考点04 反比例函数压轴题-2022届九年级《新题速递 数学》（人教版）

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考点04 反比例函数压轴题

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、单选题（共12小题）
1.（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，点A（﹣2，0），点B在y轴上，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，且S△A′C′C＝，则k的值是（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，利用面积法求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【解答】解：如图，过A'作A'H⊥y轴于H，

由旋转得：AB＝A'B，∠ABA'＝∠CBC'＝90°，BC'＝BC，△ACB≌△A'C'B，
∴∠ABO+∠HBA'＝∠HBA'+∠HA'B＝90°，
∴∠ABO＝∠HA'B，
在△AOB和△BHA'中，
∵，
∴△AOB≌△BHA'（AAS），
∴A'H＝OB，
∵C是OB的中点，
∴BO＝2BC，
∵点A（﹣2，0），
∴BH＝OA＝2，
∵S四边形A'C'BC＝S△A'BC+S△A'C'B＝S△A'C'C+S△C'BC，
∴＝+，
2BC2+2BC＝15+BC2，
BC2+2BC﹣15＝0，
解得：BC＝﹣5（舍）或3，
∴A'H＝OB＝6，OH＝6﹣2＝4，
∴A'（6，4），B（0，6），
∵D是A'B的中点，
∴D（3，5），
∴k＝3×5＝15，
故选：C．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化-旋转、反比例函数系数k的几何意义
2.（2021•南山区校级一模）已知：如图，直线l经过点A（﹣2，0）和点B（0，1），点M在x轴上，过点M作x轴的垂线交直线l于点C，若OM＝2OA，则经过点C的反比例函数表达式为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设直线l的解析式为y＝kx+b，列方程组求得y＝x+1，根据已知条件得到点C（4，3），设反比例函数表达式为y＝，把C的坐标代入即可得到结论．
【解答】解：设直线l的解析式为：y＝kx+b，
∵直线l经过点A（﹣2，0）和点B（0，1），
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为：y＝x+1，
∵点A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵OM＝2OA，
∴OM＝4，
∴点C的横坐标为4，
当x＝4时，y＝3，
∴点C（4，3），
设反比例函数表达式为y＝，
∴m＝12，
∴反比例函数表达式为y＝，
故选：B．
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式
3.（2021•铁岭一模）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠ABO＝30°，若点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　）

A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝
【答案】C
【分析】作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝OA，再证明Rt△BOC∽Rt△OAD得＝（）2＝3，利用反比例函数k的几何意义得到S△OAD＝1，则S△OBC＝3，所以|k|＝3，然后求出k得到经过点B的反比例函数解析式．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，如图，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴OB＝OA，
∵∠AOD+∠BOC＝90°，∠AOD+∠DAO＝90°，
∴∠BOC＝∠DAO，
∴Rt△BOC∽Rt△OAD，
∴＝（）2＝3，
∵S△OAD＝×|﹣2|＝1，
∴S△OBC＝3，
即|k|＝3，
而k＞0，
∴k＝6，
∴经过点B的反比例函数解析式为y＝．
故选：C．

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式
4.（2021•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式﹣的值为（　　）

A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】C
【分析】根据函数的关系式可求出交点坐标，进而确定a、b的值，代入计算即可．
【解答】解：
法一：由题意得，
，解得，或（舍去），
∴点P（，），
即：a＝，b＝，
∴﹣＝﹣＝﹣；
法二：由题意得，
函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴﹣＝＝；
故选：C．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
5.（2021•呼和浩特）在同一坐标系中，若正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，则k1与k2的关系，下面四种表述①k1+k2≤0；②|k1+k2|＜|k1|或|k1+k2|＜|k2|；③|k1+k2|＜|k1﹣k2|；④k1k2＜0．正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据题意得出k1和k2异号，再分别判断各项即可．
【解答】解：∵同一坐标系中，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，若k1＞0，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
则k2＜0，
若k1＜0，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
则k2＞0，
综上：k1和k2异号，
①∵k1和k2的绝对值的大小未知，故k1+k2≤0不一定成立，故①错误；
②|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k1|或|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k2|，故②正确；
③|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜||k1|+|k2||＝|k1﹣k2|，故③正确；
④∵k1和k2异号，则k1k2＜0，故④正确；
故正确的有3个，
故选：B．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
6.（2021•山西模拟）如图，把一个含45°角的直角三角板OAB的斜边OA放在x轴的正半轴上，点O与坐标原点重合，OA＝6，把三角板OAB绕坐标原点O按顺时针方向旋转75°，使点B的对应点B'恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，由此可知，k的值为（　　）

