考点04 中考常考题型-二次函数（提高）-2022届九年级《新题速递 数学》（人教版）

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考点04 中考常考题型——二次函数（提高）
一、单选题（共11小题）
1.（2021•金台区二模）若将二次函数y＝x2﹣4x+3的图象绕着点（﹣1，0）旋转180°，得到新的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），那么c的值为（　　）
A．﹣15 B．15 C．17 D．﹣17
【答案】A
【分析】由于图象绕定点旋转180°，得到顶点坐标改变，而抛物线开口方向相反，然后根据顶点式写出解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），
∴绕（﹣1，0）旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣4，1），
∴所得到的图象的解析式为y＝﹣（x+4）2+1＝﹣x2﹣8x﹣15．
∴c的值为﹣15．
故选：A．
【知识点】二次函数图象与几何变换
2.（2021•东丽区一模）对于二次函数y＝x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（　　）
A．m≥﹣2 B．﹣4≤m≤﹣2 C．m≥﹣4 D．m≤﹣4或m≥﹣2
【答案】A
【分析】分三种情况进行讨论：对称轴分别为x＜0、0≤x＜2、x≥2时，得出当0＜x≤2时所对应的函数值，判断正误．
【解答】解：对称轴为：x＝﹣＝﹣，y＝＝1﹣，
分三种情况：①当对称轴x＜0时，即﹣＜0，m＞0，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；
②当0≤﹣＜2时，0≤﹣＜2，﹣4＜m≤0，当1﹣≥0时，﹣2≤m≤2，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；
当1﹣＜0时，不能满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；
∴当﹣2≤m≤0时，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，
③当对称轴﹣≥2时，即m≤﹣4，如果满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则有x＝2时，y≥0，
4+2m+1≥0，
m≥﹣，
此种情况m无解；
故选：A．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
3.（2021•双峰县一模）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论，其中不正确的是（　　）
A．当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（）
B．当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C．当m≠0时，函数图象经过同一个点
D．当m＜0时，函数在x时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】A、把m＝﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
【解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
A、当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是（，）；此结论正确；
B、当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣﹣，
|x2﹣x1|＝+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；
C、当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
D、当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x＝，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，＝﹣＞，即对称轴在x＝右边，因此函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．
故选：D．
【知识点】二次函数的性质
4.（2021•碑林区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2a（a≠0）的图象经过点A（1，n），B（3，n），且当x＝1时，y＞0．若M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【答案】C
【分析】根据点A（1，n），B（3，n），确定函数的对称轴x＝2，再由当x＝1时，y＞0确定a＜0，结合函数图象即可求解；
【解答】解：∵当x＝1时，y＞0．
∴n＞0，
又∵经过点A（1，n），B（3，n），
∴x＝2是函数的对称轴，
令x＝0时，函数与y轴交点（0，﹣2a），
当a＞0时，﹣2a＜0，不符合题意；
∴a＜0，
∴M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）到对称轴的距离从远即近为P，M，N，
∴y2＞y1＞y3，
故选：C．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点
5.（2021•龙岩一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标是（1，n），与y轴的交点在（0，3）和（0，6）之间（包含端点），则下列结论错误的是（　　）

A．3a+b＜0 B．﹣2≤a≤﹣l C．abc＞0 D．9a+3b+2c＞0
【答案】C
【分析】根据二次函数图象的性质进行判断即可．
【解答】解：A．根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x＝＝1，
∴b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0．
故A正确；
B．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴﹣1×3＝﹣3，
∴＝﹣3，则a＝﹣．
∵抛物线与y轴的交点在（0，3）、（0，6）之间（包含端点），
∴3≤c≤6，
∴﹣2≤﹣≤﹣1，即﹣2≤a≤﹣1．
故B正确；
C．∵抛物线开口方向向下，则a＜0，
∵与y轴的交点在（0，3）和（0，6）之间，则c＞0，
∵对称轴直线是x＝1，则a与b异号，即b＞0，
∴abc＜0，
故C错误；
D．∵则a＝﹣，即c＝﹣3a，b＝﹣2a，
∴9a+3b+2c＝9a+（﹣6a）+（﹣6a）＝﹣3a，、
∵a＜0，
∴9a+3b+2c＝﹣3a＞0
故D正确，
故选：C．
【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系
6.（2021•南昌模拟）如图，一条抛物线与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动，M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2），x1的最小值为﹣4，则x2的最大值为（　　）

