2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第10讲.特殊根问题（含答案）

               简答题

本讲主要汇总了一元二次方程的两大常考题型：整数根问题和公共根问题，总结了每种题型的基本解题思路，并由浅入深地搭配了近年各城区考试中的一些真题进行有针对性的训练．

其中整数根问题在2013年的各区县模拟题中高频次出现，并在2013年中考18题中进行了考查，是近年的热门题型，请老师在课上参照所附的探究题型进行重点讲解．

本讲最后一版块为西城初三期末统考题，在本题中涉及多种代数式运算技巧，难度较大，学生们可借此复习各版块内容，不失为一道代数综合经典题目．

解决整数根问题的思路：

1.先看方程二次项系数，确定二次项系数是否能为0；

2.确定是一元二次方程后，看能否因式分解求出根的取值；

3.不能因式分解的：⑴判别式是完全平方数；⑵是2a的整数倍．

以上两个条件需同时满足，缺一不可，如果只满足⑴，则只能保证方程有有理根．

【引例】       已知为整数，求证关于的一元二次方程有根且都是整数．

【解析】       法1：将原方程直接因式分解求出两根

，即，，故符合题意．

法2：不用因式分解，利用根的判别式是完全平方数

，且是2的倍数，故符合题意.

【例1】         已知关于的方程．

⑴讨论此方程根的情况；

⑵若方程有两个整数根，求正整数k的值．

（2013西城南区期末）

【解析】       ⑴当时，方程为一元一次方程，此方程有一个实数根；

 当时，方程是一元二次方程，

.

∵，即，

∴为除外的任意实数时，此方程总有两个实数根．

综上，无论取任意实数，方程总有实数根；

⑵∵可化为：

，

∴，∵为正整数

∴或4

∴或

【例2】         已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

⑴求的取值范围；

⑵若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．

【解析】       ⑴

∵方程有两个不等的实根

∴

即

∴

⑵∵为整数

∴即或2，

∵方程的根为整数，∴为完全平方数

当时，

时，

∴

【例3】         当为何整数时，关于的一元二次方程 与的根都是整数．                                              （西城区抽样试题）

【解析】       由题意可知，方程的判别式

方程的判别式为

故，又为整数，，故或．

当时，题干中的两个方程分别为、，满足题意；

当时，题干中的两个方程分别为、，不合题意．

故．也可通过方程是否有整数根的条件来判断出，此时两个判别式都要是完全平方数．

【例4】         当整数取何值时，关于的方程有整数根．

【解析】       当时，（舍）

当时，该方程为一元二次方程，

设（n为正整数）

则

或

【探究对象】含参的一元二次方程的整数根问题

【探究目的】对一元二次方程的整数根求解策略进行了方法总结和梳理

【探究方法】

思路1：探究方程是否能直接求根？

思路2：如果不能直接求根就思考判别式，那么判别式的形式都有几种，对于每一种情况应该用什么样的方法处理？

思路3：如何应用根与系数的关系解决整数根问题？

整系数一元二次方程有整数根，则：

     (1)两个根都是整数；

     (2)判别式是整数；

     (3)判别式是整数的完全平方；

     (4)两根和是整数，两根积是整数.

一、直接求根法：

【探究1】已知关于的方程的根是整数，那么符合条件的整数的值为         

   分析：当时，符合条件

当时，易知是方程一个整数根

由根与系数关系知另一根为

因为为整数，所以，

即

所以．

【探究2】已知方程有两个不相等的正整数根，求整数的值.

分析：

      因为方程有两个正整数根，即

      所以

二、判别式法

【探究3】设为整数，且，又方程有两个整数根.求的值及方程的根.

分析：考察判别式△＝4(2m＋1)，因是关于m的一次式，

     由已知4＜m＜40，可知

      9＜2m＋1＜81.

      为使判别式为完全平方数，只有2m＋1＝25或2m＋1＝49.

      当2m＋1＝25时，m＝12，方程两根分别为16，26；

      当2m＋1＝49时，m＝24，方程两根分别为38，52.

注：当判别式是一次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围.

【探究4】已知为自然数，关于的方程有两个整数根，求出这个方程的正整数根和.

分析：要得整数根，判别式必须为完全平方数或式．

原方程可化为

则

设

则

所以

因为，为整数

而

考虑到，奇偶性相同

且

故有

．

分别代入方程可得正整数根为或

所以当时正整数根为，当时正整数根为1．

【探究5】设为整数，有整数根，则的值为         .

分析：当时，原方程可化为不合题意；

当时，

令

即

；

且，为整数

故．

三、根与系数关系

【探究6】若关于的二次方程的两根都是整数，试求整数 的值.

分析：因为所给的方程是二次方程，所以

由根与系数关系，得

因为为整数，所以必为整数．

因为为整数，所以

当时，方程为，，两根均为整数

当时，方程为，，两根均为整数

当时，方程为方程无实根

当时，方程为方程无实根

所以当时，方程为两根均为整数．

【探究7】试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根.

