2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第4讲.四边形综合（含答案）

这是一份2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第4讲.四边形综合（含答案），共22页。


4
四边形综合


四边形3级
梯形
四边形4级
四边形综合

四边形5级
典型中点构造

春季班
第五讲
春季班
第四讲
寒季班
第五讲
满分晋级阶梯











漫画释义
壮壮玩拼图

知识互联网


题型切片


题型切片（两个）
对应题目
题型目标
动手操作题
例1，练习1；例2，练习2；例3，练习3；
四边形性质与判定综合
例4，例5，例6，练习4，练习5．
编写思路

本讲内容主要分为两个题型，题型一的动手操作题，近年来考查频率较高，并且对学生综合掌握所学几何部分的能力要求较高，三道例题分别代表了动手操作题的三大题型——折叠、分割、剪拼，并在练习部分各搭配一习题，在思路导航部分对这三类题型进行了总结，希望老师将此类题目的核心思路进行重点强调及讲解；题型二是在中考新大纲的要求下增加的新题型，寒假时已经进行了预热，旨在锻炼学生们综合运用四边形中各特殊图形之间的关系来进行解题的能力，这部分内容对学生的要求较高，每个题几乎都不只考查一种四边形的知识，本讲也可以看成在后几讲分块练习专题课之前的一个小结课．
本讲的最后一道例题是2013年101中学的一道期末考试题，此题根据2011年大兴一模进行改变，增加了最后一问，近年改变题目之风盛行，老师们也可借此题进行发挥，比如训练4是首师大二附的期末考试题，此题也是根据2008年北京中考题改编的，全面考查了特殊四边形的性质、判定等相关知识点．

题型一：动手操作题


思路导航

在近年的中考试题中，几何内容的考查在不断推陈出新，但经典题型——动手操作题却经久不衰，大量出现在各地的中考试卷上．这种题型充分考查了学生的想象能力、构图能力及动手操作能力，主要有以下三个考查方式：
1图形折叠
图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴．
图形的折叠问题分两大类题型：
⑴考查图形折叠的不变性：只需抓住不变量，既对应边相等，对应角相等；
⑵考查图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连成的线段且平分对应边所形成的夹角．
2图形分割
近年中考中图形分割的基本类型有：
⑴把图形分割成面积相等的几部分（等面积）；
⑵把图形分割成形状相同的几部分（相似或全等）；
⑶把图形分割成轴对称或中心对称图形（等腰三角形或特殊四边形）；
⑷把图形分割成满足特定要求的几部分．
思路：只要抓住分割后图形的特殊性即可．
3图形剪拼
图形剪拼是一种常见的几何题目，“剪”就是将整体的图形分割为各个部分；而“拼”则是把若干分散的图形组合成为一个整体图形．
思路：此类问题一般只需根据剪拼过程中面积不变即可．
典题精练

【例1】 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，求折痕的长度．


图1 图2

【解析】 方法一：如图1，作MH∥BC，MN是折痕，则
只需证明得出，由勾股定理求出，
所以．
方法二：延长交延长线于点，由题意可知
，，
∴，，
∵，，
∴，
作，
，，
∴
【点评】 此题是一道非常典型的考察折痕的问题，方法一是应用折痕垂直平分对应点连线段，应用正方形的一个经典模型，将MN转化，方法二是折痕平分对应边所成的夹角，和平行线一起构成等腰三角形，建议老师仔细讲解此题．

【例2】 阅读下列材料：
小明遇到一个问题：是的中线，点为边上任意一点（不与点重合），过点作一直线，使其等分的面积．

他的做法是：如图1，连结，过点作交于点，作直线，直线即为所求直线．
请你参考小明的做法，解决下列问题：
⑴如图2，在四边形中，平分的面积，为边上一点，过作一直线，使其等分四边形的面积（要求：在图2中画出直线，并保留作图痕迹）；
⑵如图3，求作过点的直线，使其等分四边形的面积（要求：在图3中画出直线，并保留作图痕迹）． （2013西城期末）

【解析】 ⑴连接AM，过E作EN∥AM，交AD于N，再做直线MN即可，如图．

⑵取对角线BD的中点M，连接AM、CM、AC，过点M作ME∥AC交CD于E，直线
AE就是所求直线，如图．

【例3】 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a>2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
⑴若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为 ；
⑵求正方形MNPQ的面积；
⑶参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若，则AD的长为 ．
（2013北京中考）

【解析】 ⑴四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为，
每个等腰直角三角形的面积为：，
则拼成的新正方形面积为：，即与原正方形ABCD面积相等，
∴这个新正方形的边长为a
⑵∵四个等腰直角三角形的面积和为，正方形ABCD的面积为，
∴