A．6 B．4 C．2 D．﹣2
【答案】B
【分析】当P在M点时，x1有最小值﹣4，此时x2＝2；x2与对称轴的距离是3；当P在N点时，x1有最小值4；
【解答】解：由题意可知，
当P在M点时，x1有最小值﹣4，此时x2＝2；
∴x2与对称轴的距离是3；
当P在N点时，x1有最小值4；
故选：B．
【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、坐标与图形变化-平移
7.（2021•碑林区校级一模）根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，（其中m＜0＜n）下列结论正确的（　　）
x
…
0
1
2
4
…
y
…
m
k
m
n
…
A．b2﹣4ac＜0 B．4a﹣2b+c＜0 C．2a+b+c＜0 D．abc＜0
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由抛物线的对称性可知：（0，m）与（2，m）是对称点，
故对称轴为x＝1，
∴＝1，
∴b＝﹣2a，
当x＝0时，y＝c＝m＜0，
∴2a+b+c＝0+c＝m＜0，
故选：C．
【知识点】二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征
8.（2021•洪山区模拟）如图，直线y=与y轴交于点A，与直线y=﹣交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　）

A．﹣2 B．﹣2≤h≤1 C．﹣1 D．﹣1
【答案】A
【分析】将y=与y=﹣联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线y=﹣可求得k=﹣，于是可得到抛物线的解析式为y=（x﹣h）2﹣h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．
【解答】解：∵将y=与y=﹣联立得：，解得：．
∴点B的坐标为（﹣2，1）．
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）．
∵将x=h，y=k，代入得y=﹣得：﹣h=k，解得k=﹣，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣h）2﹣h．
如图1所示：当抛物线经过点C时．

将C（0，0）代入y=（x﹣h）2﹣h得：h2﹣h=0，解得：h1=0（舍去），h2=．
如图2所示：当抛物线经过点B时．

将B（﹣2，1）代入y=（x﹣h）2﹣h得：（﹣2﹣h）2﹣h=1，整理得：2h2+7h+6=0，解得：h1=﹣2，h2=﹣（舍去）．
综上所述，h的范围是﹣2≤h≤．
故选：A．
【知识点】二次函数综合题
9.（2021•河北区一模）如图，一段抛物线y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象．垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），且x1，x2，x3均为正数，设t＝x1+x2+x3，则t的最大值是（　　）

A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】B
【分析】先求出旋转后函数的顶点和对称轴，再由垂直于y轴的直线l与新图象相交，所以交点的横坐标关于对称抽对称，得到x1+x2＝12，再结合0≤x3≤6即可求t的最大值．
【解答】解：由已知可得：A1（3，0），D1（0，9），
将C1绕点A1旋转180°后，得到：D2（6，﹣9），
新函数的对称轴为x＝6，
垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），
∴P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点关于对称轴x＝6对称，
∴x1+x2＝12，
∵垂直于y轴的直线l与线段D1D2交于点P3（x3，y3），
∴0≤x3≤6，
∴t＝x1+x2+x3＝12+x3，
当x3＝6时，t有最大值18．
故选：B．
【知识点】二次函数的性质、坐标与图形变化-旋转、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点
10.（2021•肥城市模拟）在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△BEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析，EF与x的关系，他们的关系分两种情况，依情况来判断抛物线的开口方向．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD＝2，OB＝OD＝BD＝，
①当P在OB上时，即0≤x≤，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC＝BP：OB，
∴EF＝2BP＝2x，
∴y＝EF•BP＝×2x×x＝x2；
②当P在OD上时，即＜x≤2，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC＝DP：OD，
即EF：2＝（2﹣x）：，
∴EF＝2（2﹣x），
∴y＝EF•BP＝×2（2﹣x）×x＝﹣x2+2x，
这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：
二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数．
当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下．所以由此图我们会发现，EF的取值，最大是AC．当在AC的左边时，EF＝2BP；所以此抛物线开口向上，当在AC的右边时，抛物线就开口向下了．
故选：C．
【知识点】矩形的性质、三角形的面积、二次函数的性质、动点问题的函数图象
11.（2021•深圳模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，它与x轴x＝2正半轴相交于点A，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b﹣c＞0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为，其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x＝3时，y＞0，可判断②；由OA＝OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c＝0，结合③可判断④；从而可得出答案．
【解答】解：由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x＝3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
∵c＜0，即﹣c＞0
∴9a+3b＞0，
∴9a+3b﹣c＞0，故②正确；
由图象可知OA＜1，
∵OA＝OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，
整理可得ac﹣b+1＝0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c＝0，
即方程有一个根为x＝﹣c，
由②可知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根，
∴x＝﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个：①②③④4个．
故选：D．
【知识点】二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点

