2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第7讲.特殊图形的旋转与弦图（含答案）

           旋转的灯泡

本讲内容主要分为两个题型，题型一为正方形弦图，重点在于弦图的构造，这种能力对于做一些正方形的题目有辅助作用，这就要求学生对弦图比较熟悉，不断通过相关题目进行训练；题型二为特殊图形中的旋转变换，在该版块中列举了三个常考图形——等腰直角三角形，等边三角形以及正方形，一般情况下旋转的角度分别为90°，60°和90°，旋转其它度数的题目在探究中略有罗列，老师可对旋转题型在此做适当的总结．

本讲的最后一道例题是2013年朝阳一模第22题，是一道动手操作题与旋转的结合，综合性比较强，难度较大，需要学生不仅对弦图理解较深入，且对旋转运用熟练，计算量也比较大，程度较好的班级可以适当拓展2013海淀一模22题，借此对此题型进行补充及完善．

正方形弦图是由四个全等的直角三角形顺次连接而成的图形，其中有我们以前学过的数学模型“三垂直模型”．

①外弦图：条件：正方形、正方形

              结论：△ABF、△BCG、△CDH、△DAE两两全等

②内弦图：条件：正方形、正方形

              结论：△AEH、△BFE、△CGF、△DHG两两全等

【例1】         如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25．

⑴ 连接EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等．

⑵ 求h的值．

【解析】       ⑴ 由题意可知，∴面积均相等．

⑵ 方法一：过点作直线的垂线，交于点．

由弦图可证明，

∴

在中， 解得

           方法二：分别过作直线的垂线，利用弦图证明．

【例2】         如图，向的外侧作正方形、正方形．过作于，的反向延长线与交于．

求证：．

【解析】       方法一：过点、分别作的垂线，垂足为、．

在和中

∵，

∴

∴

∴

同理

∴

在和中

∴

∴

∴

即．

方法二：延长至点，使得．

连接．

∵

∴

∵

∴

∴

同理，

∵，

∴

∴，

∴

∴

∴，即．

【点评】       此题是非常经典的“婆罗摩笈多”定理的一部分，由此图可以总结以下几个结论：

⑴ ；    

⑵ 若，则，；

 ⑶ 若，则，．

等腰直角三角形（旋转90°），等边三角形旋转（旋转60°），正方形旋转（旋转90°）

【例3】         已知：在中，，，过点作于，为边上一点，且，连结、．求证：．

【解析】       延长至，使，连结、

，

又，

,

在与中

，

,，

．            

【例4】         ⑴如图，是正三角形内的一点，且，，．求的度数．

【解析】       如图，作BQ=BP，且∠CBQ=∠ABP

连接PQ、CQ

∴△ABP≌△CBQ（SAS）

∴∠PBQ=60°

∴△PBQ是等边三角形

∴PQ=PB=4

∵，

∴是直角三角形，且

又∵，

∴

由全等知，∠APB=∠CQB

∴

⑵如图，若P是等边△ABC外的一点，其他条件不变，求∠APB的度数.

【分析】       此题最常见的三种做法：分别以题中的已知三边各自向外作等边三角形，去构造手拉手数学模型，然后证明手拉手模型中两个旋转三角形全等.目的是要把已知的三边3,4,5构造在直角三角形中.

【解析】       方法一：以为一边向四边形的外面作正三角形，则，

∴，

∴，，，

∴，．

方法二：以为一边向四边形的外面作正三角形,

证法参照方法一

方法三：如图，作，使，，连接．

显然，，

∴，

∴，

∴是等边三角形．

∴，在中

∵，，

∵，

∴

∴

∴

∴

即

【例5】         如图，在正方形内有一点，且，，．求度数的大小和正方形的边长．

【解析】       如图，将绕点逆时针旋转，得，则

．

∴，．

连接，

在中，

∵，，

∴，．

在中，，，，

∵，即．

∴是直角三角形，即．

∴．

∴． 

过点作交的延长线于点．

∴．∴．∴．

∴在中，由勾股定理，得． 

∴，正方形边长为．

【例6】         小雨遇到这样一个问题：如图1，直线，与之间的距离是1，与之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC，使三个顶点分别在直线、、上，并求出所画等腰直角三角形ABC的面积．

小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线任取一点A，作AD⊥于点D，作∠DAH=90°，在AH上截取AE=AD，过点E作EB⊥AE交于B，连接AB，作∠BAC=90°，交直线于点C，连接BC，即可得到等腰直角三角形ABC．

请你回答：图2中等腰直角三角形ABC的面积等于                ．

参考小雨同学的方法，解决下列问题：

如图3，直线，与之间的距离是2，与之间的距离是1，试画出一个等边三角形ABC，使三个顶点分别在直线、、上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积（保留画图痕迹）                                                    （2013朝阳一模）

【解析】       图2中等腰直角三角形ABC的面积等于5．

如图，图3中等边三角形ABC的面积等于．

连接DE，过E作EH⊥l3于H，△ADE为等边三角形，

故在四边形ADFE中∠DFE=120°，且∠EDG=30°，

故EG=1，EH=2，BE=，AE=2，AB=

∴S△ABC=

【拓展】问题：如图1，、、、是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形ABCD，使它的顶点A、B、C、D分别在直线、、、上，并计算它的边长.

