专训三十、二次函数实际应用：面积最值-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训三十、二次函数实际应用：面积最值

牛刀小试

1．（2021·北京大峪中学月考）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为16米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面积为S平方米．

（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？花圃的面积是多少？

【答案】（1）S=-2x2+16x(0<x<)，（2）AB=4米，花圃的面积最大．

【解析】

【分析】

（1）因为AB=x米，所以BC为（16-2x）米，由长方形的面积列式即可；

（2）将（1）中的二次函数进行配方即可化为顶点式．y=a（x-h）2+k，因为a=-2＜0抛物线开口向下，函数有最大值，即当x=h时，取得最大值．

【详解】

（1）∵四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，

∴CD=AB=x（米），

∵矩形除AD边外的三边总长为16米，

∴BC=16-2x（米），

∴S=x（16-2x）=-2x2+16x．

由0＜x＜16-2x可得0＜x＜．

自变量x的取值范围是0＜x＜．

（2）∵S=-2x2+16x=-2（x-4）2+32，且x=4在0＜x＜的范围内，

∴当x=4时，S取最大值．

即AB边的长为4米时，花圃的面积最大．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用中求最值的问题．当a＞0时函数有最小值；当a＜0时函数有最大值．求最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．

2．（2019·山东诸城·三模）某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：m.）现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.

（1）求y与x的函数表达式；

（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；

（3）若要求 0.5≤ x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.

【答案】（1）y= x2-14x+48(0<x<6)；（2）1；（3）改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为41.25m2．

【解析】

【分析】

(1)、利用三角形的面积计算公式得出y与x的函数关系式；

(2)、将y=35代入函数解析式求出x的值；

(3)、利用配方法将函数配成顶点式，然后根据函数的增减性得出最值．

【详解】

解：(1)y＝（8－x）（6－x）＝x2－14x＋48．

(2)由题意，得  x2－14x＋48＝6×8－13， 解得：x1＝1，x2＝13（舍去）． 所以x＝1．

(3)y＝x2－14x＋48＝（x－7）2－1．

因为a＝1＞0，所以函数图像开口向上，当x＜7时，y随x的增大而减小．

所以当x＝0.5时，y最大．最大值为41.25．

答：改造后油菜花地所占面积的最大值为41.25 m2．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的实际应用问题，属于中等难度题型．根据题意列出函数解析式是解决这个问题的关键．

3．（2021·杭州市保俶塔实验学校月考）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙（墙长15m）的矩形菜园ABCD．设垂直于墙的一边AD长为x（单位∶m）．

（1）求菜园的面积y（单位：m2）与x的函数表达式；

（2）求出自变量x的取值范围．

【答案】（1）y=x（30-2x）；（2）≤x＜15

【解析】

【分析】

（1）根据矩形的面积=长×宽，计算即可．

（2）根据墙的长度可得不等式组，解之即可．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=x，AB=30-2x，
∴y=x（30-2x）；

（2）∵墙长15m，
则0＜30-2x≤15，
∴≤x＜15．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，一元一次不等式组，矩形的面积公式、解题的关键是掌握矩形面积的算法，列出表达式，属于中考常考题型．

4．（2021·乐清市英华学校月考）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长方形空地上修建一个长方形花圃．已知AB=20m，BC=30m，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米，花圃的面积为（）．

（1）求关于的函数关系式；

（2）如果通道所占面积是184，求出此时通道的宽的值；

（3）已知某园林公司修建通道每平方米的造价为40元，花圃每平方米的造价是60元，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过花圃宽的，则通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？

【答案】（1）；（2）2；（3）通道宽为4米时，修建通道和花圃的总造价最低为29280元．

【解析】

【分析】

（1）根据所给出的图形和矩形的面积公式进行计算即可；
（2）根据整个的面积减去通道的面积等于花圃的面积列出方程，求出x的值，即可得出答案．

（3）设修建通道和花圃的总造价为P元，根据花圃和通道每平方米的造价可得，化简得，再根据通道宽不少于2米且不超过花圃宽的列出不等式求出x的取值范围，根据二次函数的图像性质即可求解．

【详解】

(1) 由图可知,花圃的面积为：

(2)由题意可列方程： ，

解之得：，（不合题意，舍去），

∴道路的宽为2米

(3) 设修建通道和花圃的总造价为P元，得

∵

∴

∵80＞0，

∴当时，P随x的增大而减小，

∴当，P最小=29280

所以通道宽为2米时，修建通道和花圃的总造价最低为29280元．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，重点是要找等量关系列方程，熟练掌握二次函数与一元二次方程间的关系为解题关键．

