专训三十六：二次函数与几何综合：直角三角形存在性判定-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

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计算力专训三十六：二次函数与几何综合：直角三角形存在性判定

牛刀小试
1．（2021·河南初三月考）在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知抛物线与y轴交于点A，它的顶点为B，连接，则称为抛物线的伴生三角形，直线为抛物线的伴生直线．

（1）如图1，求抛物线的伴生直线的解析式．
（2）已知抛物线的伴生直线为，求k的值．
（3）如图2，若抛物线的伴生直线是，且伴生三角形是直角三角形，求此抛物线的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【解析】
【分析】
（1）求出抛物线与y轴的交点坐标和顶点坐标，然后利用待定系数法即可求出结论；
（2）求出伴生直线与y轴的交点坐标，然后代入抛物线解析式中即可求出结论；
（3）先求出伴生直线与y轴的交点坐标，从而求出OA的长，然后根据点B的位置分类讨论，分别求出点B的坐标即可求出m和n的值，再将点A的坐标分别代入即可求出结论．
【详解】
解：（1）∵在中，当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
顶点坐标为．
设伴生直线的解析式为，
则，
解得，
∴抛物线的伴生直线的解析式为．
（2）∵伴生直线与y轴的交点为，
∴抛物线与y轴的交点为．
把点代入抛物线中，
得．
（3）∵伴生直线与y轴的交点A为，
∴．
∵伴生三角形是直角三角形，
满足条件的点B有两个．
①B点在x轴上时，，则B点为，
∴．
将点代入中，得，
∴抛物线的解析式为．
②B点在直线上，且，如图，

过点B分别作轴，轴，
易得，
∴点B的坐标为，
∴抛物线的解析式可表示为．
将点代入中，
得，
∴抛物线的解析式为．
综上所述，抛物线的解析式为或．
【点睛】
此题考查的是二次函数、一次函数和几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式和抛物线的伴生三角形、抛物线的伴生直线是解题关键．
2．（2021·重庆南开中学初三月考）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，D是抛物线的顶点，连接，，

（1）求点D的坐标及直线的解析式；
（2）点P是直线上方抛物线上的一点，E为上一动点，延长交轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）直线BC的解析式为，D的坐标为（1,2）；（2）Q点坐标为（1, ）或（1, ）．
【解析】
【分析】
（1）先通过解析式求出B、C的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，将函数解析式配成顶点式即可求出点D的坐标；
（2）由（2）可知F点坐标为（,0），设Q点坐标为（1, ），就各个角分别是直角时进行讨论即可．
【详解】
解：（1）在抛物线上，
当时，，解得，，
∴点A的坐标为（-1,0），点B的坐标为（3,0），
当时，，
∴点C的坐标为（0, ），
设直线BC的解析式为，
将C（0, ）、B（3,0）代入得
解得，
∴直线BC的解析式为，
又∵，
∴点D的坐标为（1,2）；
（2）由（2）可知F点坐标为（,0），
设Q点坐标为（1, ），
∴，
，
，
若∠QPF为直角，则，
∴，
解得，
∴Q点坐标为（1, ），
若∠FQP为直角，则，
∴，
此时方程无解，
若∠QFP为直角，则，
∴，
解得，
∴Q点坐标为（1, ），
综上Q点坐标为（1, ）或（1, ）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，题目相对比较综合，正确的作出辅助线并设出点的坐标是解题的关键．
3．（2021·河北张家口·初三二模）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.
【解析】
分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
（2）存在四种情况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，

由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM=PN，
∵P（m，m2-4m+3），
则-m2+4m-3=2-m，
解得：m=或，
∴P的坐标为（，）或（，）；
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
则-m2+4m-3=m-2，
解得：x=或；
P的坐标为（，）或（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
4．（2021·保定市第二十一中学期末）已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点是线段上方抛物线上的一个动点，连结、．设点的横坐标为．
①过点作轴的垂线，交线段于点，再过点做轴交抛物线于点，连结，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①点P的坐标为（4,6）或（，）．
【解析】
【分析】
（1）由 ，则-12a=6，求得a即可；
（2）①△PDE为等腰直角三角形，则PE=PD，然后再确定函数的对称轴、E点的横坐标，进一步可得|PE|=2m-4，即求得m即可确定P的坐标．
【详解】
解：（1）由抛物线的表达式可化为，
则-12a=6，解得：a=，
故抛物线的表达式为：；
（2）①∵△PDE为等腰直角三角形，
∴PE=PD，
∵点，函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m，
则|PE|=2m-4，
即，
解得：m=4或-2或或（舍去-2和）
当m=4时，=6；
当m=时，=．
故点P的坐标为（4,6）或（，）．
【点睛】
本题属于二次函数综合应用题，主要考查了一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等知识点，掌握并灵活应用所学知识是解答本题的关键．
5．（2021·黑龙江讷河·初三月考）如图，抛物线与轴交于， 两点，点在点 的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2＋2x－6；（2）存在， M的坐标是（－2，4）或（－2，－8）或（－2，－3＋）或（－2，－3－）．
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入即可求出解析式；
（2）根据OA＝OC，得到∠OAC＝∠OCA＝45°，再分三种情况：①当∠CAM＝90°时，②当∠ACM＝90°时，③当∠AMC＝90°时，分别求出答案.
【详解】
（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入得a（－6＋2）2－8＝0，解得a＝，
∴y＝（x＋2）2－8＝x2＋2x－6；
（2）存在，抛物线的对称轴是直线x＝－2，设M（－2，t）．
直线x＝－2交x轴于H，
在Rt△AOC中，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.
①当∠CAM＝90°时，如图1，∠MAO＝90°－∠OAC＝45°，
∴AH＝MH＝4，
∴M（－2，4）；
②当∠ACM＝90°时，如图2，过点M作MG⊥y轴于G，
则∠MCG＝180°－∠ACM－∠ACO＝45°，
∴MG＝CG＝2，
∴OG＝OC＋CG＝8，
∴M（－2，－8）；
③当∠AMC＝90°时，如图3，
设M（-2，t），
∵AM2＋CM2＝AC2，
∴（－2＋6）2＋t2＋（－2）2＋（t＋6）2＝72，解得t＝－3±，
∴M（－2，－3＋）或（－2，－3－），
∴综上所述，M的坐标是（－2，4）或（－2，－8）或（－2，－3＋）或（－2，－3－）.

