专训三十一、二次函数实际应用：实际问题建模-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训三十一、二次函数实际应用：实际问题建模

牛刀小试

1．（2021·迁安市杨店子镇初级中学初三月考）一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是(　 　)

A．1米 B．5米 C．6米 D．7米

【答案】C

【解析】

试题解析：∵高度h和飞行时间t 满足函数关系式：h=-5（t-1）2+6，

∴当t=1时，小球距离地面高度最大，

∴h=-5×（1-1）2+6=6米，

故选C．

考点：二次函数的应用．

2．（2019·涡阳县王元中学月考）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管QA喷出，0A长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到0的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y＝ax2＋x＋c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（     ）

A．1米 B．米 C．2米 D．米

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得，抛物线经过和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线解析式化为顶点式，即可求出结果；

【详解】

由题意可得，抛物线经过和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：

，

解得：，

∴函数表达式，

∵，故函数有最大值，

∴当时，y取最大值，此时．

故答案选C．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．

3．（2021·乐陵市实验中学初三月考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　)

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米

【答案】A

【解析】

）∵y=－x2＋4x=，

∴当x=2时，y有最大值4，

∴最大高度为4m

4．（2021·海门市包场初级中学月考）图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽为4m．如果水面宽度为6m，则水面下降 (　 　)

A．3.5  B．3 C．2.5 D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求出解析式，再根据水面宽度为6m时，求出当x=3时，对应y值即可解答．

【详解】

解：设此函数解析式为：，；

那么应在此函数解析式上．

则

即得，

那么．

当x=3时，

∴水面下降(-2)-(-4.5)=2.5（米）

故选：C.

【点睛】

根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．

5．（2021·浙江省鄞州区宋诏桥中学一模）一名男生推铅球，铅球的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系为，铅球行进路线如图．

（1）求出手点离地面的高度．

（2）求铅球推出的水平距离．

（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4．

【答案】（1）米；（2）铅球推出的水平距离为10米；（3）铅球的行进高度不能达到4米

【解析】

【分析】

(1)x=0得；

(2)令y=0得： ，解方程，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离;

(3)把y=4代入，得，化简得，方程无解，即可求解.

【详解】

(1)把x=0代入得：

；

答：出手点离地面的高度米                                           

（2），

解得

∴铅球推出的水平距离为10米．                     

（3）把y=4代入，得，化简得，方程无解，

∴铅球的行进高度不能达到4米．

【点睛】

本题主要考查二次函数解决实际问题,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的基础知识.

熟能生巧

6．（2021·湖州市第四中学教育集团月考）如图，将小球沿某方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．

（1）求小球飞出1s时的飞行高度；

（2）求小球从飞出到落地要用的时间．

【答案】（1）15m；（2）4s

【解析】

【分析】

(1)将t=1代入函数关系式即可求解；

(2)将h=0代入函数关系式即可求解．

【详解】

解：(1)当t＝1时，即h＝20×1﹣5×1＝15m．

答：小球飞行3s时的高度是15m；

(2)令h＝20t﹣5t2＝0

解得t1＝0（舍去），t2＝4

∴小球从飞出到落地要用4s．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数和一元二次方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键．

7．（2021·辽宁大石桥·月考）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．

（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；

（2）求水管AB的长．

【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；（2）2.25m

【解析】

【分析】

（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x−1）2＋3，将（3，0）代入求得a值；

（2）由题意可得，x＝0时得到的y值即为水管的长．

【详解】

解：（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．

由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，

则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，

代入（3，0）求得：a＝﹣（x﹣1）2+3．

将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；

（2）令x＝0，则y＝＝2.25．

故水管AB的长为2.25m．

【点睛】

本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．

8．（2021·四川江油·初三月考）如图是某公园一喷水池(示意图)，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25．

(1)求喷出的水流离地面的最大高度；

(2)求喷嘴离地面的高度；

(3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？

【答案】（1）喷出的水流离地面的最大高度为2.25m；（2）水池半径至少为2.5m时，才能使喷出的水流不落在水池．

【解析】

【分析】

（1）直接利用二次函数解析式得出水流离地面的最大高度；

（2）利用x=0求出y的值即可；

（3）利用y=0求出x的值，进而得出答案．

【详解】

解：（1）∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y=-（x-1）2+2.25,

∴喷出的水流离地面的最大高度为：2.25m;

（2）当x=0，则y=-（0-1）2+2.25=1.25（m）,

答:喷嘴离地面的高度为1.25m;

（3）由题意可得:y=0时，0=-（x-1）2+2.25,

解得:x1=-0.5（舍去），,x2=2.5，

答:水池半径至少为2.5m时,才能使喷出的水流不落在水池外．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用,根据题意得出x=0以及y=0的意义是解题关键．

9．（2021·安徽瑶海·合肥38中初三月考）有一座抛物线拱形桥，在正常水位时，水面BC的宽为8米，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x轴，建立直角坐标xOy．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）如果水面BC上升3米（即OA=3）至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长．

【答案】（1）；（2）EF=4m

【解析】

【分析】

（1）直接设出二次函数解析式进而得出答案；

（2）根据题意得出y＝3进而求出x的值，即可得出答案．

【详解】

（1）设抛物线解析式为：y＝ax2＋c，

由题意可得图象经过（4，0），（0，4），

则，

解得：a＝，

故抛物线解析为：y＝x2＋4；

（2）由题意可得：y＝3时，

3＝x2＋4，解得：x＝±2，

故EF＝4，

答：水面宽度EF的长为4m．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．

10．（2021·山东省陵城区江山实验学校初三月考）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，聪明的小明根据题意，建立如图所示平面直角坐标系，请你帮助小明解决问题？

（1）求抛物线的解析式．

（2）求DE的长．

【答案】（1）y＝－x2＋16；（2）48

【解析】

【分析】

（1）先求出点C的坐标，再利用点B的坐标计算即可；

（2）求出二次函数与x轴的两个交点，即可得到结果；

【详解】

解：（1）∵AB＝36，

∴AH＝BH＝18，B（18，7）

由题可知：OH＝7，CH＝9，

∴OC＝9＋7＝16，

设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k，

∵顶点C(0，16)，

∴抛物线y＝ax2＋16，

代入点B (18，7)

∴7＝18×18a＋16，

解得：a＝－，

∴抛物线：y＝－x2＋16，

（2）当y＝0时，0＝－x2＋16，

解得：x＝±24，

∴E(24，0)，D(－24，0)，

∴OE＝OD＝24，

∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．

庖丁解牛

11．（2021·北大附属嘉兴实验学校初三月考）初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？

（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

【答案】（1）y=−(x−4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功．

【解析】

【分析】

（1）根据题意可知：抛物线经过（0，），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，）代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可；

（2）当时，求出此时的函数值，再与3.1m比较大小即可判断.

【详解】

解：由题意可知，抛物线经过（0，），顶点坐标是（4，4）．

设抛物线的解析式是，

将（0，）代入，得

解得，

所以抛物线的解析式是；

篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得，

∴这个点在抛物线上，

∴能够投中

答：能够投中．                           

（2）当时，<3.1，

所以能够盖帽拦截成功.

答：能够盖帽拦截成功.

【点睛】

此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.