴于M，轴于N（如上图）
∵点B在直线y=2x上，且点B的横坐标为．
∴点B的坐标为B（，）
∵

∴
解法二：设直线与x轴交于点C（如下图）．
∵点B在直线y=2x上，且点B的横坐标为．
∴点B的坐标为（，）
∵直线经过点A（，4）和点B（，），
∴， ∴
令y=0．可得
∴点C的坐标为
∴．
【教师备选】如图所示，直线OP经过点P（4，），过x轴上的点1、3、5、7、9、11······分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为、、······，则关于n的函数关系式是________．
．
真题赏析
已知：一次函数的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（a，1）．
⑴求a的值及正比例函数y=kx的解析式；
⑵点P在坐标轴上（不与点O重合），若PA=OA，直接写出P点的坐标；
⑶直线x=m与一次函数的图象交于点B，与正比例函数图象交于点C，若△ABC的面积记为S，求S关于m的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
（2013西城期末）
⑴∵一次函数的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（a，1），
∴ ∴a=﹣4，即A（﹣4，1）．
∴﹣4k=1 解得．
∴正比例函数的解析式为；
⑵如图1，P1（﹣8，0）或P2（0，2）；
⑶依题意，得点B的坐标为（m，），点C的坐标为（m，）．
作AH⊥BC于点H，H的坐标为（m，1）．
以下分两种情况：
①当m＜﹣4时，
=．
AH=．
则S△ABC=BC∙AH

∴S=；
②当m＞时，
．
AH=m+4．
则S△ABC=BC∙AH
=（）（4+m）
∴S=；
综上所述，．
【教师备选】已知四条直线，，y=3，x=1所围成的四边形的面积为12，求m的值．
∵，，x=1交于ABCDEF
∴A（，3），B（,-1），C（1，-1），D（1，3），E（，3），F（，-1）
①
∴m=－2
②
∴m=1
综上说述，或m=1．
思维拓展训练(选讲)
如图，为正三角形，点的坐标为，过点作直线交于，交于，且与的面积相等，求直线的解析式.

由与的面积相等可知，.
∵,设直线的解析式为，∴，
∴
∴直线的解析式为：
又的解析式为：，故点的坐标满足下式：
，
故
故直线的解析式为：.
在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴于点.点为轴上一点，且.
= 1 \* GB2 ⑴ 求的值；
= 2 \* GB2 ⑵ 求线段的长；
= 3 \* GB2 ⑶ 当点在直线上（点与点不重合），且，求点的坐标.
（备用图）
(海淀期末试题)
= 1 \* GB2 ⑴ ∵直线经过点，
∴.
∴.
= 2 \* GB2 ⑵ ∵直线交轴于点，
∴点的坐标为.
∴.
∵，
∴.
∵点的坐标为，
∴点的坐标为或.
∴或.
= 3 \* GB2 ⑶ ①当点的坐标为时，如图所示.
取点，连接并延长，交直线
于点.
∵，于，
∴为的垂直平分线.
∴.
∴.
又∵，
∴.
设直线的解析式为.
∵直线经过点，
∴.
∴.
∴直线的解析式为.
解方程组得
∴点的坐标为.
②当点的坐标为时，如图所示.
取点，连接，交直线于点.
同①的方法，可得，直线的解析式
为.
解方程组得
∴点的坐标为.
综上所述，点的坐标为或.
已知：直线：与直线：（k是正整数）及x轴围成的三角形的面积为．
⑴ 求证：无论k取何值，直线与的交点均为定点；
⑵ 求的值．
（西城期末试题）
⑴ 联立的解析式，求得交点坐标为，∴交点为定点.
⑵ 设直线分别与轴交于，两点，则，
∴ ∴
如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，且是等腰直角三角形，点与点关于轴对称，过点的一条直线绕点旋转，交轴于点，交直线于点，且点在第二象限内.
⑴ 求点坐标及直线的解析式；
⑵ 设的面积为，试用表示的面积.
（朝阳期末试题）
⑴ ∵是等腰直角三角形且，∴
∴过点、的直线的解析式为
⑵ ∵点与点关于轴对称，∴
又点在直线上，则
设过、两点的直线的解析式为
∵在直线上，
∴. ∴,
∵点在直线上，
∴,解得.
∴点的坐标为
∵点在第二象限内，∴
①当时，如图.