二、填空题（共9小题）
12.（2021•都江堰市模拟）平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝ax2上的两点A、B满足OA＝OB，且tan∠OAB＝，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y＝x2的通径长为　　．
【答案】2
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以求得通径的长．
【解答】解：设点A的坐标为（﹣2a，a），点A在x轴的负半轴，
则a＝，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
∴点A的横坐标是﹣1，点B的横坐标是1，
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，
故答案为：2．
【知识点】解直角三角形、二次函数图象上点的坐标特征
13.（2021•润州区二模）平行于x轴的直线l分别与一次函数y＝﹣x+3和二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点，且x1＜x2＜x3，设m＝x1+x2+x3，则m的取值范围是　　　．
【答案】m＜0
【分析】先根据方程组求两函数交点E和F的坐标，根据对称性可知：B和C是对称点，x2+x3＝2，根据图象可得点A一定在交点F的左侧，所以x1＝m﹣2＜﹣2，可得结论．
【解答】解：如图所示，由得：，，
∴F（﹣2，5），
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴是：x＝1，
∵l∥x轴，
∴B和C是对称点，
∴＝1，
∴x2+x3＝2，
∵m＝x1+x2+x3，且x1＜x2＜x3，
∴x1＝m﹣2，
由图象得：x1＜﹣2，即m﹣2＜﹣2，
∴m＜0，
故答案为：m＜0．

【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、两条直线相交或平行问题
14.（2021•洪山区二模）二次函数y=2x2﹣2x+m（0＜m＜），若当x=a时，y＜0，则当x=a﹣1时，函数值y的取值范围为　　　　　
【答案】m＜y＜m+4
【分析】易求得抛物线对称轴，可以找出a的大小区间，即可确定a﹣1的大小区间，即可解题．
【解答】解：∵0＜m＜，
∴△=4﹣8m＞0，
∵对称轴为x=，x=0或1时，y=m＞0，
∴当y＜0时，0＜a＜1，
∴﹣1＜a﹣1＜0，
∵当x=﹣1时，y=2+2+m=m+4，
当x=0时，y=0﹣0+m=m，
∴当x=a﹣1时，函数值y的取值范围为m＜y＜m+4．
故答案为：m＜y＜m+4．
【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质
15.（2021•锦江区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，2），下列结论：①abc＞0；②a+b+c＞0；③2a+b＜0；④b＜﹣1；⑤b2﹣4ac＜8a，正确的结论是　　　　　（只填序号）