【点睛】
此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，函数与几何图形面积问题，勾股定理，直角三角形与函数图象的结合问题，正确理解题意根据题意画出图形解答是关键.
熟能生巧
6．（2021·河南初三一模）已知抛物线与轴交于点和点，与直线交于点和点，为抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标．
（2）若点为直线上一点，作点关于轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1），点的坐标为；（2）点的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）先由直线解析式求出B点坐标，再把A，B坐标代入抛物线解析式中，求出a,c的值，从而求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化成顶点式，求出顶点坐标即可；
（2）由题意，知，．设点的坐标为，分别求出，，，在分类讨论①当时，，②当时，，求出t，即可求出F的坐标.
【详解】
解：（1）∵直线，
令y=0，解得x=3，
∴，
将点，代入抛物线中，
得，解得
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴点的坐标为；
（2）由题意，知，．设点的坐标为，
则，，，
由题，易知，则当是直角三角形时，需分以下两种情况进行讨论，
①当时，，
即，解得，
∴点的坐标为；
②当时，，
即，解得（与点重合，故舍去）或，
∴点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】
本题是对二次函数的综合考查，熟练掌握二次函数解析式和图像性质是解决本题的关键，属于中考压轴题，难度较大.
7．（2021·浙江省鄞州区宋诏桥中学初三一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k的关联直线．
（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；
（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．

【答案】（1）y＝x+3﹣10＝x﹣7；（2）y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1；（3）a=1或a=.
【解析】
【分析】
（1）先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据关联直线的定义即可得出答案；
（2）由题意可得a=2，c=3，设抛物线的顶点式为y=2（x-m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；
（3）由题意可得A（1，4a），B（2，3a），C（-1，0），可求AB2=1+a2，BC2=9+9a2，AC2=4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值．
【详解】
解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10，
∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，
∴a＝2，c＝3，
可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，
则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，
∴，
解得或，
∴抛物线解析式为y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1；
（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），
∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，
显然AB2＜BC2 且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边，
当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，
当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得a=，
∵抛物线的顶点在第一象限，
∴a＞0，即a=1或a=.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了直角三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，理解坐标与图象性质，记住两点间的距离公式，注意分情况讨论思想的应用．
8．（2021·哈尔滨市第六十九中学校初三月考）如图，已知二次函数与x轴交与A，B两点，与y轴交于C点，连AC，tan∠OAC＝3，OC＝OB．
（1）求二次函数解析式；
（2）直线l经过B，C两点，如图，P是直线BC下方抛物线上一点，横坐标为t，为直角三角形，并且∠BPC＝90°时，求P点坐标．

【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据所给解析式可求出点C的坐标，得到OC的长，则OB的长也知道了，得到点B的坐标，再根据，求出OA的长，得到点A的坐标，将点A和点B的坐标代入解析式，求出系数a和b，得到解析式
（2）过点P作x轴的平行线，交y轴于点M，再过点B作y轴的平行线，交直线PM于点N，设，再表示出M和N的坐标，用t表示出CM、MP、PN、NB的长，再证明，利用相似三角形对应边成比例列式求出t的值，得到点P坐标．
【详解】
解：（1）令，则，
∴，
∴，则，
∵，
∴，即，则，
将点A和点B的坐标代入解析式，得，解得，
∴二次函数解析式为：；
（2）如图，，过点P作x轴的平行线，交y轴于点M，再过点B作y轴的平行线，交直线PM于点N，

