专训二十七、二次函数范围内最值计算-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训二十七、二次函数范围内最值计算

牛刀小试

1．（2019·福建省福州屏东中学初三期中）已知二次函数y=x2-4x+2，若-1≤x≤1时，则y的取值范围（    ）

A．y≥ 7 B．y≤-1 C．-1≤y≤7 D．-2≤y≤7

【答案】C

【解析】

【分析】

将x=-1，x=1分别代入函数解析式得到y的值，再求出对称轴，即可根据增减性确定y

的取值范围.

【详解】

∵y=x2-4x+2，

∴当x=-1时，y=1+4+2=7，

当x=1时，y=1-4+2=-1，

∵，

∴对称轴为直线x=2，

∴当-1≤x≤1时，y随x的增大而减小，

∴-1≤y≤7.

故选：C.

【点睛】

此题考查二次函数的性质，题中需判断x的取值范围中是否包括定点，这是解此类题中容易出现错误的地方.

2．（2021·浙江温州·初三期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当a≤x≤a+5时，函数y的最小值为﹣1，则a的取值范围是_______．

【答案】﹣3≤a≤2

【解析】

【分析】

求得对称轴，然后分三种情况讨论即可求得．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴对称轴为直线x＝2，

当a＜2＜a+5时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝2时有最小值﹣1，

当a≥2时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝a时有最小值﹣1，

∴a2﹣4a+3＝﹣1，

解得a＝2，

当a+5≤2时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝a+5时有最小值﹣1，

∴（a+5）2﹣4（a+5）+3＝﹣1，

解得a＝﹣3，

∴a的取值范围是﹣3≤a≤2，

故答案为：﹣3≤a≤2．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

3．（2021·淮阳第一高级中学初三期末）已知二次函数是常数)，当时，函数有最大值，则的值为_____．

【答案】或

【解析】

【分析】

由题意，二次函数的对称轴为，且开口向下，则可分为三种情况进行分析，分别求出m的值，即可得到答案.

【详解】

解：∵，

∴对称轴为，且开口向下，

∵当时，函数有最大值，

①当时，抛物线在处取到最大值，

∴，

解得：或（舍去）；

②当时，函数有最大值为1；不符合题意；

③当时，抛物线在处取到最大值，

∴，

解得：或（舍去）；

∴m的值为：或；

故答案为：或.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定对称轴的位置，进行分类讨论.

4．（2019·湖北京山·初三期中）已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当0≤x≤4时，y的取值范围是_____．

【答案】﹣5≤y≤4

【解析】

【分析】

由二次函数解析式可求得对称轴及开口方向，再利用二次函数的增减性可分别求得y的最大值和最小值即可求得答案．

【详解】

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，

∴当x=1时，y有最大值4，

当0≤x≤1时，当x=0时，y有最小值3，

当1≤x≤4时，当x=4时，y有最小值﹣5，

∴当0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，

故答案为y的取值范围是﹣5≤y≤4．

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，由二次函数的增减性求得y的最大值和最小值是解题的关键．

5．（2021·吉林伊通·初三期末）二次函数y＝x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最小值是_____．

【答案】1

【解析】

【分析】

先把解析式配成顶点式得到y＝（x+2）2+1，由于﹣3≤x≤0，根据二次函数性质得x=0时，y值最大；当x=-2时y值最小，然后分别计算对应的函数值

【详解】

解：y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，

当x＝﹣2时，y有最小值1，

∵﹣3≤x≤0，

∴y有最小值1，

故答案为1．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时其最值为抛物线的顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值

熟能生巧

6．（2018·江苏邗江·初三期末）已知二次函数的图像如图所示．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）观察图像，当时，写出的取值范围．

【答案】（1）y＝(x＋1)2－4（2）－4≤y＜0

【解析】

【分析】

（1）根据已知顶点和另一点根据顶点式求解；

（2）先与对称轴进行比较，再代入求解.

【详解】

（1）   设y＝a(x＋h)2－k．

∵图像经过顶点（－1，－4）和点（1，0），

∴y＝a(x＋1)2－4．

将（1，0）代入可得a＝1，

 ∴y＝(x＋1)2－4．      

（2）－4≤y＜0．

【点睛】

本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

7．（2019·湖北江汉·初三期中）已知抛物线.

（1）求这条抛物线与轴的交点的坐标；

（2）当时，直接写出的取值范围；

（3）当时，直接写出的取值范围.

【答案】（1）与轴的交点为，;（2）或；（3）.

【解析】

【分析】

(1)令抛物线解析式的函数值为0，然后解一元二次方程即可.

（2）写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可.

(3) 写出抛物线在上方所对应的函数值的范围即可.

【详解】

（1）令，得：.

解得：，.

∴与轴的交点为：，.

（2）或；

（3）.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数图像与不等式之间的关系，解答的关键在于把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.