【答案】①④⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵x＝﹣＞0，
∴b＜0，
又∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0．
故①正确；
②∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
故②错误；
③∵a＞0，0＜﹣＜1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0．
故③错误；
④∵抛物线过点（﹣1，2），
∴a﹣b+c＝2
∴a+c＝b+2
∵a+b+c＜0，
∴b+2+b＜0
∴b＜﹣1
故④正确；
∵＞﹣2且a＞0
∴4ac﹣b2＞﹣8a
∴b2﹣4ac＜8a成立，
故⑤正确．
故答案为：①④⑤．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系
16.（2021•资中县一模）二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③c=﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣或﹣．其中正确的有　　　　　．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
【答案】①③④
【分析】①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知：当x=﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1确定对称轴是：x=﹣1，可得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，所以y1＜y2；
③根据对称轴和x=1时，y=0可得结论；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，先计算c的值，再联立方程组可得结论．
【解答】解：①∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴当x=﹣4时，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①正确；
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴抛物线的对称轴是：x=﹣1，
∵P（﹣5，y1），Q（，y2），
﹣1﹣（﹣5）=4，﹣（﹣1）=3.5，
由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，
∴则y1＜y2；
故②不正确；
③∵﹣=﹣1，
∴b=2a，
当x=1时，y=0，即a+b+c=0，
3a+c=0，
c=﹣3a，故③正确；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，
当AB=BC=4时，
∵BO=1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣1=15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c=，
与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣；
同理当AB=AC=4时，
∵AO=3，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣9=7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c=，
与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣；
同理当AC=BC时，
在△AOC中，AC2=9+c2，
在△BOC中BC2=c2+1，
∵AC=BC，
∴1+c2=c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案是：①③④．
【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质
17.（2021•龙湾区二模）如图①是一种常见的道路路灯，PF为立柱，其中灯杆ADB可以近似看作某抛物线的一部分，且抛物线对称轴到立柱的距离为2.5米，CD是灯杆的固定支架，现测得支架CD与立柱PF的夹角∠PCD满足tan∠PCD＝2，且CD＝米，某时刻路灯A发光时，所能照到的地面最远点E恰好和路灯A以及立柱顶点P在同一直线上，相关数据如图②所示，则立柱PF＝　　　　　　米．


【分析】根据题意可以求得二次函数的解析式，从而可以求得A的坐标，然后利用三角形相似即可求得PF的长．
【解答】解：由题意和图形可得，
点B的坐标为（0，15），
∵支架CD与立柱PF的夹角∠PCD满足tan∠PCD＝2，且CD＝米，
点D的坐标为（2，18），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
，得，
∴y＝﹣0.5x2+2.5x+15，
当y＝17时，17＝﹣0.5x2+2.5x+15，
解得，x1＝1.5，x2＝3.5，
∴点A的坐标为（3.5，17），
设PF的长度为a米，
则，
解得，a＝，
故答案为：．
【知识点】解直角三角形的应用、二次函数的应用
18.（2021•成都模拟）在平面直角坐标系，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为　　﹣　　　　；若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，实数a的值为　　　　　　　．

【分析】（1）直接根据“可控变点”的定义直接得出答案；
（2）y＝﹣16时，求出x的值，再根据“可控变点”的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）根据定义，点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）；
（2）依题意，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′＝的图象上，如图．
①当0≤x≤a时，y′＝﹣x2+16，此时，抛物线y′的开口向下，故当0≤x≤a时，y′随x的增大而减小，
即：﹣16≤y′≤16，
当y'＝﹣16时，﹣a2+16＝﹣16，
∴a2＝32，
∴a＝±4，
②当﹣5≤x＜0时，y′＝x2﹣16，抛物线y′的开口向上，故当﹣5≤x＜0时，y′随x的增大而减小，
即：﹣16＜y′≤9，
又∵﹣5≤x≤a，
∴a的值是：a＝4．
故答案为（﹣5，2），a＝4．

【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
19.（2021•成华区模拟）定义：如果二次函数y=a1x2﹣b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2﹣b2x+c2（a2≠0）满足：a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0则称这两个函数互为“旋转函数”．现有下列结论：
①函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”是y=x2+3x+2；
②函数y=（x+1）2﹣2的“旋转函数”是y=﹣（x﹣1）2+2；
③函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，则（m+n）2021=1；
④已知二次函数y=﹣的图象与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是点A1，B1，C1，那么经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=﹣互为“旋转函数”．
上述结论中正确的有　　　　　　（填序号）．
【答案】①②③④
【分析】“旋转函数”的定义本质上是两个函数的二次项项系数和常数项分别互为相反数，一次项系数相等，由此把相应函数整理对比即可．
【解答】解：①根据定义两个函数二次项系数、常数项分别互为相反数，一次项系数相等，满足定义，则①正确；
②由y=（x+1）2﹣2=x2+2x﹣1，y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，根据定义，②正确；
③若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，则，解得，（m+n）2021=（﹣3+2）2021=1，③正确；
④由已知设点A、B坐标为（﹣1，0）、（4，0），可求得点C坐标为（0，2），则点A1，B1，C1的坐标分别为（1，0）、（﹣4，0），可求得点C坐标为（0，﹣2），设过点A1，B1，C1解析式为y=a（x﹣1）（x+4），把（0，﹣2）代入解得a=，解析式可化为y=，根据“旋转函数”可知，两个函数互为“旋转函数”．则④正确．
故答案为：①②③④
【知识点】坐标与图形变化-旋转、关于原点对称的点的坐标、抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征
20.（2017•鹿城区校级三模）如图，抛物线y＝a（x﹣9）（x+12）（a＜0）与x轴交于点A，B，与y轴交点C，在y轴上取点E，使OE＝OA，以OB，OE为边作矩形OBDE，边DE与抛物线的交点为F，连接BF，作△BDF的外接圆⊙M，若⊙M与y轴相切，则a的值为　　　　　　．