图1                        图2

    小明的思考过程：

    他利用图1中的等距平行线构造了的正方形网格，得到了辅助正方形，如图2所示,再分别找到它的四条边的三等分点A、B、C、D，就可以画出一个满足题目要求的正方形.

请回答：图2中正方形ABCD的边长为         .

请参考小明的方法，解决下列问题：

（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为，边长为1）中，画出一个等边△，使它的顶点、、落在格点上，且分别在直线a、b、c上；

（2）如图4，、、是同一平面内的三条平行线，、之间的距离是，、之间的距离是，等边△ABC的三个顶点分别在、、上，直接写出△ABC的边长.

               图3                                       图4     

【解析】       （1）

（2）①如图：  (答案不唯一)       

②.

【探究】旋转模型探究

【探究1】三垂直全等模型(弦图)；

【变式1】直线与x轴、y轴分别交于点A、B，求将AB绕点A逆时针旋转45°

所得到的直线解析式.

【解析】如图，可得，则AC的解析式为y=5x+15.

【探究2】等线段，共端点

【变式2】中点旋转(旋转180°)

例：在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．

【解析】 DE=5．

【变式3】普通等线段，共端点；

例：如图，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE=CD，∠BAE＝∠BCD＝120°，∠ABC＋∠AED＝180°，连结AD。求证：AD平分∠CDE

【解析】 连结AC，把△ABC绕点A逆时针旋转120°

【探究3】构造等线段，共端点；

【变式4】 如图所示，在中，，是内部一点，试比较

与的大小关系.

【解析】 如图，，

即.

训练1.             梯形中，，分别以两腰、为一边向梯形外作正方形和，线段的垂直平分线交线段于点，交于点，若于，于．判断线段的数量关系，并证明．

【解析】        过点作交于，交于，

过点作交于，交于．

∵于，

∴．

∵，

∴四边形为平行四边形．

∴．

同理可得．

∴

又∵，，，

∴，，

同⑴的证明可得

．∴．

由平行四边形和可知．

又∵，

∴

∴．

∴

训练2.             如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=，求AC的长．

【解析】       在AC上截取CM=AB，连接OM，可证,

∴∠COM=∠BOA    

∴∠AOM=∠BOC=

∵AO=MO=    

∴AM=12

∴AC=AM+MC=12+4=16

训练3.             如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．

【解析】 ∵，∴，

又∵、分别是、的中点，

∴，∴，

∴

∴是等边三角形

训练4.             如图，已知：四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=，

⑴以线段BD，AB，BC作为三角形的三边，

①则这个三角形为____________­三角形（填：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）

②求BD边所对的角的度数

⑵求四边形ABCD的面积

【分析】       可以按照上面铺垫的思路，分别以BD、AB、BC边各自向外作等边三角形去证明手拉手数学模型中的全等。

【解析】       ⑴①钝角；②

⑵

题型一  正方形弦图 巩固练习

【练习1】⑴如图，为线段上一点，正方形和正方形

的面积分别为和，则的面积为     ．

⑵如图，正方形ABCD的边长为4，若边长为2的正方形BEFG的对角线BF落在AB边上，则DG的长为（    ）．

A．4  B．

C．6  D．

【解析】       ⑴    ⑵C

【练习2】已知，，以、为边向三角形外作正方形和，延长 交于，求证：⑴ ；   ⑵ ．

【解析】       方法一：延长到，使，连接，即．

又∵，

∴

∴，，

又∵，

∴，

故．

由可知

方法二：由作，垂足为．

在和中

，，

∴，有

∴，

显然

∴，，故．

由，可得

方法三：在上截取，连接．

∵，

∴

又∵，∴，

在和中

∵

∴

∴，有

∴．

题型二   特殊图形中的旋转  巩固练习

【练习3】等腰直角三角形，，，为中点，，试猜想，的值．

【解析】 如图，过点作，交于，连接，易知，

∵，又∵，，，

∴，∴

∴

【练习4】已知：，以为一边作等边三角形，使两点落在直线AB两侧．

⑴ 如图，当时，求及的长；

⑵ 当变化，且其它条件不变时，求的最大值，及相应的大小.

【解析】        ⑴如图1，过点作于点．

∵ 

∴，                                                

∴                                        

如图2以AP为边向外做等边,连接BD                 

  ∴是直角三角形

∴

∴                          

显然，

∴．                                          

⑵如图3将绕点顺时针旋转得到，                 

则PC的最大值即为BD的最大值．

∵中，BD<PD+PB，PD=2，，

且P、C两点落在直线的两侧，                 

∴当D、P、B三点共线时，BD取得最大值．如图3                  

此时，即的最大值为，

此时                               

【练习5】已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分∠EAD交CD于点F，试说明的理由

【解析】       由，

从而，，

又，∴，

∴ ，即