②当时，如图.

综上所述，
复习巩固
题型一 一次函数与全等三角形综合 巩固练习
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点，点
在轴上，点坐标为.作，垂足为（点
在线段上，且点与点不重合），直线与轴
交于点，．第一象限内有一点，坐标为
，连接，，求证：.
如图，连接，过作于，可知
由可知
又∵，∴，∴
又由可得，∴
∴
如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在
轴上 ，点在上，且满足、分别平分、．
= 1 \* GB2 ⑴ 请你判断此时线段与是否相等，并证明你的结论；
= 2 \* GB2 ⑵ 已知，直接写出线段的长．

= 1 \* GB2 ⑴ 相等，证明如下
如上右图，在上取点，使，连接，
可证，∴
由，、平分与
可得
从而可知
由此，，∴
∴
= 2 \* GB2 ⑵ ∵，∴，∴
由⑵可知，
∴．
如图，已知直线OA的解析式为y=x，直线垂直x轴于点，点的坐标为，
直线关于直线的对称直线为交轴于点．
⑴ 写出点及点的坐标；
⑵ 如图，直线交轴于点，且的面积为1，求点的坐标；
⑶ 若点为⑵中所求，作于点，交于点，作于点，求证：，并直接写出点的坐标．
⑴ ,
⑵ ∵于点，，，
∴．
∴
∴
∴
⑶ 由直线的解析式为，可知
．
又，
∴．
∵直线关于直线的对称直线为，
∴，．
∴．
∴．
在中，，
∴．
∴
在与中，
∴
∴
又由可求得
题型二 一次函数与面积的综合 巩固练习
⑴如图，点A、B、C在一次函数的图象上，它们的横
坐标依次为、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图
中阴影部分的面积和是（ ）．
A．1 B．3
C． D．
图1
2
O
5
x
A
B
C
P
D
图2
⑵ 如图1，在直角梯形中，动点从点出发，沿，
运动至点停止．设点运动的路程为，的面积
为，如果关于的函数图象如图2所示，则的面
积是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
⑴ B ⑵ A， 由图2可知.
直线与轴交于点，与轴交于点．若在轴上有一点，并且满足
，求点坐标．
，∴
∵，∴，又∵
∴或
∴坐标为或
包拯辞官侍母
包公即包拯（公元999-1062年），字希仁，庐州合肥（今安徽合肥市）人，父亲包仪，曾任朝散大夫，死后追赠刑部侍郎。包公少年时便以孝而闻名，性直敦厚。在宋仁宗天圣五年，即公元1027年中了进士，当时28岁。先任大理寺评事，后来出任建昌（今江西永修）知县，因为父母年老不愿随他到他乡去，包公便马上辞去了官职，回家照顾父母。他的孝心受到了官吏们的叫口称颂。
几年后，父母相继辞世，包公这才重新踏入仕途。这也是在乡亲们的苦苦劝说下才去的。在封建社会，如果父母只有一个儿子，那么这个儿子不能扔下父母不管，只顾自己去外地做官。这是违背封建法律规定的。一般情况下，父母为了儿子的前程，都会跟随去的。或者儿子和本家族的其他人规劝。父母不愿意随儿子去做官的地方养老，这在封建时代是很少见的，因为这意味着儿子要遵守封建礼教的约束--辞去官职照料自己。历史书上并没有说明具体原因，可能是父母有病，无法承受路上的颠簸，包公这才辞去了官职。
不管情况如何，包公能主动地辞去官职，还是说明他并不是那种迷恋官场的人。对父母的孝敬也堪为当今一些素质低下的人的表率。以前的故事讲的最多的是包公的铁面无私，把包公孝敬父母的事情给忽视了。
今天我学到了

第十六种品格：感恩
题型切片（两个）
对应题目
题型目标
一次函数与全等三角形的综合
例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3；
一次函数与面积综合
例5，例6，练习4，练习5．
图1 图2 图3 图4 图5
图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将绕点逆时针旋转90°得到，此时可得结论：均为等腰直角三角形；.图2中
图3、图4为“三垂直”全等模型，其中为等腰直角三角形，，三点共线，则有，图3中，图4中
图5中，，延长到使得，则有结论，若，则有