设，则，，
，
，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则，转换得，
整理得，解得，（舍去），
当时，，
∴．
【点睛】
本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握二次函数解析式的求法，平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，以及利用数形结合的思想，根据相似三角形的性质求点坐标的方法．
9．（2019·佛山市顺德区凤城实验学校初三月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）直接写出抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式：；直线AC的解析式：；（2）存在，符合条件的点P的坐标为或；
【解析】
【分析】
（1）设交点式，展开得到，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标；
【详解】
（1）设抛物线解析式为，
即，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
当时，，则C（0，3），
设直线AC的解析式为，
把A（-1，0）代入得：，
解得，
∴直线AC的解析式为；
（2）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为，
∴直线PC的解析式可设为，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为，
解方程组，
得：或，
则此时P点坐标为(，)；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线AP的解析式可设为，
把A（-1，0）代入得：，
解得：，
∴直线AP的解析式为，
解方程组，
得：或，
则此时P点坐标为(，)，
综上所述，符合条件的点P的坐标为(，)或(，)；
【点睛】
本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；相似三角形的判定和性质；用分类讨论的思想解决数学问题．
10．（2019·江苏镇江·）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A（1,1），B两点，与轴交于点C，直线与轴交于点D．
（1）求抛物线的对称轴和点C的坐标；
（2）若在轴上有且只有一点P，使∠APB=90°，求的值；


【答案】（1）对称轴是x=2.5 ， C的坐标为（0,5）；（2）k=；
【解析】
【分析】
（1）根据对称轴公式即可求出对称轴，根据常数项可得C点坐标；
（2）过点A作AK⊥x轴于点K，过B作BR⊥x轴于点R，设B（p，q），通过△AKP∽△PRB得到q=²，然后根据q=p²-5p+5可解得p1=2（舍去），p2=4，然后用待定系数法可求出k的值；
【详解】
解：（1）对称轴是x=2.5
C的坐标为（0,5）
（2）∵在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90º，
∴以AB为直径的圆与x轴相切，取AB中点Q，作QP⊥x轴，垂足为P，
过点A作AK⊥x轴于点K，过B作BR⊥x轴于点R，构造“三垂直模型”
设B（p，q），则Q（，），
P（，0），K（1，0），R（p，0），
△AKP∽△PRB，AK∶RP=KP∶BR，
∴ 1∶（p-）=(-1)∶q，
化简，得：q=²，
∴2= p²-5p+5，
解得：p1=2，p2=4；
当p=2时，q=＜1，k＜0，与题中条件k＞0矛盾，
∴B（4，），代入直线l解析式：
4k+m=；
又直线l过A（1，1），
∴k+m=1，
联立方程组，解得：k=;

【点睛】
本题综合考查了二次函数与一次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质以及圆切线的性质，涉及知识点较多，综合性较强，正确理解题意，利用数形结合的思想思考问题是解题关键.
庖丁解牛
11．（2021·辽宁铁东·初三月考）如图所示，抛物线y1＝﹣x2与直线y2＝﹣x﹣交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图象回答：
①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取何值时，y1＜y2？
（3）求△AOB的面积．
（4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（5）抛物线上找一点Q，使得△ABQ是直角三角形，请直接写出Q点横坐标

【答案】（1）A（﹣，﹣），B（3，﹣9）；（2）①当x＜0时，y1的值随x的增大而增大，②当x＞3或x＜﹣时，y1＜y2；（3）；（4）(-3，0)，(，0），（，0），（，0）；（5）(，)，(，)．
【解析】
【分析】
（1）令，即可得到关于x的一元二次方程，解方程得到x的值后再代入抛物线解析式可以得到A、B两点的坐标；
（2）分别根据抛物线的图象与抛物线与直线的相对关系可以得到解答；
（3）运用割补法将三角形补成一个直角梯形，进行解答即可；
(4)分OA=OP、AP=OP、AP=OA三种情况讨论；
（5）分角Q为直角、角A为直角、角B为直角三种情况讨论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2与直线y2＝﹣x﹣交于A，B两点．
∴﹣x2＝﹣x﹣，解得x1＝3，x2＝﹣，
∴y1＝﹣9，y2＝﹣，
∴A（﹣，﹣），B（3，﹣9），
（2）由图象得，①当x＜0时，y1的值随x的增大而增大，②当x＞3或x＜﹣时，y1＜y2．
（3）由知，
（4）设P（x,0)，则有：
当OA=OP时，有：
当AP=OP时，有：
当AP=OA时，有：x=0(舍去）或x=-3；
∴在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形，其中点P的坐标为：
(-3，0)或(，0）或（，0）或（，0）．
（5）设Q坐标为（x,- x2 )，则分三种情况讨论：
当角Q为直角时，可作图如下：

则不难得到,
可解得x=或x=；
当角A为直角时，可作图如下：

则不难得到,可解得x=；
当角B为直角时，可作图如下：

则不难得到，可解得x=．
∴使得△ABQ是直角三角形的Q点横坐标为：
x=或x=或x=或x=．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，一次函数与二次函数的交点问题，两个函数联立方程是解决问题的关键．