A．﹣9 B．﹣3 C．﹣ D．﹣
【答案】D
【分析】在Rt△AOB中，斜边OA＝6，可求出直角边OB，由旋转可得OB′的长，由旋转角为75°，可求出∠AOB′＝30°，在Rt△B′OC中，通过解直角三角形可求出点B′的坐标，进而得出k的值．
【解答】解：过点B′作B′C⊥OA，垂足为C，
在Rt△AOB中，OA＝6，
∴OB＝AB＝OA＝3＝OB′，
∵∠AOA′＝75°，∠A′OB′＝45°，
∴∠B′OC＝75°﹣45°＝30°，
在Rt△B′OC中，
∴B′C＝OB′＝，OC＝OB′＝，
∴点B′（，﹣），
∴k＝﹣×＝﹣，
故选：D．

【知识点】等腰直角三角形、坐标与图形变化-旋转、反比例函数图象上点的坐标特征
7.（2021秋•江北区期中）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于x的反比例函数y＝经过一，三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】B
【分析】解关于x的不等式组，根据整数解得个数确定a的取值范围，再根据反比例函数的性质，进一步确定a的取值范围，得出整数a的值，进而计算其和即可．
【解答】解：解不等式组得，
＜x≤3，
又∵不等式组仅有三个整数解，
∴0≤＜1，
∴﹣≤a＜3，
又∵反比例函数y＝经过一，三象限，
∴3﹣2a＞0，
∴a＜，
∴﹣≤a＜，
因此整数a为﹣2，﹣1，0，1，
所以所有满足条件的整数a的值之和为﹣2，
故选：B．
【知识点】反比例函数的性质、一元一次不等式组的整数解
8.（2021秋•渝中区校级月考）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在x轴负半轴上，边CD与x轴交于点E，连接AE，AE∥y轴，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A及AD边上一点F，AF＝4FD，若DA＝DE，OB＝2，则k的值为（　　）

A．11 B．12 C．15 D．16
【答案】C
【分析】根据题意得到△ADE和△ABE是等腰直角三角形，设AE＝y，则DM＝AM＝EM＝AE＝y，即可得到A（y﹣2，y），进而通过三角形相似对得出F点的坐标为（y﹣2，y），即可得到k＝（y﹣2）y＝（y﹣2）y，解方程即可求得k的值．
【解答】解：作DM⊥AE于M，FN⊥AE于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCD＝90°，
∵DA＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠AED＝45°，M是AE的中点，
∴DM＝AM＝EM＝AE，∠BAE＝45°，
∵AE∥y轴，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AE，
设AE＝y，则DM＝AM＝EM＝AE＝y，
∵OB＝2，
∴OE＝y﹣2，
∴A（y﹣2，y），
∵FN∥DM，
∴△ANF∽△AMD，
∴＝＝，
∵AF＝4FD，
∴＝，
∴AN＝NF＝y，
∴EN＝y﹣y＝y，
∴F（y﹣2，y），
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A、F，
∴k＝（y﹣2）y＝（y﹣2）y，
解得y＝5或y＝0（舍去），
∴k＝（y﹣2）y＝15，
故选：C．

【知识点】矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征
9.（2021•南浔区模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数在第一象限经过△ABO的顶点A，且点B在x轴上，过点B作x轴的垂线交反比例函数图象于点C，连结OC交AB于点D，已知，，则k的值为（　　）