【分析】由抛物线与坐标轴的交点可求得A（﹣12，0），B（9，0），设⊙M与y轴的切点为G，与x轴的交点为N，连接MG、FN，交点为H，根据切线的性质得到MG⊥OC，则四边形OEFN为矩形，根据垂径定理得到NH＝HF＝6，过点M作MK⊥OB，在Rt△MKB中，设MB＝x，则62+（9﹣x）2＝x2，解得半径长可求出ON，EF，将点F的坐标代入抛物线解析式即可求a的值．
【解答】解：由题意抛物线y＝a（x﹣9）（x+12）（a＜0）与x轴交于点A，B，令y＝0，a（x﹣9）（x+12）＝0，解得x1＝9，x2＝﹣12，
∴A（﹣12，0），B（9，0），
如图，若⊙M与y轴的切点为G，与x轴的交点为N，连接MG、FN，交点为H，四边形OBDE为矩形，BF为直径，则四边形OEFN为矩形，
∵⊙M与y轴相切，
∴MG⊥OE，
过点M作MK⊥OB，则四边形MHNK为矩形，
∵OE＝OA＝12，
∴由垂径定理得，NH＝HF＝6，
在Rt△MKB中，设MB＝x，则MK＝HN＝6，BK＝9﹣x，由勾股定理MK2+BK2＝BM2可得，62+（9﹣x）2＝x2，
解得，．
∴BN＝＝5，
∴EF＝ON＝OB﹣BN＝9﹣5＝4，
∴F点的坐标为（4，12），
把F点的坐标为（4，12）代入抛物线解析式得，12＝a（4﹣9）（4+12），
∴．
【知识点】矩形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、切线的性质、抛物线与x轴的交点

三、解答题（共8小题）
21.（2021•青山区模拟）某水果经销商以20元/千克的价格新进1000kg杨梅进行销售，因为杨梅不耐储存，在运输储存过程损耗率为．为了得到日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x（元/千克）
20
25
30
35
40
日销售量y（千克）
300
225
150
75
0
（1）这批杨梅的实际成本为　　元/千克，每千克定价为　　元时，这批杨梅可获得5000元利润；
（2）①请你根据表中的数据直接写出y与x之间的函数表达式．
②该水果经销商应该如何确定这批杨梅的销售价格，才能使日销售利润w1最大？
（3）该水果经销商参与电商平台助农活动，开展网上直销，可以完全避免运输储存过程中的损耗成本，但每销售1千克杨梅需支出a元（a＞0）的相关费用，销售量与销售价格之间关系不变．当25≤x≤30，该水果经销商日获利w2的最大值为1200元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）
【答案】【第1空】24
【第2空】30
【分析】（1）由题意得：成本价为20÷（1﹣）＝24（元），设当定价为x元/千克时获利为5000元，则1000×（1﹣）（x﹣24）＝5000，即可求解；
（2）①假设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（20，300）、（25，225）代入上式即可求解，最后把其它点代入验证即可；
②由题意得：w1＝y（x﹣24）＝（﹣15x+600）（x﹣24）＝﹣15（x﹣40）（x﹣24），求函数的最大值即可；
（3）由题意得：w2＝y（x﹣20﹣a），函数的对称轴为x＝30+a＞30，故当25≤x≤30时，在x＝30时，w2取得最大值为1200，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：成本价为20÷（1﹣）＝24（元），
设当定价为x元/千克时获利为5000元，则1000×（1﹣）（x﹣24）＝5000，
解得x＝30（元/千克），
故答案为24，30；

