专训19 一元二次方程的应用：动点问题-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

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计算力专训十九、一元二次方程的应用：动点问题 牛刀小试1．（2021·重庆）如图，在中，，，，点P从点A开始沿AC 边向点C以的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动，当的面积等于运动时间为　　A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．【详解】由题意得：AP=2t，CQ=3t，∴PC=50﹣2t，∴•PC•CQ=300，∴•（50﹣2t）•3t=300，解得：t=20或5，∴t=20s或5s时，△PCQ的面积为300m2．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．2．（2021·全国课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（    ）A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟【答案】B【解析】【详解】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得：×（8﹣t）×2t=15，解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．故当动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故选B．【点睛】此题考查借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．3．（2021·淮南市龙湖中学月考）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，PQ的长度等于cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．【答案】（1）1秒或秒；（2）3秒；（3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）令S△PQB=7，根据三角形的面积公式列出方程，再根据b2-4ac得出原方程没有实数根，从而得出△PQB的面积不能等于7cm2．【详解】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得，整理得：x2-5x+4=0，
解得：x=1或x=4（舍去）；或，解得：x=，答：1秒或秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）PQ=，则PQ2=BP2+BQ2，即40=（5-t）2+（2t）2，
解得：t=-1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为cm；（3）令S△PQB=7，即BP×=7，（5-t）×=7，
整理得：t2-5t+7=0，
由于b2-4ac=25-28=-7＜0，
则原方程没有实数根；
或Q到C了，P还在运动，（5-t）×7÷2=7，
解得t=3（舍去）．
所以在（1）中，△PQB的面积不能等于7cm2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于4cm2”“PQ的长度等于cm”，得出等量关系是解决问题的关键．4．（2021·安徽天长·龙集九年制学校初二期中）如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.(1)、如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？(2)、点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.【答案】(1)、2s或4s    (2)、不存在【解析】试题分析：首先根据题意可得PC=6－t，CQ=2t，然后根据三角形的面积得出方程，进行求解；根据题意列出方程，然后进行判断.试题解析：（1）、设t秒后，可使三角形PCQ的面积为8平方厘米，根据题意可得：·2t（6－t）=8 解得：=2，=4（2）、·2t（6－t）=×6×8 ∵方程无解，不存在考点：动点问题，一元二次方程的应用.5．（2021·广东省东莞市中堂星晨学校初三期中）已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．【答案】（1）2或3秒；（2）不能.【解析】【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．【详解】（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6cm2，则                ×（5﹣x）×2x=6，整理得：x2﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3．答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 ．（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm2，则×（5﹣x）×2x=8，整理得：x2﹣5x+8=0，△=25﹣32=﹣7＜0，所以，此方程无解，故△PQB的面积不能等于8cm2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．熟能生巧6．（2021·揭阳市揭东区光正实验学校初三月考）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？(2)P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；(3)P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．【答案】(1) P，Q两点从出发开始到3.2秒时，四边形APQD为长方形； (2) P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；(3) P，Q两点从出发开始到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．【解析】【分析】（1）当PB=CQ时，四边形PBCQ为矩形，依此建立方程求出即可；（2）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16-3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：，解方程可得解；