8．（2021·商丘市第一中学月考）在二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

（1）当x＝5时，对应的函数值y＝　   　；

（2）当x＝　   　时，y有最小值？最小值是　   　；

（3）求二次函数的解析式；

（4）若A（m，y1）、B（m+1，y2）两点都在该函数图象上，则当m　   　时，y1＞y2；当m　   　时，y1＝y2；当m　   　时，y1＜y2．

【答案】（1）；（2）2，1；（3）；（4）＜，，＞

【解析】

【分析】

（1）由表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等，进而可求对称轴，然后可求解；

（2）由（1）及二次函数的性质可直接求解；

（3）根据题意可设二次函数的解析式为，然后代一个点的坐标求解即可；

（4）根据题意当m=m+1时，则y1＝y2，然后求出m的值，进而根据二次函数的性质进行求解即可．

【详解】

解：（1）∵由表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等，

∴对称轴是直线x＝＝2；

∵x＝5时y＝10，

故答案为10；

（2）抛物线在顶点处取得最小值，故x＝2时，最小值为1，

故答案为2；1；

（3）抛物线的顶点坐标为（2，1），

则抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+1，

将（0，5）代入上式并解得：a＝1，

故抛物线的表达式为y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5；

（4）当y1＝y2时，

即（m+1）2﹣4（m+1）+5＝m2﹣4m+5，解得：m＝，

当m＜时，y1＞y2；当m＝时，y1＝y2；当m＞时，y1＜y2．

故答案为：＜，，＞．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．

9．（2021·江苏铜山·初三期中）已知二次函数y=−x2+2x+3．

(1)求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象；

(2)根据图象，直接写出：

①当函数值y＞0时，自变量x的取值范围；

②当−2<x<2时，函数值y的取值范围．

【答案】（1）(1，4)，见解析；（2）①−1<x<3；②−5<y4．

【解析】

【分析】

（1）将二次函数配方成顶点式后即可确定其顶点坐标；（2）①令y=0，求得抛物线与坐标轴的交点坐标，即可得出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围；②结合函数图像可知，当x=-2时函数值最小，当x=1时函数值最大.

【详解】

(1)∵y=−x+2x+3=−(x−1) +4，

∴函数图象的顶点坐标(1，4)；

函数的图象如图：

(2) ①令y=0，则y=−x+2x+3=0，

解得，，

∴当函数值y＞0时，自变量x的取值范围为−1<x<3；           

②当x=-2时，y=−（-2）+2×（-2）+3=-5，

当x=2时，y=−2+2×2+3=3，

当x=1时，y=4，

∴当−2<x<2时，函数值y的取值范围为−5<y4．

【点睛】

本题考查二次函数的图形和性质，解题时需注意，根据自变量的取值范围求函数值的取值范围时，要结合函数图像，函数值的最大值不一定是自变量的最大值.

10．根据下列二次函数部分图象信息，已知顶点D（1,4），与轴的一交点B．

（1）求二次函数的解析式；

（2）当 时，直接写出的取值范围；

（3）当时，求的最大值与最小值．

【答案】（1）；（2）；（3）最大值为4，最小值为.

【解析】

【分析】

（1）设出抛物线顶点式，代入B点坐标即可求出函数的解析式；

（2）求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，根据函数图象可得答案；

（3）根据对称轴的位置可知，当x=－2时，取最小值，当x=1时，取最大值，分别计算即可.

【详解】

解：（1）设抛物线解析式为：，

代入得：，

解得：，

故二次函数的解析式为：；

（2）∵抛物线的对称轴为x=1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），

∴与x轴的另一个交点坐标为（－1，0），

由函数图象可得，当 时，的取值范围为：；

（3）∵抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，4），

∴在的范围内，当x=－2时，取最小值，最小值为，

当x=1时，取最大值，最大值为4.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性以及图象法解不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键.

庖丁解牛

11．（2021·吉林长春·一模）已知函数，（为常数）．

（1）当时，

①求此函数图象与轴交点坐标．

②当函数的值随的增大而增大时，自变量的取值范围为________．

（2）若已知函数经过点（1，5），求的值，并直接写出当时函数的取值范围．

（3）要使已知函数的取值范围内同时含有和这四个值，直接写出的取值范围．

【答案】（1）①（0,3）；②x≤或x≥1 ；（2）或8≤y＜20；（3）≤k＜或k≥2．

【解析】

【分析】

（1）①将代入函数关系式得，再将x＝0代入即可求得与y轴的交点坐标；

②先将两个二次函数关系式分别配成顶点式，再根据开口方向、对称轴及自变量的取值范围即可判断得解；

（2）将（1,5）分别代入两个函数关系式求得k的值，再逐个检验，进而可求得正确的函数关系式，再根据x的取值范围确定y的取值范围即可；

（3）分类讨论，当k≤0时，当0＜k＜2时，当k≥2时，画出相应的函数图像，讨论图像中的特殊点的坐标即可求得k的取值范围．

【详解】

（1）当时，

①∵，

 ∴把x＝0代入得．

∴此函数图象与y轴交点坐标为（0,3）．

②当x≤时，

配方得

∵a＝－1＜0，对称轴为直线x＝－1，

∴当x≤－1，y随x的增大而增大，符合题意，

当x＞时，，

配方得，

∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝1，

∴当x≥1时，y随x的增大而增大，符合题意，

综上所述：当函数的值随的增大而增大时，自变量的取值范围为x≤或x≥1；

（2）当k≥1时，

把（1,5）代入，得，

解得无实根．

当k＜1时，

把（1,5）代入，得，

解得（不合题意，舍去），．

∴．

∴

当x＝－2时，将x＝－2代入

得：y＝－4，

当－2＜x≤0时，

配方得

∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝2，

∴当－2＜x≤0时，8≤y＜20，

综上所述：当－2≤x≤0时，y的取值范围为或8≤y＜20．

（3）由题意可知，

当k≤0时，函数图像如图所示，

则的最大值2k≥－2即可，

解得k≥－1，

∴－1≤k≤0，

当0＜k＜2时，的最大值2k＜4

则当x＞k时，的最小值＜4即可，

将x＝k，y＝4代入得

解得（舍去），

∴0＜k＜，

当k≥2时，的最大值2k≥4，

如图，此时在左边的图像上的最大值不小于4，符合题意，

∴k≥2，

综上所述：≤k＜或k≥2．

【点睛】

本题考查了二次函数图像的性质，待定系数法的应用，以及用图像法求对应的自变量的取值范围或函数值的取值范围，解决本题的关键是能够画出相应的函数图像，结合函数图像的性质进行解题．本题是二次函数的综合题，属于中考压轴题，有一定的难度．