（2）①假设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，
将点（20，300）、（25，225）代入上式得，解得，
故函数的表达式为y＝﹣15x+600，
把其它点代入验证，表达式也成立，
故函数的表达式为y＝﹣15x+600；
②由题意得：w1＝y（x﹣24）＝（﹣15x+600）（x﹣24）＝﹣15（x﹣40）（x﹣24），
∵﹣15＜0，故函数w1有最大值，当x＝（40+24）＝32（元/千克）时，w1的最大值为960（元），
即销售价格为32元/千克时，日销售利润w1最大值为960元；

（3）由题意得：w2＝y（x﹣20﹣a）＝﹣15（x﹣40）（x﹣20﹣a），
函数的对称轴为x＝（40+20+a）＝30+a＞30，
故当25≤x≤30时，在x＝30时，w2取得最大值为1200，
即﹣15（30﹣40）（30﹣20﹣a）＝1200，
解得a＝2．
【知识点】二次函数的应用、一元二次方程的应用
22.（2021•南充模拟）“新冠肺炎”疫情初期，一家药店购进A，B两种型号防护口罩共8万个，其中B型口罩数量不超过A型口罩数量的1.5倍，第一周就销售A型口罩0.4万个，B型口罩0.5万个，第三周的销量占30%．
（1）购进A型口罩至少多少万个？
（2）从销售记录看，第二周两种口罩销售增长率相同，第三周A型口罩销售增长率不变，B型口罩销售增长率是第二周的2倍．求第二周销售的增长率．
（3）为满足顾客需求，这家药店准备用6000元再购进一批C，D两种型号口罩，进价分别为2元/个，6元/个，售价分别为3元/个，8元/个．由销售经验，C型不少于D型数量的2倍，不超过D型数量的3倍．为使利润最大，药店应如何进货？并求出最大利润．
【分析】（1）设购进A型口罩x万个，则购进B型口罩（8﹣x）万个，由题意得：8﹣x≤1.5x，解得x≥3.2（万个）；
（2）设第二周销售的增长率为a，由题意得：0.5（1+2a）（1+a）+0.4（1+a）2＝8×30%，即可求解；
（3）由题意得：，解得，而w＝（3﹣2）x+（8﹣6）y＝2x+2y，即可求解．
【解答】解：（1）设购进A型口罩x万个，则购进B型口罩（8﹣x）万个，
由题意得：8﹣x≤1.5x，解得x≥3.2（万个），
故购进A型口罩至少3.2万个；

（2）设第二周销售的增长率为a，
由题意得：0.5（1+2a）（1+a）+0.4（1+a）2＝8×30%，
解得a＝0.5＝50%（负值已舍去）；

（3）设C、D型口罩进货分别为x个、y个，设销售利润为w元，
由题意得：，解得，
w＝（3﹣2）x+（8﹣6）y＝x+2y，
则4y≤w≤5y，
当w＝5y时，利润最大，即x＝3y，
则x＝1500（个），y＝500（个）
最大利润为5y＝2500（元）．
【知识点】二次函数的应用、一元二次方程的应用
23.（2021•吉林一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝；连接AC，BC，S△ABC＝15．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①点M是x轴上方抛物线上一点，且横坐标为m，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N．线段MN有一点H（点H与点M，N不重合），且∠HBA+∠MAB＝90°，求HN的长；
②在①的条件下，若MH＝2NH，直接写出m的值；
（3）在（2）的条件下，设d＝，直搂写出d关于m的函数解析式，并写出m的取值范围．