⑶如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．

由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a，
在Rt△RMF中，RM=
∴
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
则AN=，SD=2ND=，
∴
∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=，正△ABC的面积为，
∴，
∴，解得
解得或（舍去负数）
∴，即AD的长为，故答案为：．
题型二： 四边形性质与判定综合




思路导航

特殊四边形之间的关系：
从属关系:

演变关系：

典题精练




【例4】 如图1，矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．

⑴在图2、图3中，点E、F分别在BC、CD边上，图2中的四边形EFGH是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD的反射四边形．请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD的反射四边形EFGH；
⑵图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长各是多少；
⑶图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积各是多少．
（2013门头沟区二模）
【解析】 ⑴如图3所示：
利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD的反射四边形EFGH．

⑵∵图2中HE=，，GF=，HG=，
∴四边形EFGH的周长为：，
图3中HE=，,,,
∴四边形EFGH的周长为：
∴图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长是定值，定值是

⑶∵图2中四边形EFGH的面积为：，
图3中四边形EFGH的面积为：，
∴图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积不是定值，它们的面积分别是16、12．
【例5】 操作：如图①在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD内部，延长AF交CD于点G．易知FG=GC．
探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段GF与GC相等吗？请说明理由．
拓展：如图③，将图①中的正方形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，若AB=3，AD=4，则△AGD的周长为 ．

（2013长春一模）
【解析】 探究：GF=GC，
理由是：连接CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠ECG=90°，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，∠GFE=∠AFE=∠B=90°，
∵BE=CE，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∴∠GFC=∠GCF，
∴GF=GC．
拓展：连接CF，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴∠B=∠AFE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠GFE=180°，
∴∠C=∠GFE，
∵∠EFC=∠ECF，
∴∠GFC=∠GCF，
∴GF=GC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3=AF，
∵AD=4，
∴△AGD的周长是AD+DG+AF=4+DG+AF+FG=4+DG+CG+AF=4+3+3=10．

真题赏析

【例6】 已知：如图1，在四边形ABCD中，AD=BC，∠A、∠B均为锐角．
⑴当时，如图2，与的位置关系是 ，
大小关系是 ；
⑵当时，与的大小关系是否还成立，证明你的结论．
⑶当时，如图3，点、分别为、边的中点，于，交于．
求证：．

（2013年101中学期末）
【解析】 ⑴如图1，作DE平行于BC交AB于点E，
∴∠B=∠AED，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠AED，
∴AD=DE，
∵AD=CB，
∴DE=CB，
∵DE∥BC，
∴四边形CBED为平行四边形，
∴DC平行且等于EB，
∵EB＜AB，
∴CD∥AB，CD＜AB；

⑵CD＜AB还成立
证明：如图2，分别过点D、B作BC、CD的平行线，
两线交于F点，作∠ADF的平分线交AB于G点，连接GF．
∴四边形DCBF为平行四边形
∴FD=BC，DC=FB
∵AD=BC
∴AD=FD
∴∠ADG=∠FDG． 
在△ADG和△FDG中 
，
∴△ADG≌△FDG（SAS）
∴AG=FG，
∵在△BFG中，FG+BG＞BF，
∴AG+BG＞DC，
∴DC＜AB．

⑶连接AC，取AC中点P，连接PE、PF，PE交AG于Q，延长AD、EF交于R
则，，∵AD=BC
∴PF=PE，∴∠PEF=∠PFE
∵PE∥BC，AG⊥EF
∴∠AGC=∠PQA=90°－∠PEF
∵PF∥AD，AG⊥EF
∴∠DAG=90°－∠R=90°－∠PFE
∴∠AGC=∠DAG

思维拓展训练(选讲)



训练1. 如图，小明将一块边长为的正方形纸片折叠成领带形状，其中，点落在边上的处，则的长为______________．
（海淀一模）









【解析】 ．提示：将图形还原，将放在四边形或中计算. 四边形是一个经典的基本模型.将它放大，如图所示，,,延长至,使得,易证是等腰直角三角形，则.在原图中可以计算得到：,,所以，.