A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】过A向OB作垂线，垂足为F，交OC于E，根据AF∥BC，得出，设，则AF＝tBC，得，又，可推导出，求出t的值，得出AF＝2BC，OB＝2OF进一步导出OA＝3OF，在Rt△AOF中，AF＝，，在Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2即可求出OF的长，求出k的值．
【解答】解：如图，过A作AF垂直OB于F点，交OC于E点，
∴AF∥BC，
∴△AED∽△BCD，
∴，
∴，
设，则AF＝tBC，
∴，
又OF×AF＝OB×BC，
∴，
又EF∥BC，
∴△OEF∽△OCB
∴，
∴，
解得t1＝2，t2＝﹣（舍去），
∴AF＝2BC，OB＝2OF，
又∵，
∴，
∴OA＝3OF，
在Rt△AOF中，勾股定理可得AF＝，
∴，
在Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2，
∴，
解得OF＝或﹣（舍去），
∴AF＝＝4，
∴k＝OF×AF＝，
故选：C．
【知识点】反比例函数的图象、相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征
10.（2021春•奉化区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+1分别交x轴，y轴于点A，B，交反比例函数y1＝（k＜0，x＜0），y2＝（k＜0，x＞0）于点C，D两点，连接OC，OD，过点D作DE⊥x轴于点E，若△ODE的面积与△OCB的面积相等，则k的值是（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．﹣2 D．﹣
【答案】B
【分析】△ODE的面积与△OCB的面积相等，即（﹣k）＝×OB×（﹣m），解得：m＝k，将点C的坐标代入一次函数表达式得：＝﹣m+1，即可求解．
【解答】解：设点C（m，），
∵直线y＝﹣x+1交y轴于点B，则OB＝1，
∵△ODE的面积与△OCB的面积相等，
即（﹣k）＝×OB×（﹣m），解得：m＝k，
将点C的坐标代入一次函数表达式得：＝﹣m+1，
解得：m＝﹣2＝k，
故选：B．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
11.（2021春•秦淮区期末）如图，A（a，b）、B（﹣a，﹣b）是反比例函数y＝的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数y＝的图象交于点C、D．若四边形ACBD的面积是4，则m、n满足等式（　　）

A．m+n＝4 B．n﹣m＝4 C．m+n＝2 D．n﹣m＝2
【答案】D
【分析】连接AB，OC，根据反比例函数的性质可得点O在线段AB上，且OA＝OB，由点A（a，b）是反比例函数y＝的图象上的点，可得b＝，由AC∥y轴，可得点C的坐标为（a，），进而可得AC＝BD＝|﹣|，从而可以判断四边形ACBD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得S△AOC＝S△AOB＝S平行四边形ACBD＝1，然后根据三角形的面积公式可得AC|a|＝1，整理得：n﹣m＝2．
【解答】解：连接AB，OC，如图，

∵A（a，b）、B（﹣a，﹣b）关于原点对称，且是反比例函数y＝的图象上的两点，
∴点O在线段AB上，且OA＝OB，
∵A（a，b）是反比例函数y＝的图象上的点，
∴b＝，
∵AC∥y轴，
∴点C的坐标为（a，），
∴AC＝|﹣|，
同理可得BD＝|﹣|，
∴AC＝BD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴S△AOC＝S△AOB＝S平行四边形ACBD＝1，
∴AC|a|＝1，
∴（﹣）•（﹣a）＝1，
整理得：n﹣m＝2．
故选：D．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征
12.（2021春•宝应县期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC和BDEF都是正方形，∠AOC＝∠BFE＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点E，若S正方形OABC﹣S正方形BDEF＝6，则k为（　　）

A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【分析】设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则可表示出D（a+b，a），E（a+b，a﹣b），则a2﹣b2＝k，然后利用正方形的面积公式易得k＝6．
【解答】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则D（a+b，a），E（a+b，a﹣b），
∵点E在反比例函数上，
∴（a+b）（a﹣b）＝k，
∴a2﹣b2＝k，
∵S正方形OABC﹣S正方形BDEF＝a2﹣b2＝6，
∴k＝6
故选：C．
【知识点】正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义

二、填空题（共8小题）
13.（2021•长葛市一模）如图，点A（﹣4，2）和B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，则不等式kx+b＜的解集是　　．

【答案】x＞2或-4＜x＜0
【分析】根据图象，分别观察交点的那一侧能够使一次函数的值小于反比例函数的值，从而求得x的取值范围．
【解答】解：由图象，得
x的取值范围是x＞2或﹣4＜x＜0，
故答案为：x＞2或﹣4＜x＜0．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
14.（2021秋•福田区期末）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴交于A、B两点，AC⊥AB，交双曲线y＝（x＜0）于C点，且BC交x轴于M点，BM＝2CM，则k＝　　．

【答案】14
【分析】作CD⊥OA于D，先确定A点坐标为（﹣8，0），B点坐标为（0，4），得到OB＝4，OA＝8，易证得Rt△BMO∽Rt△CMD，则，而BM＝2CM，OB＝4，则可计算出CD＝2，然后再证明Rt△BAO∽Rt△ACD，利用相似比可计算出AD，于是可确定C点坐标，然后把C点坐标代入反比例函数解析式中即可得到k的值．
【解答】解：作CD⊥OA于D，如图，