【分析】（1）由S△ABC＝15＝×AB•OC＝×5×OC，解得OC＝6，故点C（0，6），再用待定系数法即可求解；
（2）①证明△BNH∽△MNA，则，即，即可求解；
②∵MH＝MN﹣HN＝MN﹣2＝2HN＝2，即MN＝3，进而求解；
（3）∵S△MAN＝×MN•AN＝×（﹣m2+m+6）（m+2）＝﹣（m+2）2（m﹣3），而S△NBH＝×BN•HN＝×（3﹣m）×1＝﹣（m﹣3），即可求解．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），对称轴为直线x＝，则点B（3，0），则AB＝5，
∵S△ABC＝15＝×AB•OC＝×5×OC，解得OC＝6，故点C（0，6），
则设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+2）（x﹣3），
将点C的坐标代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣3），解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+6；

（2）如图，∵A（﹣2，0），B （3，0），
设M（m，﹣m2+m+6），则N（m，0），

①∵MN⊥x轴，
∴∠HNB＝∠ANM＝90°，
∴∠BHN+∠HBN＝90°，
又∵∠HBA+∠MAB＝90°，
∴∠BHN＝∠MAB，
∴△BNH∽△MNA，
∴，
∴，
整理得：HN＝1；
②∵MH＝MN﹣HN＝MN﹣2＝2HN＝2，
即MN＝3，
则﹣m2+m+6＝3，解得m＝；

（3）∵S△MAN＝×MN•AN＝×（﹣m2+m+6）（m+2）＝﹣（m+2）2（m﹣3），
而S△NBH＝×BN•HN＝×（3﹣m）×1＝﹣（m﹣3），
则d＝＝（m+2）2（﹣2＜m＜3）．
【知识点】二次函数综合题
24.（2021•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．
①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；
②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式，即可求解；
（2）分点P在x轴下方、点P在x轴上方两种情况，分别求解即可；
（3）证明BN是△OEM的中位线，故BN＝EM＝，而BD＝＝，而BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣2x①；

（2）点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），
当点P在x轴下方时，
如图1，∵tan∠MBC＝2，
故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，
故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，
联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；
当点P在x轴上方时，
同理可得：m＝4±2（舍去4﹣2）；
故m＝2或4+2；

（3）存在，理由：
连接BN、BD、EM，

则BN是△OEM的中位线，故BN＝EM＝，而BD＝＝，
在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，
即﹣0.5≤ND≤+0.5，
故线段DN的长度最小值和最大值分别为﹣0.5和+0.5．
【知识点】二次函数综合题
25.（2021•佛山模拟）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（1，0），点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；
（3）如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）连接BC，过点P作PE⊥AB交BC于点E，先求出BC解析式，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点E（m，﹣m+3），利用面积的和差关系和二次函数的最值可求解；
（3）分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴
∴
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，连接BC，过点P作PE⊥AB交BC于点E，

∵抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3与与y轴交于点C，
∴点C（0，3）
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
设点P（m，﹣m2+2m+3），则点E（m，﹣m+3）
∴四边形BDCP面积＝×2×3+×3×（﹣m2+2m+3+m﹣3）＝﹣（m﹣）2+
∴当m＝时，四边形BDCP面积的最大值为；
（3）∵OC＝OB＝3，
∴∠CBO＝45°，
若OB＝QB＝3，
∵∠QBM＝45°，QM⊥AB，
∴∠BQM＝∠QBM＝45°，
∴QM＝BM＝＝，
∴OM＝OB﹣BM＝3﹣，
∴t＝＝（s），
若OQ＝BQ，且QM⊥AB，
∴OM＝OB＝，
∴t＝＝s
综上所述：当t＝s或s时，使得△BOQ为等腰三角形．
【知识点】二次函数综合题
26.（2021•长清区一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C，交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0）（A点在B点左侧），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC＝∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先判断出抛物线的二次项系数，再根据交点式，即可得出结论；
（2）先判断出∠ACB＝90°，进而得出AA'的中点恰好是点C，利用中点坐标公式即可得出结论；
（3）分点P在直线BC下方和上方，判断出点P在△ABC（或△A'BC的外接圆上，求出此圆的半径和圆心O'的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2，

（2）如图1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
则点C（0，2），
∵B（4，0），A（﹣1，0），
∴OA＝1，OB＝4，
∴＝＝，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∵∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
由折叠知，点A'与A关于BC对称，
则AA'与BC的交点恰为点C，
即点C是AA'的中点，
设点A（m，n），
则＝0，＝2，
∴m＝1，n＝4，
∴A'（1，4）；

