2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第12讲.专题突破之一元二次方程（含答案）

这是一份2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第12讲.专题突破之一元二次方程（含答案），共13页。试卷主要包含了一元二次方程的概念，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式等内容，欢迎下载使用。
                     围图形 题型切片（四个）对应题目题型目标一元二次方程的定义及方程的根例1，练习1；一元二次方程的解法例2，练习2；一元二次方程的特殊根例3，例4，练习3，练习4；一元二次方程的综合运用例5，例6，例7，练习5．本讲主要分为四个版块，模块一主要复习了一元二次方程的基本知识，模块二复习了基本解法，此两版块内容寒假班曾经学过，老师可带领学生进行复习，题型三把特殊根这部分重点内容进行进一步的深化，综合应用版块内容基本为中考难度，对于初二同学来说难度不小可重点讲解。本讲为一元二次方程的综合复习，老师可根据班级进度安排9~12讲内容，如果程度略差可利用本讲模块一二对寒假进行复习，可以节省老师自行寻找题目回顾寒假内容的时间；程度较好班级老师可采取小考形式增强学生自信心。
  一、一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项．1. 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是．2. 任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式．要特别注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程．3. 关于的一元二次方程式的项与各项的系数．为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项．二、一元二次方程的解法1. 直接开平方法：适用于解形如的一元二次方程．2. 配方法：解形如的一元二次方程．3. 公式法：利用求根公式和判别式来求解形如的一元二次方程．4. 因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式． 三、一元二次方程根的判别式1. 一元二次方程根的判别式的定义：一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．2. 判别式与根的关系．设一元二次方程为，其根的判别式为：则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．若，，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根．3. 一元二次方程的根的判别式的应用．①  运用判别式，判定方程实数根的个数； ②　利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；③　通过判别式，证明与方程相关的代数问题；④　借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型解几何存在性问题、最值问题．  【例1】         ⑴ 关于x的方程有实数根，则a满足（    ）A. a≥1      B. a >1或a≠5  C. a≥1且a≠5  D. a≠5 ⑵ 已知关于x的方程，下列说法正确的是（    ）  A. 当k=0时，方程无解  B. 当k=1时，方程有一个实数解  C. 当k=时，方程有两个相等的实数解  D. 当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解 ⑶ 若关于x的方程的一个根是，则a – b + c =     ；若有4a - 2b + c = 0此方程必有一个根       ．  【解析】       ⑴A；⑵C；⑶0，．    【例2】         用适当的方法解关于x的一元二次方程：⑴      ⑵ ⑶ ⑷  【解析】       ⑴；⑵；⑶；⑷．
 【例3】         已知关于x的方程．⑴讨论此方程根的情况；⑵若方程有两个整数根，求正整数的值． 【解析】⑴当时，方程为一元一次方程，此方程有一个实数根； 当时，方程是一元二次方程，．∵，即，∴为除﹣1外的任意实数时，此方程总有两个实数根．           综上，无论取任意实数，方程总有实数根； ⑵∵方程可化为，∴，，∵ 方程的两个根是整数根，且为正整数，∴ 当时，方程的两根为﹣1，0；当时，方程的两根为﹣1，﹣1．∴，3． 【例4】         若k为正整数，且关于k的方程有两个相异正整数根，求k的值．【解析】原方程变形、因式分解为，．即，．由为正整数得k = 1，2，3，5，11；由为正整数得k = 2，3，4，7.∴k = 2，3使得，同时为正整数，但当k = 3时，，与题目不符，所以，只有k = 2为所求．