把x＝0代入y＝x+4得y＝4，把y＝0代入y＝x+4得x+4＝0，解得x＝﹣8，
∴B点坐标为（0，4），A点坐标为（﹣8，0），即OB＝4，OA＝8，
∵CD⊥OA，
∴∠CDM＝∠BOM＝90°，
而∠CMD＝∠BMO，
∴Rt△BMO∽Rt△CMD，
∴，
而BM＝2CM，OB＝4，
∴CD＝2，
∵AC⊥AB，
∴∠BAO+∠CAD＝90°，
而∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BAO＝∠ACD，
∴Rt△BAO∽Rt△ACD，
∴，即，
∴AD＝1，
∴OD＝OA﹣DA＝8﹣1＝7，
∴C点坐标为（﹣7，﹣2），
把C（﹣7，﹣2）代入y＝得k＝14．
故答案为14．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
15.（2021•温州模拟）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为　　　．

【答案】16
3

【分析】由AE＝3EC，△ADE的面积为3，得到△CDE的面积为1，则△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则k＝ab，AB＝a，OC＝2AB＝2a，BD＝OD＝b，利用S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC得（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，整理可得ab＝，即可得到k的值．
【解答】解：连DC，如图，
∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，
∴△CDE的面积为1，
∴△ADC的面积为4，
设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，
而点D为OB的中点，
∴BD＝OD＝b，
∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，
∴ab＝，
把A（a，b）代入双曲线y＝，
∴k＝ab＝．
故答案为：．

【知识点】反比例函数系数k的几何意义
16.（2021•江干区模拟）如图，已知函数y＝2x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，将y＝2x的图象向下平移6个单位后与反比例函数y═（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若OA＝2BC，则k＝　　．

【答案】8
【分析】利用直线平移问题得到直线BC的解析式为y＝2x﹣6，则C点坐标为（3，0），作BD∥x轴交OA于D，如图，易得四边形BCOD为平行四边形，所以BC＝OD，BD＝OC＝3，于是可判断D点为OA的中点，设D（t，2t），则A（2t，4t），B（t+3，2t），利用反比例函数图象上点的坐标特征得k＝2t•4t＝（t+3）•2t，然后求出t，再求k的值．
【解答】解：∵y＝2x的图象向下平移6个单位后得到BC，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，
当y＝0时，2x﹣6＝0，解得x＝3，则C点坐标为（3，0），
作BD∥x轴交OA于D，如图，
∵OD∥BC，BD∥OC，
∴四边形BCOD为平行四边形，
∴BC＝OD，BD＝OC＝3，
∵OA＝2BC，
∴D点为OA的中点，
设D（t，2t），则A（2t，4t），B（t+3，2t），
∵A（2t，4t），B（t+3，2t）在反比例函数y═（x＞0）图象上，
∴2t•4t＝（t+3）•2t，解得t＝1，
∴A（2，4），
把A（2，4）代入y＝得k＝2×4＝8．
故答案为8．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
17.（2021秋•锦江区校级期中）如图，函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转60°后，和过点A（2，2），B（1，﹣）的直线相交于点M、N，若△OMN的面积是2，则k的值为　　．

【答案】1
2

【分析】由题意点A（2，2），B（1，﹣）可知：OA⊥OB，建立新的坐标系：OB为x'轴，OA为y'轴，设M（x1，﹣2x1+4），N（x2，﹣2x2+4），利用根与系数的关系和△OMN的面积是2，可得结论．
【解答】解：连接OA，OB，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，
∵点A（2，2），B（1，﹣），
∴OE＝2，AE＝2，
∴OA＝＝＝4，∠EAO＝30°，
∴∠AOE＝60°，
同理得：OB＝2，∠BOF＝30°，
∴∠AOB＝90°，
∴OA⊥OB，
∵函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转60°，
∴建立新的坐标系：OB为x'轴，OA为y'轴，
则旋转后的函数解析式为：y'＝，

