专题01 圆周角定理在圆中的应用-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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专题01 圆周角定理在圆中的应用一、圆周角定理1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：(1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(3)圆内接四边形对角互补．圆周角定理在圆中求有关角的问题时，一般从与所求角相关的圆周角或圆心角入手：在进行角度转换时，还应特别注意“等弧”在角的转换中的重要过渡作用；在证明不是弦的两条线段相等时，一般考虑全等三角形或利用中间的线段进行等线段转换．1、如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,连接BD.则∠CBD的度数是(　　) 　　　　　　　　　　　　　A.30° B.45° C.60° D.90°答案A解析∵在正六边形ABCDEF中,∠BCD==120°,BC=CD,∴∠CBD=(180°-120°)=30°,故选A.2、如图，已知O为△ABC的外心，AD为BC上的高，∠CAB＝60°，∠ABC＝44°，则∠OAD为(　A　)A．32°  B．26°C．28°  D．34°【解析】 如答图，连结OB，答图∵∠CAB＝60°，∠ABC＝44°，∴∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝76°，∴∠AOB＝2∠C＝152°，∵OA＝OB，AD为BC上的高，∴∠OAB＝∠OBA＝＝14°，∠CAD＝90°－∠C＝14°，∴∠OAD＝∠CAB－∠OAB－∠CAD＝32°. 3、如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠A＝30°，∠O＝48°，则∠E＝__54__°.【思路生成】连结BO，利用圆周角定理可求出∠BOC，则得到∠BOD的度数，再次利用圆周角定理可求出∠E.答图【解析】 连结BO，如答图，∵∠BOC＝2∠A，∠A＝30°，∴∠BOC＝2×30°＝60°，又∵∠E＝∠BOD＝(∠BOC＋∠COD)，∠COD＝48°，∴∠E＝×(60°＋48°)＝54°.4、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D；(2)设BC＝x，则AC＝x－2.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)，∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1＋.二、直径所对的圆周角“有直径，造直角”是利用直径解题的常用方法．圆周角定理的运用，常见的基本图形如下图所示． 1、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC＝a，CA＝b，且∠A－∠B＝90°.则⊙O的半径为____．【思路生成】作直径BD，由半圆(或直径)所对的圆周角是直角，可得∠DAB＝∠DCB＝90°，然后由勾股定理求得直径BD的长，则可求得⊙O的半径．答图【解析】 如答图，作直径BD，连结AD，CD，则∠DAB＝∠DCB＝90°，∵∠CAB－∠ABC＝90°，∠CAB－∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠ABC，∴＝，∴CD＝AC＝b，∵BC＝a，∴BD＝＝，∴⊙O的半径为.[来源:Z.xx.k.Com]2、如图，已知A，B两点的坐标分别为(2，0)，(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为__(＋1，＋1)或(－1，1－)__．            答图【解析】 ∵OB＝2，OA＝2，∴AB＝＝4，∠AOP＝45°，点P在OA上方时，P点横纵坐标相等，可设为a，即P(a，a)，∵∠AOB＝90°，∴AB是直径，如答图，Rt△AOB外接圆的圆心为AB的中点C，坐标为(，1)，可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，∴∠CFP＝90°，∴PF＝a－1，CF＝a－，PC＝2，∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得(a－)2＋(a－1)2＝22，舍去不合适的根，可得a＝1＋，则P点坐标为(＋1，＋1)．∠AOP′＝45°，点P′在OA下方时，P与P′关于圆心(，1)对称，∴P′(－1，1－)．综上，点P的坐标为(＋1，＋1)或(－1，1－)．3、如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB＝13，AC＝5.(1)如图1，若点P是的中点，求PA的长；(2)如图2，若点P是的中点，求PA的长．【思路生成】(1)连结PB，则∠APB＝90°；(2)连结OP，BC交于D点，连结PB，利用勾股定理、垂径定理、三角形中位线定理求解．解：(1)如答图①，连结PB，∵AB是⊙O的直径，P是中点，答图①∴PA＝PB，∠APB＝90°，∵AB＝13，∴PA＝AB＝；(2)如答图②，连结OP，BC交于D点，连结PB，∵P是的中点，∴＝，∴∠CAP＝∠BAP.又∵∠POB＝2∠OAP，且∠OAC＝2∠OAP，∴∠POB＝∠OAC，∴OP∥AC，∴∠ODB＝∠ACB＝90°，答图②∴OP⊥BC于D，BD＝CD.∵OA＝OB，∴OD＝AC＝.∵OP＝AB＝，∴PD＝OP－OD＝－＝4.∵AB＝13，AC＝5，∴BC＝12，∴BD＝BC＝6，∴PB＝＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴PA＝＝3.4、如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（　　）A．54° B．64° C．27° D．37°【答案】C．