5．（2021·东莞市石碣中学月考）公园原有一块矩形的空地，其长和宽分别为120米，80米，后来公园管理处从这块空地中间划出一块小矩形，建造一个矩形小花园，并使小花园四周的宽度都相等（四周宽度最多不超过30米）．

（1）当矩形小花园的面积为3200平方米时，求小花园四周的宽度．

（2）若建造小花园每平方米需资金100元，为了建造此小花园，管理处最少要准备多少资金？此时小花园四周的宽度是多少？

【答案】（1）20m；（2）为了建造此小花园，管理处最少要准备120000元，此时小花园四周的宽度是30m．

【解析】

【分析】

（1）设小花园四周的宽度为xm，由于小花园四周小路的宽度相等，可列方程求解；

（2）设投入资金为y元，然后根据（1）可得小花园的宽度与投入资金的函数关系式，进而根据二次函数的性质进行求解即可．

【详解】

解：（1）设小花园四周的宽度为xm，由于小花园四周小路的宽度相等，

则根据题意，可得（120﹣2x）（80﹣2x）＝3200，

即x2﹣100x+1600＝0，

解之得x＝20或x＝80．

由于四周宽度最多不超过30米，故舍去x＝80．

∴x＝20m．

答：小花园四周宽度为20m．

（2）设投入资金为y元，根据题意得：

，则对称轴为直线x=50，

∵四周宽度最多不超过30米，

∴y随x的增大而减小，

∴当矩形四周的宽度最大的时，小花园面积最小，从而投入的建造资金最少，即当x=30时，

此时最少资金为100（120﹣2x）（80﹣2x）＝100×（120﹣2×30）×（80﹣2×30）＝120000（元）．

答：为了建造此小花园，管理处最少要准备120000元，此时小花园四周的宽度是30m．

【点睛】

本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．

熟能生巧

6．（2021·广东荔湾·期末）学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米．

（1）求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

【答案】（1）y＝﹣2x2+30x；6≤x＜15；（2）当x＝7.5时，y的最大值是112.5．

【解析】

【分析】

（1）利用矩形的面积公式，列出面积y关于x的函数解析式，即可求解；

（2）根据自变量的取值范围和函数的对称性确定函数的最大值即可．

【详解】

解：（1）由题意可得，y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，

即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+30x；

∵墙的长度为18，

∴0＜30﹣2x≤18，

解得，6≤x＜15，

即x的取值范围是6≤x＜15；

（2）由（1）知，y＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+，

而6≤x＜15，

∴当x＝7.5时，y取得最大值，此时y＝112.5，

即当x＝7.5时，y的最大值是112.5．

【点睛】

本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到函数关系式，然后利用二次函数的性质进行求解即可．

7．（2021·福建省惠安荷山中学月考）如图1，用篱笆靠墙围成矩形花围ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．

(1)若围成的花圃面积为40米2时，求BC的长；

(2)如图2若计划在花圃中间用一道隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50米2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长？如果不能，请说明理由．

【答案】(1) BC的长为4米；(2) 不能围成，理由见解析.

【解析】

【分析】

(1）由于篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为x m，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出BC的长；
（2）不能围成花圃；设BC的长为y米，则AB的长为米,，此方程的判别式△=（-24）2-4×150＜0，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃；

【详解】

(1)设BC的长度为x米，则AB的长度为米，

根据题意得：x•=40，

整理得：x2﹣24x+80=0，

解得：x1=4，x2=20．

∵20＞15，

∴x2=20舍去．

答：BC的长为4米．

(2)不能围成，理由如下：

设BC的长为y米，则AB的长为米，

根据题意得：y• =50，

整理得：y2﹣24y+150=0．

∵△=（﹣24）2﹣4×1×150=﹣24＜0，

∴该方程无实数根，

∴不能围成面积为50米2的花圃．

【点睛】

本题考查的知识点是一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题关键是解题时首先要正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．