训练2. 如图，矩形纸片中，厘米，厘米，点在上，且厘米，点是边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点与点重合，展开纸片得折痕（如图①）；
步骤二，过点作，交所在的直线于点，连接（如图②）．

图① 图② 图③
⑴ 无论点在边上任何位置，都有 （填“”、“”、“”）；
⑵ 如图③所示，将矩形纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点在点时，与交于点，点的坐标是（ ， ）；
②当厘米时，与交于点，点的坐标是（ ， ）；
③当厘米时，在图③中用尺规作出（不要求写作法，要求保留作图痕迹）， 与交于点，点的坐标是（ ， ）．

备用图 备用图
（崇文一模）
【解析】 ⑴ 无论点在边上任何位置，都有；
⑵ ①当点在点时，与交于点，点的坐标是；
②当厘米时，与交于点，点的坐标是；
③当厘米时，在图③中用尺规作出（连接，作中垂线，作图略），
连接，作中垂线，点的坐标是．
设，过作于,
∴，
∵，∴
∴
∵
∴ ，∴
∴点的坐标是．
【点评】 此题是一道考察折叠不变性的题，题目看似很难，其实只需要按照要求作图，再按照折叠不变性，列出方程．

训练3. 将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，使剪得的三块纸片恰能拼成一个三角形（不能有重叠和缝隙）.图1中提供了一种剪拼成等腰三角形的示意图.

⑴ 请提供另一种剪拼成等腰三角形的方式，并在图2中画出示意图；

⑵ 以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系（如图），点的坐标为．若剪拼后得到等腰三角形，使点、在轴上（在上方），点在边上（不与、重合）.设直线的解析式为（），请写出所有符合条件的的取值及相应的的取值范围（不要求写解题过程）.
（海淀期中统考）
【分析】 图形的拼接实质就是全等变换，抓住边的平行关系和线段的中点构造“8”字形.
【解析】 ⑴ 答案不唯一，例如：
.
⑵结论：，；，；，．
提示：由题意，与矩形的面积相等，且到的距离为，故．
要使得拼接得到的为等腰三角形，三种情况：
①，如图给出了一种特殊的分割方法，为中点，，，，此时直线的解析式满足．若不是中点，只需保持与刚才的分割线平行即可，仍然可以拼接成符合条件的等腰三角形，所以；
②；因为、的水平距离为，,所以、的竖直距离为，考虑到拼接前后部分是全等形，所以只需要即可，如图所示.此时直线的解析式为，故，.
③,实际就是、互换位置，与上一种情况一样，此时直线的解析式为，故，.


【点评】 此题比较新，是一道很好的试题，还有拓展空间．确定这个图形的关键点就是点，我们可以一般化，如设，为正实数，这将是一道比较难的数形结合的综合题．当然还可以这样进行改编，取，其他条件不变.

训练4. 请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形和菱形中，点、、在同一条直线上，是线段的中点，连结、．若，探究与的位置关系及数量关系．
小聪同学的思路是：延长交于点构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

⑴直接写出上面问题中线段与的关系及的值；
⑵如图2，在正方形和正方形中，点、、在同一条直线上，是线段的中点，连结、，探究与的位置关系及数量关系．
⑶将图2中的条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，（如图3），你在⑵中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（2013首师大二附期末）
【解析】 ⑴如图1，延长GP交CD于H，
∵P是DF的中点，
∴DP=FP．
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，
点A，B，E在同一条直线上，
∴DC∥GF，
∴∠HDP=∠GFP．
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴HP=GP DH=FG
∵CD=CB，FG=GB
∴CD-DH=CB-FG
即：CH=CG
∴△HCG是等腰三角形，
∴PC⊥PG，∠HCP=∠GCP（等腰三角形三线合一） 
∴∠CPG=90°．
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∴∠GCP=∠DCB=60°，
∴Rt△CPG中：．
故PG⊥PC，PG=PC，．

⑵PG⊥PC且PG=PC；
理由：如图2，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是正方形，
∴DC=BC，BG=GF，∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP=∠GFP．
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP．
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴DH=FG，PH=PG，
∴HC=GC，
∴△HCG是等腰直角三角形，
∵PH=PG
∴PG⊥PC且PG=PC．

⑶如图3，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是矩形，
∴FGB=∠GCD=∠DCB=90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP=∠GFP．
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP．∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴PH=PG=HG，
∵∠DCB=90°，
∴△HCG是直角三角形，
∴CP=HG，
∴PG=PC；



复习巩固




题型一 动手操作题 巩固练习

【练习1】 如图，矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的点为E，折痕的一端G点在边BC上（BG＜GC），另一端F落在矩形的边上，．
⑴请你在备用图中画出满足条件的图形；
⑵求出折痕的长．