【分析】由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．5、如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（　　）A．55° B．70° C．110° D．125°【答案】B．【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【解答】解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，[来源:学&科&网]∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．[来源:学§科§网Z§X§X§K]6、如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（　　）A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】B．【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选：B．7、如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（　　）A．20° B．35° C．40° D．55°【答案】B．【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，求出∠EFB，∠OFB即可．【解答】解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．8、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠BAD＝∠CBD；（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC＝55°，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，求得∠CAE＝35°，得到∠BOD＝2∠BAD＝70°，根据弧长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD；（2）解：连接OD，∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°，∵AB为⊙O直径，∴∠ACE＝90°，∴∠CAE＝35°，∴∠DAB＝∠CAE＝35°，∴∠BOD＝2∠BAD＝70°，∴的长＝＝π．9、如图，已知线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点为C(点C 在线段BD上)，连结AC，DE.[来源:学,科,网](1)当∠APB＝28°时，求∠B和所对的圆心角的度数．(2)求证：AC＝AB.(3)在点P的运动过程中．①当MP＝4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得点G，当点G恰好落在MN上，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG与△DEG的面积比．【思路生成】(1)根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数，再连结MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB＝∠APB＝28°；(2)由等角的补角相等，得∠ACB＝∠B，则AC＝AB；(3)①由垂直平分线的性质，分类讨论符合条件的点Q的个数，利用相似和勾股定理分别求出MQ的长度；②利用旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值．解：(1)∵MN⊥AB，AM＝BM，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠B，答图①∵∠APB＝28°，∴∠B＝76°，如答图①，连结MD，∵MD为△PAB的中位线，∴MD∥AP，∴∠MDB＝∠APB＝28°，∴所对的圆心角的度数为2∠MDB＝56°.(2)证明：∵∠BAC＝∠MDC＝∠APB，又∵∠BAP＝180°－∠APB－∠B，∠ACB＝180°－∠BAC－∠B，∴∠BAP＝∠ACB，∵∠BAP＝∠B，∴∠ACB＝∠B，∴AC＝AB.(3)①记MP与圆的另一个交点为R，∵MD是Rt△MBP的中线，∴DM＝DP，∴∠DPM＝∠DMP＝∠RCD，∴RC＝RP，∵∠ACR＝∠AMR＝90°，∴AM2＋MR2＝AR2＝AC2＋CR2，∴12＋MR2＝22＋PR2，∴12＋(4－PR)2＝22＋PR2，∴PR＝，∴MR＝，Ⅰ.当∠ACQ＝90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ＝MR＝；Ⅱ.如答图②，当∠QCD＝90°时，在Rt△QCP中，由PR＝CR可知PQ＝2PR＝，∴MQ＝；  答图②    　　答图③Ⅲ.如答图③，当∠QDC＝90°时，∵BM＝1，MP＝4，∴BP＝，∴DP＝BP＝，∵△PBM∽△PQD，∴＝，∴PQ＝，∴MQ＝；[来源:学.科.网]Ⅳ.如答图④，当∠AEQ＝90°时，答图④由AE＝PE，可得AQ＝PQ，设MQ＝x，则x2＋1＝(4－x)2，解得x＝，∴MQ＝；综上所述，MQ的值为或或；②△ACG和△DEG的面积之比为.理由：如答图⑤，过C作CH⊥AB于H，答图⑤∵DM∥AF，DE∥AB，∴四边形AMDE是平行四边形，四边形AMDF是等腰梯形，∴DF＝AM＝DE＝1，又由对称性可得GE＝GD，并且DG＝DF，∴△DEG是等边三角形，∴∠EDF＝90°－60°＝30°，∴∠DEF＝75°＝∠MDE，∴∠GDM＝75°－60°＝15°，∴∠GMD＝∠PGD－∠GDM＝15°，∴∠GMD＝∠GDM，∴GM＝GD＝1，由∠B＝∠BAP＝∠DEF＝75°，得∠BAC＝30°，从而CH＝AC＝AB＝1＝MG，AH＝，∴CG＝MH＝－1，∴S△ACG＝CG×CH＝，∵S△DEG＝，∴S△ACG∶S△DEG＝.