在新的坐标系中，A（0，4），B（（2，0），
设直线AB的解析式为：y'＝mx'+n，
则，解得，
∴直线AB的解析式为：y'＝﹣2x'+4，
设M（x1，﹣2x1+4），N（x2，﹣2x2+4），
由﹣2x'+4＝得：2x'2﹣4x'+k＝0，
∴x1+x2＝2，x1x2＝，
∵S△OMN＝S△AOB﹣S△AOM﹣S△BON＝×2×4﹣﹣＝2，
∴4﹣2x1+2x2﹣4＝2，
∴x1﹣x2＝﹣，
∴（x1﹣x2）2＝3，
∴x12﹣2x1x2+x22＝3，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝3，
∴4﹣4×＝3，
∴k＝；
故答案为：．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
18.（2021•浙江自主招生）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y＝（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是　　　．

【答案】1≤k≤4
【分析】设直线y＝x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F，则A（1，1），而AB＝AC＝2，则B（3，1），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，E为BC的中点，由中点坐标公式求E点坐标，当双曲线与△ABC有唯一交点时，这个交点分别为A、E，由此可求k的取值范围．
【解答】解：如图，设直线y＝x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F，EF交AB于M，
∵A点的横坐标为1，A点在直线y＝x上，
∴A（1，1），
又∵AB＝AC＝2，AB∥x轴，AC∥y轴，
∴B（3，1），C（1，3），且△ABC为等腰直角三角形，
BC的中点坐标为（，），即为（2，2），
∵点（2，2）满足直线y＝x，
∴点（2，2）即为E点坐标，E点坐标为（2，2），
∴k＝OD×AD＝1，或k＝OF×EF＝4，
当双曲线与△ABC有唯一交点时，1≤k≤4．
故答案为：1≤k≤4．

【知识点】反比例函数综合题
19.（2021•随州）如图，直线AB与双曲线y＝（k＞0）在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点C，点B为线段AC的中点，连接OA，若△AOC的面积为3，则k的值为　　．

【答案】2
【分析】根据B是AC的中点，可得出CN＝MN，AM＝2BN，再根据点A、B在反比例函数的图象上，可得出OM＝MN＝CN，设出未知常数，表示△AOC的面积，进而得出△AOM的面积，由S△AOM＝OM•AM＝×b×2a＝ab＝1＝|k|，求出k的值即可．
【解答】解：过点A、B分别作AM⊥OC，BN⊥OC，垂足分别为M、N，
∵B是AC的中点，
∴AB＝BC，
∵AM∥BN，
∴＝＝＝，
∴CN＝MN，
设BN＝a，则AM＝2a，
∵点A、B在反比例函数的图象上，
∴OM•AM＝ON•BN，
∴OM＝ON，即：OM＝MN＝NC，
设OM＝b，则OC＝3b，
∵△AOC的面积为3，即OC•AM＝3，
∴×3b×2a＝3，
∴ab＝1
∴S△AOM＝OM•AM＝×b×2a＝ab＝1＝|k|，
∴k＝﹣2（舍去），k＝2，
故答案为：2．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
20.（2021•桂林）反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线y＝﹣x对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有　　个．

【答案】3
【分析】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可得，图象过第二象限，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断．
【解答】解：观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可知：
图象过第二象限，
∴k＜0，
所以①错误；
因为当x＜0时，y随x的增大而增大；
所以②正确；
因为该函数图象关于直线y＝﹣x对称；
所以③正确；
因为点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，
所以k＝﹣6，
则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．
所以④正确．
所以其中正确结论的个数为3个．
故答案为3．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、反比例函数的图象、正比例函数的性质、轴对称的性质

三、解答题（共10小题）
21.（2021•历下区校级模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；
（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的一动点，当|DE﹣PE|最大时，求点E的坐标．

【分析】（1）由AC＝BC，且OC⊥AB，利用三线合一得到O为AB中点，求出OB的长，确定出B坐标，从而得到P点坐标，将P与A坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（2）观察图象即可求解；
（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，根据菱形的特点得出D点的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝；

（2）观察图象可知：＜kx+b时x的取值范围0＜x＜4；

（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如下图所示，连接DC交PB于F，

∵四边形BCPD为菱形，
∴CF＝DF＝4，
∴CD＝8，
将x＝8代入反比例函数y＝得y＝1，
∴D点的坐标为（8，1）
∴则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）；
延长DP交y轴于点E，则点E为所求，
则|DE﹣PE|＝PD为最大，
设直线PD的表达式为：y＝sx+t，
将点P、D的坐标代入上式得：，解得：，
故直线PD的表达式为：y＝﹣x+3，
令x＝0，则y＝3，
故点E（0，3）．
【知识点】反比例函数综合题
22.（2021秋•天桥区期中）如图，在正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为：T（1，1），A（2，3），B（5，3）．
（1）以点T为位似中心，在位似中心的同侧将△TAB放大为原来的2倍，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′；写出点A′、B′的坐标：A′（　　），B′（　　）．
（2）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，那么它还经过T、A、A′、B′中的哪个点？为什么？