备用图1 备用图2 备用图3
（平谷二模）
【解析】 ⑴ 正确画出图⑴、图⑵
⑵ 如图1，当点F在AB上时，
过点G作GH⊥AD，则四边形ABGH为矩形，
∴GH=AB=8，AH=BG=10，设BF=x,
由图形的折叠可知△BFG≌△EFG，
∴EG=BG=10，BF=EF=x,
在Rt△GEH中，由勾股定理，得EH=6，∴AE=4.
∵∠A=90°，AF=,

∴
解方程，得 ∴BF=5，
∵BG=10，∴
如图2，当点F在AD边上时，连接、、
因为四边形HFGE由四边形ABGF折叠得到，
由折叠可知,BG=EG，AB=EH，∠BGF=∠EGF，
∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG，
∴∠EGF =∠EFG，∴EF=EG，∴BG=EF，
∴四边形BGEF为平行四边形
又∵EF=EG，∴平行四边形BGEF为菱形
∴BE，FG互相垂直平分，
在Rt△EFH中，EF=BG=10，EH=AB=8，
由勾股定理可得FH=AF=6，
∴AE=16，∴BE==8，∴BO=4，
∴FG=2OG=2=4

【练习2】 ⑴如图1，为的中线，点在边上，过点作一直线平分的面积.
⑵如图2，点为平行四边形边上一点，过点作一直线平分平行四边形的面积.
⑶如图3，点为梯形上底上一点，过点作一直线平分梯形的面积.


【解析】 ⑴如图1，连接，作交于,为所求.
⑵如图2，连接和交于点，直线为所求.
⑶如图3，取，的中点，,取中点,直线为所求.


【练习3】 已知:如图，中，
⑴在边上确定点的位置，使．请画出图形，不写画法；
⑵在图中画出一条直线，使得直线分别与、边交于点、．并且沿直线将
剪开后可拼成一个等腰梯形，请画出直线及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法．说明：本题只需保留画图痕迹，无需尺规作图．

（西城一模）
【分析】 第一问比较简单．若抓住梯形中的常见辅助线以及第一问的提示作用，第二问就不难了．等腰梯形可以通过平移腰出现等腰三角形，那么等腰三角形也可以平移腰出等腰梯形就可以轻松找到裁剪线，问题就圆满解决了．


【解析】 ⑴答案见图4（任选一种即可）．
⑵答案见图5．
图5
图4
剪拼方法：取的中点，过点作的平行线，与交于点，过点作的平行线，与交于点，将绕点顺时针旋转到，则四边形为拼接后的等腰梯形．







题型二 四边形性质与判定综合 巩固练习
【练习4】 如图，在线段的同侧作正方形和正方形，连接并延长交于点，作，垂足为点，交于点，设正方形的边长为．
⑴ 证明：四边形是平行四边形；
⑵ 设，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
⑶ 如果按题设作出的四边形是菱形，求的长．
（2013东城区南片期末）
【解析】 ⑴∵四边形、是正方形
∴，，
∴．
∵，，∴．
∴四边形是平行四边形；
⑵∵正方形中，设．
∵，∴．
∴，；
⑶由四边形是菱形，则有，
即．解得，∴．
【练习5】 △ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．
⑴如图（a）所示，当点D在线段BC上时．探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
⑵如图（b）所示，当点D在BC的延长线上运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．
（2013年十三分期中）

【解析】 ⑴∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC，
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形；

⑵当CD=CB时，四边形BCGE是菱形．
理由：同⑴，△AEB≌△ADC，
∴BE=CD，
又∵四边形BCGE是菱形，
∴BE=CB，
∴CD=CB，即CD=CB时，四边形BCGE是菱形．


子路借米孝敬父母

中国有句古语：“百善孝为先”。意思是说，孝敬父母是各种美德中占第一位的。一个人如果都不知道孝敬父母，就很难想象他会热爱祖国和人民。
古人说：“老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼”。我们不仅要孝敬自己的父母，还应该尊敬别的老人，爱护年幼的孩子，在全社会造成尊老爱幼的淳厚民风，这是我们新时代学生的责任。
子路，春秋末鲁国人。在孔子的弟子中以政事著称。尤其以勇敢闻名。但子路小的时候家里很穷，长年靠吃粗粮野菜等度日。
有一次，年老的父母想吃米饭，可是家里一点米也没有，怎么办？子路想到要是翻过几道山到亲戚家借点米，不就可以满足父母的这点要求了吗？
于是，小小的子路翻山越岭走了十几里路，从亲戚家背回了一小袋米，看到父母吃上了香喷喷的米饭，子路忘记了疲劳。邻居们都夸子路是一个勇敢孝顺的好孩子。

今天我学到了



第十六种品格：感恩