8．（2021·湖北利川·初三学业考试）如图，在美化校园的活动中，数学兴趣小组用16m长的篱笆，一边靠墙围成一个矩形花园ABCD，墙长为6m，设ABm．

（1）若花园的面积为14，求的值；

（2）花园的面积能否为40？为什么？

（3）若要求花园的面积大于24，求的取值范围．

【答案】（1）2；（2）花园的面积不能为40，理由详见解析；（3）4<≤6．

【解析】

【分析】

（1）根据矩形的面积公式列出方程求解即可；

（2）根据矩形的面积计算公式列出连长与面积的二次函数关系式，计算出最大值，与40比较即可；

（3）先确定矩形面积等于24时，x的取值，再确定花园的面积大于24时的取值范围．

【详解】

（1）由题意列方程：，

解得14，2，

由于14>6不合题意，所以=2．

（2）设花园的面积为，依题意有：

，即，

的最大值=32，

∴花园的面积不能为40．

（3）由（2）知，

当=24时，有，解得12，4，

∵花园的面积大于24，∴4<<12，

又∵墙长为6m，∴0<≤6，

∴的取值范围是4<≤6．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．

9．（2021·温州市第二十三中学初三月考）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙(图中的阴影阴影部分就是墙，墙的最大可利用长度为9米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．

（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）当x为多少时，围成的花圃面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1）；（2）当x=5时，围成面积最大，最大面积45

【解析】

【分析】

（1）根据题意表示出长和宽，计算即可；

（2）根据二次函数最大值的计算方法计算即可；

【详解】

（1）∵花圃的宽AB为x米，篱笆长为24米，

∴，

，

∵墙的最大可利用长度为9米，

∴，

∴；

（2）由（1）可知，，

当x=5时，最大面积45．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．

10．（2021·兰溪市实验中学月考）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为（米2）．

       图（1）                        图（2）                      图（3）      

（1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围．

（2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽米，门不采用计划中的材料．

①求总占地面积最大为多少米2？

②如图3所示，离墙米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积尽量大，饲养室的门口与小路的间隔为多少米？

【答案】（1），；（2）①当米时，有最大值，最大值为米2，②饲养室的门口与小路的间隔为米．

【解析】

【分析】

（1）根据题意得出函数解析式，求出自变量取值范围即可；

（2）①画二次函数解析式为顶点式，即可求解；②由题意可知，解得，再根据①的结论求解即可；

【详解】

（1）由题意可知．

，

自变量的取值范围为．

（2）①由题意可知

当米时，有最大值，最大值为．

②由题意可知，解得，

由①可知米时，饲养室面积最大，且满足，

当时，，

饲养室的门口与小路的间隔为米．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的综合应用，准确计算是解题的关键．

庖丁解牛

11．（2021·无锡市大桥实验学校初三月考）结合湖州创建文明城市要求，某小区业主委员会觉定把一块长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的直角三角形)，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m，预计活动区造价60元/m2，绿化区造价50元/m2，设绿化区域较长直角边为xm.

(1)用含x的代数式表示出口的宽度.

(2)求工程造价y与x的函数表达式，并直接写出x的取值范围.

(3)如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的方案有多少种；若不能，请说明理由.

(4)业主委员会决定在(3)设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在完成了工作量的后，施工方进行了技术改进，每天的绿化面积是原计划的两倍，结果提前4天完成四个区域的绿化任务.问：原计划每天绿化多少平方米？

【答案】(1)80-2x；(2)y=-20x2+200x+288000，（18≤x≤22）；(3)能，有3种；(4)

【解析】

【分析】

（1）根据图形可得结论；

（2）根据面积×造价可得绿化区和活动区的费用，相加可得y与x的关系式，根据所有长度都是非负数列不等式组可得x的取值范围；

（3）业主委员会投资28.4万元，列不等式，结合二次函数的增减性可得结论；

（4）先计算设计的方案中，最省钱的一种方案为x=20时，计算绿化面积，根据题意列分式方程可得结论，注意方程要检验．

【详解】

(1)由题意得BC=EF=80-2x

(2) AB=CD=x-10

= -20x2+200x+288000，（18≤x≤22）

(3)令y=-20x2+200x+288000≤284000

∵18≤x≤22

∴20≤x≤22

∵x为整数

∴能否完成全部工程，x为整数的方案有3种

(4)设原计划每天绿化a平方米

∵y=-20x2+200x+288000

∴对称轴x=50

∴x=20时最省钱

，解得a=

∴原计划每天绿化平方米

【点睛】

本题是有关几何图形的应用问题，考查了一元一次不等式、分式方程、二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题．