【答案】【第1空】（3，5）
【第2空】（9，5）
【分析】（1）根据题目的叙述，正确地作出图形，然后确定各点的坐标即可；
（2）根据k＝xy即可判断．
【解答】解：（1）如图，A′（3，5），B′（9，5），
故答案为（3，5），（9，5）；

（2）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B（5，3），
∴k＝5×3＝15，
∵A′（3，5），
∴3×5＝15＝k，
∴反比例函数的图象还经过A′点．

【知识点】作图-位似变换、反比例函数图象上点的坐标特征
23.（2021春•秦淮区期末）（1）分式有意义的条件是　　，该分式的值　　（填“会”或“不会”）为零，由此可以判断出反比例函数y＝的图象与y轴和x轴都没有公共点．
（2）类比（1），下列直线中，与函数y＝﹣2的图象没有公共点的是　　．（填写所有满足要求的选项的序号）
①经过点（1，0）且平行于y轴的直线；
②经过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线；
③经过点（0，2）且平行于x轴的直线；
④经过点（0，﹣2）且平行于x轴的直线．
（3）已知函数y＝﹣2的图象可以由y＝的图象平移得到．请你结合（2）中的结论，画出函数y＝﹣2的图象，并写出该函数的两条不同类型的性质．
【答案】【第1空】x≠0
【第2空】不会
【第3空】①④
【分析】（1）根据分式有意义和分式的值为0的条件即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）仿照反比例函数的性质，先画出反比例函数y＝的图象，进而向右平移一个单位，再向下平移2个单位即可得出结论，
【解答】解：（1）∵分式的分母不为0，
∴x≠0；
∵只有0除以任何一个不为0的数，值为0，而分式的分子为1，
∴的值不会为0，
故答案为：x≠0，不会；

（2）①分式有意义的条件是 x≠1，
∴函数y＝﹣2的图象与直线x＝1没有公共点，
②∵y＝﹣2，
∴y+2＝，
∵不会为 0，
∴y+2≠0，
∴y≠﹣2，故函数y＝﹣2的图象与直线y＝2没有公共点，
故答案为：①④；
（3）如下图
性质 1：x＞1时，y 随 x 的增大而减小，x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，
性质 2：函数值 y≠﹣2，
备注：答案不唯一，
图象如图所示：

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
24.（2021•宝应县二模）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y满足x＝，y＝，那么称点T是点A、B的“和美点”．
（1）已知A（﹣1，8），B（4，﹣2），C（2，4）．请判断点C　　（填“是”或“不是”）A、B两点的“和美点”．
（2）平面直角坐标系中，有四个点A （8，﹣1），B（2，﹣4），C（﹣3，5），D（12，5），点P是点A、B的“和美点”，点Q是点C、D的“和美点”．求过P、Q两点的直线解析式．
（3）若反比例函数y＝图象上有两点A、B，点T是点A、B的“和美点”，试问点T的横、纵坐标的积是否为常数？若是常数，请求出这个常数；若不是常数，请说明理由．
【答案】是
【分析】（1）根据“和美点”的定义求出点A，B的“和美点”的坐标，即可得出结论；
（2）先求出点P，Q的坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（3）先设出点A，B的坐标，进而表示出点T的坐标，最后求出点T的横、纵坐标的积，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，8），B（4，﹣2），
∴点A，B的“和美点”的横坐标为＝2，纵坐标为＝4，
∴点A，B的“和美点”的坐标为（2，4），
∴点C是A，B两点的“和美点”，
故答案为：是；

（2）∵点A （8，﹣1），B（2，﹣4），且点P是点A、B的“和美点”，
∴P（4，2），
∵点C（﹣3，5），D（12，5），且点Q是点C、D的“和美点”，
∴Q（6，5），
设直线PQ的解析式为y＝kx+m，
∴，
∴，
∴直线PQ的解析式为y＝x﹣4；