【例5】         已知关于x的方程，问：⑴ m取何值时，它是一元一次方程？⑵ m取何值时，它是一元二次方程？①若是一元二次方程的一个根，求的值；②若，求出此一元二次方程的解；③分别求出一元二次方程无实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数  根对应的的取值范围．④若一元二次方程的解是整数，把你发现字母的取值规律用含字母（为正  整数）的式子表示为                ． 【解析】       ⑴ 当或m = 0 ；⑵ 当m = 1，原方程是一元二次方程.满足，m + 1 = 2，原方程化为是一元二次方程．① 把x = 2代入得．② 当时，一元二次方程为，解得，．③ 当一元二次方程无实数根，，即，解得；当一元二次方程有两个相等的实数根，，即，解得；当一元二次方程有两个不相等的实数根，，即，．④ ． 【例6】         已知关于x的方程．⑴ 求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；⑵ 若此方程有两个不同的整数根，试确定m的正整数值；⑶ 当m为⑵中所求数值时，与（n≠0）分别是关于x的方程的两个根，求代数式的值．（北师大附期中）【解析】       ⑴ 当m=0时，当时，∴m为任何实数时，方程总有实根⑵  ， ∴ ∵m>0 ∴m = 1⑶   ∴ 原式=      【例7】         列方程（组）解应用题：如图是一块长、宽分别为60m、50m的矩形草坪，草坪中有宽度均为x m的一横两纵的甬道．⑴ 用含x的代数式表示草坪的总面积S；⑵ 当甬道总面积为矩形面积的时，求甬道的宽．（2012石景山二模）【解析】       ⑴ .⑵ 由题意得， 解得x=2或x=78． 又0 < x < 50，所以x = 2． 答：甬道的宽是2m
训练1. m为何值时，方程 ⑴无实根       ⑵有实根；      ⑶只有一个实根；      ⑷有两个实根；    ⑸有两个不等实根；  ⑹有两个相等实根． 【解析】a = m – 1    b = 2m   c = m + 3  ⑴        ∴8m > 12  ∴m > ⑵ 若m – 1 = 0，即m = 1时，  2x + 4 = 0，x = – 2．  若m – 1 ≠ 0，即x ≠ 1时  ∴m ≤  综上所述：m ≤ 时方程有实根⑶ m – 1 = 0，即m = 1时， 2x + 4 = 0 ，x = – 2   ∴m = 1⑷  m ≤ 且m ≠ 1⑸  m < 且m ≠ 1⑹  m = 训练2. 如果关于x的方程（其中a，b，c均为正数）有两个相等的实数根．证明：以a，b，c为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征． 【解析】 原方程可变形为：∵原方程有两个相等的实数根∴，整理上式得：，∵，，∴a = b = c，又∵a，b，c均为正数，∴以a，b，c为长的线段组成的三角形为正三角形． 训练3. 已知：关于x的一元二次方程⑴ 求证：方程有两个实数根⑵ 设m < 0，且方程的两个实数根分别为，（其中），若y是关于m的函数，且，求这个函数的解析式．                              （五分期中）【解析】       ⑴ 证明： ∵，     ∴方程有两个实数根 ⑵ 由⑴可知，方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴， ∴．训练4. 关于x的方程的两根互为相反数，求a的值． 【解析】           ∴，．当a = 5时，方程无实根， ∴a =
题型一  一元二次方程的定义及方程的根 巩固练习【练习1】   ⑴ 关于x的方程的一元二次方程有一根为3，则另一根为（    ） A.       B. 3       C. 2        D. 1⑵ 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A.     B.     C.     D. 【解析】       ⑴A；⑵C． 题型二  一元二次方程的解法 巩固练习【练习2】   ⑴ 用配方法解方程，配方后的方程是（    ） A.          B.  C.          D. ⑵ 把方程化成的形式，正确的结果为（    ） A.          B.  C.          D. 【解析】       ⑴A；⑵A． 题型三  一元二次方程的特殊根 巩固练习 【练习3】             已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．【解析】∵有两个相等的实数根 ∴ ∴              ∴原式=      ===2 【练习4】   已知：关于x的一元二次方程 ⑴ 求证：方程有两个不相等的实数根 ⑵ 若方程的两个实数根分别是，（其中），设，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出表达函数；若不是，请说明理由．（十二中期末）【解析】       ⑴，∵，∴⑵∵，∴，∴ 题型四  一元二次方程的综合应用 巩固练习 【练习5】   某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该车把进价为27万元；每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元． ⑴ 若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为_________万元； ⑵ 如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利 = 销售利润 + 返利） 【解析】 ⑴        ⑵ 设需要售出x部汽车，． 由题意可知，每部汽车的销售利润为万元．当0 ≤ x ≤ 10时，根据题意，得．整理，得．解这个方程，得（不合题意，舍去），．当x > 10时，根据题意，得．整理，得．解这个议程，得（不合题意，舍去），因为5 < 10，所以舍去．答：需要售出6部汽车．