（3）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为x秒，用x表示线段长，用勾股定理列方程求解．【详解】(1)设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，根据题意得：16﹣3x=2x，解得：x=．答：P，Q两点从出发开始到秒时，四边形APQD为长方形．(2)设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，根据题意得：×6（16﹣3x+2x）=33，解得：x=5．答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．(3)过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示．设P，Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，根据题意得：（16﹣3x﹣2x）2+62=102，整理得：（16﹣5x）2=82，解得：x1=，x2=．答：P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是做辅助线进行解答.7．（2021·德惠市第三中学初三月考）已知：如图所示．在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．【答案】（1）1；（2）2；（3）不能．【解析】【分析】（1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm则△PBQ的面积等于×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2x（5-x）=7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．【详解】设t秒后，则：AP=tcm，BP=（5﹣t）cm；BQ=2tcm．（1）S△PBQ=BP×BQ，即，解得：t=1或4．（t=4秒不合题意，舍去）故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．（2）PQ=5，则PQ2=25=BP2+BQ2，即25=（5﹣t）2+（2t）2，t=0（舍）或2．故2秒后，PQ的长度为5cm．（3）令S△PQB=7，即：BP×=7，，整理得：t2﹣5t+7=0．由于b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，则方程没有实数根．所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．8．（2021·河北侯口中学）在长方形中，＝，＝，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．  （1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）,,,；（2）当＝秒或秒时，的长度等于；（3）存在＝秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析.【解析】【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得,.（2）用含t的代数式分别表示PB和BQ的值，运用勾股定理求得PQ为＝据此求出t值.（3）根据题干信息使得五边形的面积等于的t值存在，利用长方形的面积减去的面积即可，有的面积为4，由此求得t值.【详解】解：（1）点从点开始沿边向终点以的速度移动，故为,点从点开始沿边向终点以的速度移动，＝，故为.（2）由题意得：＝，解得：＝，＝；当＝秒或秒时，的长度等于；（3）存在＝秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下：长方形的面积是：＝，使得五边形的面积等于，则的面积为＝，，解得：＝（不合题意舍去），＝．即当＝秒时，使得五边形的面积等于．【点睛】本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t值.9．（2021·深圳市宝安区北亭实验学校初三开学考试）△ABC中，∠B=90°，AB=9,BC=12，点p从点A开始延边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P．Q分别从A．B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）填空：BQ=______，PB=______（用含t的代数式表示）（2）经过几秒，PQ的长为 cm？（3）经过几秒，的面积等于?【答案】（1）2t，9 – t（2）t1=，t2=3（3）t=1【解析】【分析】（1）根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB-AP就可以求出PB的值．
（2）在Rt△PBQ中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值．
（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值．【详解】（1）2t，9 – t.（2）由题意得：（9-t）2+（2t）2=72，解得：t1=，t2=3；（3）S△PBQ =×BP×BQ =×(9-t)×2t=8，解得：t1=8，t2=1.∵0≤t≤6,∴t=1  .【点睛】本题考查的是动点问题，熟练掌握勾股定理和三角形面积公式是解题的关键.10．（2021·内蒙古呼和浩特·初三期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90º，AC＝6厘米，BC＝8厘米，点P、Q同时由A、C两点出发，分别沿AC、CB方向匀速运动，它们的速度都是每秒1厘米，P点运动_______秒时，△PCQ面积为4平方厘米．【答案】2或4【解析】设x秒后，△PCQ面积为4平方厘米，则AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=xcm，列方程得：×x（6-x）＝4,-x2+6x-8=0,(-x+2)(x-4)=0,x1=2，x2=4.故答案是：2或4.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解． 庖丁解牛11．（2021·全国）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 与是否可能全等？若能，求出全等时点Q的运动速度和时间；若不能，请说明理由．（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？【答案】（1）①，理由见解析；②秒，厘米/秒；（2）经过秒，点与点第一次在边上相遇【解析】【分析】（1）①根据“路程=速度×时间”可得，然后证出，根据等边对等角证出，最后利用SAS即可证出结论； ②根据题意可得,若与全等，则，根据“路程÷速度=时间”计算出点P的运动时间，即为点Q运动的时间，然后即可求出点Q的速度； （2）设经过秒后点与点第一次相遇，根据题意可得点与点第一次相遇时，点Q比点P多走AB＋AC=20厘米，列出方程，即可求出相遇时间，从而求出点P运动的路程，从而判断出结论．【详解】解：（1）①∵秒，∴厘米，∵厘米，点为的中点，∴厘米． 又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，在△BPD和△CQP中∴．②∵， ∴，又∵与全等，，则，∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒．（2）设经过秒后点与点第一次相遇，∵∴点与点第一次相遇时，点Q比点P多走AB＋AC=20厘米∴，解得秒．∴点共运动了厘米．∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒，点与点第一次在边上相遇．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和动点问题，掌握全等三角形的判定及性质和行程问题公式是解决此题的关键．