（3）点T的横、纵坐标的积是常数4，
理由：设点A（n，），B（h，），
∵点T是点A、B的“和美点”，
∴T（，），
∴点T的横、纵坐标的积是•＝＝4，
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式
25.（2021春•常熟市期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B分别在y轴和x轴上，点C、D都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，设点A、B的坐标分别为（0，a）、（b，0）且a＞0，b＞0．
（1）如果四边形ABCD是正方形，如图①，用a、b表示点C和点D的坐标；
（2）如果四边形ABCD是矩形，如图②，若AB＝6，BC＝2，求k的值．

【分析】（1）根据题意可证出△AOB≌△BMC，进而得出OA＝BM＝a，OB＝MC＝b，从而表示出点C、D的坐标；
（2）由（1）的方法，可类推出△AOB∽△BMC，进而得出相似比为3：1，表示出BM＝a，CM＝b，从而表示出点C、D的坐标；由点C、D在反比例函数的图象上，可得出a＝b，在Rt△AOB中，根据直角三角形边角关系可求出a、b的值，进而求出k的值．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥y轴，垂足为N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠DAB＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠CBM＝90°，
∴∠BAO＝∠CBM，
∴△AOB≌△BMC （AAS），
∴OA＝BM＝a，OB＝MC＝b，
∴点C（a+b，b），
同理，D（a，a+b）；
（2）如图2，由（1）的方法可得，△AOB∽△BMC，
∴＝＝＝＝，
∴BM＝OA＝a，CM＝b，
∴点C（b+a，b），
同理，点D（a，a+b），
∵点C、D在反比例函数的图象上，
∴（b+a）×b＝a×（a+b），
∴a＝b，
在Rt△AOB中，a＝b＝AB＝3，
∴k＝（b+a）×b＝8，
答：k的值为8．

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、正方形的性质
26.（2021•山西一模）如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝k2x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，m）两点，一次函数的图象与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x为何值时，y2＞0？
（3）已知点P（0，a）（a＞0），过点P作x轴的平行线，在第一象限内交一次函数y2＝k2x+b的图象于点M，交反比例函数y1＝的图象于点N．结合函数图象直接写出当PM＞PN时a的取值范围．

【分析】（1）将点A，点B坐标代入解析式可求解；
（2）先求出点C坐标，由图象性质可求解；
（3）结合图象可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点A（1，3），
∴，
∴k1＝3，
∴反比例函数表达式为：；
∵点B（3，m）在函数的图象上，
∴，
∴B（3，1）．
∵一次函数y2＝k2x+b的图象过点A（1，3），B（3，1），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为：y2＝﹣x+4；
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为，y2＝﹣x+4．
（2）∵当y2＝0时，﹣x+4＝0，x＝4，
∴C（4，0），
由图象可知，当x＜4时，y2＞0．
（3）如图，

由图象可得，当1＜a＜3时，PM＞PN．
【知识点】反比例函数综合题
27.（2021•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点A在x轴正半轴上，两条对角线相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过C，D两点．
（1）求▱ABCO的面积．
（2）若▱ABCO是菱形，请直接写出：
①tan∠AOC＝　　．
②将菱形ABCO沿x轴向左平移，当点A与O点重合时停止，则平移距离t与y轴所扫过菱形的面积S之间的函数关系式：　　．


【分析】（1）设点C（a，），点A（b，0），由平行四边形的性质和中点坐标公式可求点A坐标，可求▱ABCO的面积；
（2）①由菱形的性质可得OA＝OC，由两点距离公式可求点C坐标，即可求解；
②分三种情况讨论，由三角形的面积公式和梯形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）设点C（a，），点A（b，0），
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴CD＝AD，
∴点D（，），
∵双曲线y＝（x＞0）经过C，D两点，
∴×＝6，
∴b＝3a，
∴点A（3a，0），
∴▱ABCO的面积＝3a×＝18；
（2）①∵▱ABCO是菱形，
∴OA＝CO＝3a，
∴（a﹣0）2+（﹣0）2＝9a2，
∴a＝，
∴点C（，2），
∴tan∠AOC＝＝2，
故答案为2；
②∵a＝，
∴点A坐标为（3，0），点C（，2），
当0≤t≤，y＝×t×2t＝t2，
当＜t≤3，y＝×2×（t+t﹣）＝2t﹣3，
综上所述：y＝．
【知识点】反比例函数综合题
28.（2021秋•兰州期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是以AO为直角边的直角三角形，直接写出所有可能的E点坐标．