（3）当点P在直线BC的下方时，如图2，
由（2）知，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，
作Rt△ABC的外接圆，则圆心为抛物线的对称轴与x轴的交点，记作O'，
∴O'（，0），⊙O'半径为，
∴O'P＝，设点P的坐标为（，a），
∴O'P＝﹣a，
∴﹣a＝，
∴a＝﹣，
∴P（，﹣）；
当点P在直线BC上方时，如图3，
由（2）知，A'（1，4），
由折叠知，△A'BC是以A'B为斜边的直角三角形，作Rt△A'BC的外接圆，记圆心为O'，O'是A'B的中点，
∵B（4，0），
∴O'（，2），⊙O'的半径为，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴点P在⊙O'上，
∴O'P＝
设点P（，d）（d＞1），
∴O'P＝＝
∴d＝2﹣（舍）或d＝2+，
∴P（，2+），
即满足条件的点P的坐标为（，﹣）或（，2+）．



【知识点】二次函数综合题
27.（2021•梁园区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线l交抛物线于点B，交y轴于点C（0，﹣4）．点P是抛物线上一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P关于直线OB的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标；
（3）M是线段OB上的一个动点，过点M作直线MN⊥x轴，交抛物线于点N．当以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似时，直接写出点N的坐标．

【分析】（1）依题意设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把B（5，5）代入求得解析式；
（2）先求出直线BC解析式和OB解析式，可求直线l关于直线OB对称的直线解析式，联立方程组可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax（x﹣4），且过点B（5，5）
∴5＝5a
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x；
（2）∵点B（5，5），点C（0，﹣4），O（0，0）
∴直线BC解析式为：y＝x﹣4，
直线OB解析式为：y＝x，
∴直线l关于直线OB对称的直线解析式为y＝x+，
∴联立方程组可得：
∴ 或
∴点P（﹣，）；
（3）如图，

∵点B（5，5），点C（0，﹣4），O（0，0）
∴OC＝4，BO＝5，
设点M（m，m），则点N（m，m2﹣4m），
∴MN＝5m﹣m2，BM＝（5﹣m），
∵MN∥y轴，
∴∠BMN＝∠BOC＝135°．
∵以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似，
∴或，
若，则＝，
∴m1＝5（舍去），m2＝，
∴点N的坐标为（，﹣），
若，则＝，
∴m1＝5（舍去），m2＝，
∴点N坐标为（，﹣），
综上所述：点N坐标为：（，﹣）或（，﹣）．
【知识点】二次函数综合题
28.（2021•闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线y＝x2上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．
如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．
（1）当m＝1时，求这条“子抛物线”的解析式；
（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；
（3）如果∠OAC＝135°，求m的值．

【分析】（1）根据题意得出A（m，m2），将m＝1代入得出其坐标，继而可得答案；
（2）根据A（m，m2）知“子抛物线”的解析式为．求出x＝0时y的值可知点C坐标，表示出OC、BC的长度，从而求得余切值；
（3）过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，证△AED≌△DFO得AE＝DF，DE＝OF，设AE＝n，知DF＝n，BE＝m+n＝OF＝ED．结合OB＝EF得m2＝m+2n．再由∠BCA＝∠ADE知，联立方程组，解之可得答案．
【解答】解：（1）由题得，A（m，m2），
当m＝1时，A（1，1），
∴这条“子抛物线”的解析式：；

（2）由A（m，m2），且AB⊥y轴，可得AB＝m，OB＝m2．
∴“子抛物线”的解析式为．
令x＝0，则，
∴点C的坐标（0，），，
∴．
在Rt△ABC中，．

（3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，

∵∠OAC＝135°，
∴∠OAD＝45°，
又∵OD⊥CA，
∴∠OAD＝∠AOD＝45°，
∴AD＝OD，
∴△AED≌△DFO（AAS），
∴AE＝DF，DE＝OF，
设AE＝n，那么DF＝n，BE＝m+n＝OF＝ED．
又∵OB＝EF，
∴m2＝m+2n．
又∵∠BCA＝∠ADE，
∴，
解方程组，得m1＝2，（舍去），
∴m的值为2．
【知识点】二次函数综合题