分析：若，则方程为，不合题意

若，设方程的两个整数根为，

则，

于是

因为，为整数，且，

所以，

；．

所以

解得

注意：探究5和探究7为提高尖子班选讲内容，教师也可根据具体班级情况进行讲解.

以上建议仅供教师参考.

【总结】

1、对含参的一元二次方程，要立刻对其因式分解，这是解决整数根问题的策略习惯.

2、判别式有很多种形式，最容易的就是完全平方式，但这种不怎么常考；对于判别式有以下几种常考形式，对这几种形式进行总结：

（1）判别式是一次式且参数所在范围已知，利用判别式为完全平方数求参数值；（探究3）

（2）判别式是二次式且不为平方式，可采用配方法变形；（探究4）

（3）判别式是一次式但参数未知，可设其为平方数,并来表示值；（探究5选讲）

3、两个整数的和与积都是整数，充分利用整数运算的结构特征，把韦达定理和求解一元二次方程的整数解有机的结合起来，在思考过程中需要认真分析题干条件，整数解、正整数解都对代数式的讨论起着重要的作用。（选讲）

若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题．

两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：

⑴设公共根为a，则a同时满足这两个一元二次方程；

⑵用加减法消去a2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；

⑶把公共根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．

【引例】       已知两方程，有且仅有一个公共根，求，关系．

【解析】       设为两方程公共根，则

①②得

∵有且只有一个公共根，则

∴即

将代入，且．

【例5】         已知，，试判断关于的方程与有没有公共根，请说明理由．

【解析】       不妨设关于的方程与有公共根，设为，则有  整理，可得

∵，，∴，∴

把代入①得，这是不可能的

所以，关于的两个方程没有公共根．

【例6】         已知关于的一元二次方程①．

⑴ 若方程①有一个正实根，且．求的取值范围；

⑵ 当时，方程①与关于的方程②有一个相同的非零实根，

求的值．                                         （西城初三期末统考）

【解析】       ⑴ ∵为方程的一个正实根，

∴．

∵，

∴，即．

∵， 

∴．

解得．

又（由，）．

∴．

解得 ．

∴．

⑵ 当时，此时方程①为．

设方程①与方程②的相同实根为m，

∴③

∴④

④③得

整理，得

∵

∴

解得

把代入方程③得

∴，即．

当时，．

（此题第二问可以用含的式子表示，直接代入）

训练1.     已知：关于的一元二次方程

⑴若求证：方程有两个不相等的实数根；

⑵若的整数，且方程有两个整数根，求的值．             （东城一模）

【解析】       ⑴证明：

∴方程有两个不相等的实数根．

⑵

∵方程有两个整数根，必须使为整数且为整数．

又∵，

∴

∴．

∴

训练2.     方程有两个有理数根，求整数的值．

【解析】       ，设（是正整数）

，，当时，原方程有有理根

训练3.     关于的方程至少有一个整数解，且是整数，求的值．

（密云一模）

【解析】       当时，原方程为，解得，

即原方程无整数解．  

当时，方程为一元二次方程，它至少有一个整数根，

说明判别式为完全平方数，

从而为完全平方数，设，则为正奇数，且，否则（），

所以，． 

由求根公式得

所以

要使为整数，而为正奇数，只能，从而；

要使为整数，可取1，5，7，从而

综上所述，的值为

题型一  整数根问题 巩固练习

【练习1】   已知关于的方程的根是整数，求符合条件的的整数值.

【解析】       当时，；

当时，，，∵为整数∴，0，2，3，

综上，的整数值为，0，1，2，3.

【练习2】   当为何正整数时，关于的一元二次方程有两个非零整数根．

（中考改编）

【解析】       由题意得，．

          ∴．

          ∵为正整数，

          ∴，2，3．

          当时，，但方程有一根为零；

          当时，，不是完全平方数，故无整数根；

          当时，方程有两个非零的整数根．

          综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．

【练习3】   设为整数，且，方程有两个整数根，

求的值及方程的根．

【解析】       为完全平方数，又为的整数，则或24．当时，，；当时，，．

题型二  公共根问题  巩固练习

【练习4】   已知为非负实数，当取什么值时，关于的方程与

仅有一个相同的实根？

【解析】       设相同的根为，则由题意我们有．

所以．即．

⑴当时，，代入原方程求得；

⑵时，代入原方程，两方程均为，解得，即它们的两根都相同，不合题意，舍去，故只有当时，两方程仅有一个相同的实根．

【练习5】   设关于的方程只有个不相等的实数根，求的值和相应的个根.

【解析】       方程等价于如下两个方程：①，②

若为①②的公共根，则

，，所以，故没有公共根.

两方程无相同的根，由于原方程只有个不相等的实根，故①或②必有重根.

，，故只可能，即.

当时，①，②，解得，，；

当时，①，，解得，，.