【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
（3）分两种情形分别讨论求解即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点B（3，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴A（，4），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6；
（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，

∵B（3，2），
∴直线OB的解析式为y＝x，
∴G（，1），A（，4），
∴AG＝4﹣1＝3，
∴S△AOB＝S△AOG+S△ABG＝×3×3＝．
（3）如图2中，

①当∠AOE1＝90°时，
∵点A（，4），
∴直线AC的解析式为y＝x，
∴直线OE1的解析式为y＝﹣x，
当y＝2时，x＝﹣，
∴E1（﹣，2）；
②当∠OAE2＝90°时，可得直线AE2的解析式为y＝﹣x+，
当y＝2时，x＝，
∴E2（，2）．
综上所述，满足条件的点E坐标为（﹣，2）或（，2）．
【知识点】反比例函数综合题
29.（2021秋•温州月考）如图，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，顶点B在第一象限，AB＝6．点E、F分别在边AB和射线OB上运动（E、F不与正方形的顶点重合），OF＝2BE，设BE＝t．
（1）当t＝2时，则AE＝　　，BF＝　　；
（2）当点F在线段OB上运动时，若△BEF的面积为，求t的值．
（3）在整个运动过程中
①平面上是否存在一点P，使得以P、O、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②若函数y＝+a（x＞0，a为常数）的图象同时经过E、F，直接写出a的值．

【答案】【第1空】4
【第2空】2


2

【分析】（1）求出F（2t，2t），点E（6，6﹣t），当t＝2时，AE＝AB﹣BE＝6﹣t＝4，BF＝OB﹣PF＝6﹣2×2＝2；
（2）△BEF的面积＝×BE×（xB﹣xF），即可求解；
（3）①分EF为对角线、EF是边两种情况，利用菱形邻边相等即可求解；②将点E、F的坐标分别代入函数y＝+a，即可求解．
【解答】解：（1）设点F（x，y），
∵四边形OABC为正方形，则x＝y，
∴2x2＝OF2＝8t2，解得：x＝2t＝y，故点F（2t，2t），
点E（6，6﹣t），
当t＝2时，AE＝AB﹣BE＝6﹣t＝4，
BF＝OB﹣PF＝6﹣2×2＝2，
故答案为4，2；

（2）△BEF的面积＝×BE×（xB﹣xF）＝×t×（6﹣2t）＝，
解得t＝；

（3）①由（1）知，点E、F的坐标分别为（6，6﹣t）、（2t，2t），
则OF2＝（2t）2＝8t2，EF2＝（6﹣2t）2+（6﹣3t）2，OE2＝62+（6﹣t）2，
当EF为对角线时，如图1，

则OE＝OF，即8t2＝62+（6﹣t）2，解得t＝（不合题意的值已舍去）；
当EF是边时，如图2，3，

当FE＝OE时，即（6﹣2t）2+（6﹣3t）2＝62+（6﹣t）2，解得t＝0（舍去）或4；
当EF＝OF时，同理可得：t＝，
综上，t＝或4或；
②将点E、F的坐标分别代入函数y＝+a得，解得，
故a＝﹣4．
【知识点】反比例函数综合题
30.（2021秋•简阳市 月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝的图象交于点B（a，4）和点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，且△PBC的面积等于6，求点P的坐标；
（3）设M是直线AB上一点，过点M作MN∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）联立方程组可求点C坐标，利用三角形的面积公式可求解；
（3）由平行四边形的性质可得MN＝OA＝2，可求m的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），
∴b＝2，
∴直线解析式为y＝x+2，
∵点B（a，4）在直线y＝x+2上，
∴4＝a+2，
∴a＝2，
∴点B（2，4），
∵反比例函数y＝的图象过点B（2，4），
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）如图1，设直线AB与y轴交于点D，点P坐标为（0，p），

∵直线AB与y轴交于点D，
∴点D（0，2），
联立方程得：，
解得：，或，
∴C（﹣4，﹣2），
∴S△PBC＝S△BPD+S△PDC＝，
∴p＝0或4，
∴P（0，0）或（0，4）；
（3）如图2，设M（m﹣2，m），则N（），

∵以A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，MN∥OA，OA＝2，
∴MN＝OA＝2，
∴，
∴或，
∴点M坐标为（2﹣2，）或（﹣2，﹣2）或（2，）或（﹣2，）．
【知识点】反比例函数综合题