考点02 解一元二次方程-2020-2022学年九年级《新题速递·数学》（人教版）

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考点02 解一元二次方程
1．（四川省达州市渠县2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）解方程最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法
C．因式分解法 D．公式法
【答案】C
【解析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
2．（山西省大同市浑源县2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）用配方法解一元二次方程x2＋8x－9=0，下列配方法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】x2＋8x－9=0
x2＋8x=9
x2＋8x＋16=9＋16

故选C．
【点睛】此题考查的是用配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式是解决此题的关键．
3．（黑龙江省哈尔滨市萧红中学2019-2021学年九年级下学期5月月考数学试题）若是关于的一元二次方程的一个解，则另一个解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设此一元二次方程的另一个解为a
则由一元二次方程根与系数的关系得：
解得
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
4．（河北省石家庄2019-2021学年九年级下学期4月份线上模拟数学试题）已知 (均为常数，且)，则一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】B
【解析】∵，
∴△=2-4c=2-4=
∴一元二次方程根的情况是有两个实数根．
故选B．
【点睛】本题考查如何判断一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
5．（2021年山东省滨州市九年级学业水平考试数学试题）对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
【答案】B
【解析】，
，
不论k为何值，，
即，
所以方程没有实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2-bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
6．（宁夏银川市永宁县2019-2021学年九年级第一次联考数学试题）如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x-1=0有实数根，那么k应满足的条件是（　　）
A．k＞-4 B．且
C．且 D．k≤1
【答案】B
【解析】关于的一元二次方程有实数根，
且△，
解得：且．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键．
7．（安徽省亳州市利辛县2019-2021学年九年级下学期第一次联考数学试题）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是( )
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【解析】根据题意得≠0且△=＞0，
解得且．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
8．（2021年广东省广州市海珠区南武中学中考数学5月模拟试题）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B．
C． D．0
【答案】A
【解析】∵x1+x2=4，
∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，
∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，
解得：m=，
故选A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=是解题的关键．
9．（2021年江西省南昌市中考数学二模试题）已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设矩形的长和宽分别为a、b，
∵矩形的长和宽是方程的两个实数根，
∴a+b=7，ab=8，
∴矩形的对角线长为：．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、矩形的性质及完全平方公式的变形，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
10．（2021年福建省南平市建瓯市中考数学5月模拟试题）定义运算：a*b＝2ab，若a、b是方程x2+x﹣m＝0（m＞0）的两个根，则（a+1）*b+2a的值为（　　）
A．m B．2﹣2m
C．2m﹣2 D．﹣2m﹣2
【答案】D
【解析】∵a、b是方程x2+x﹣m＝0（m＞0）的两个根，
∴由根与系数的关系得：a+b＝﹣1，ab＝﹣m，
∴（a+1）*b+2a
＝2（a+1）b+2a
＝2ab+2b+2a
＝2ab+2（a+b）
＝2×（﹣m）+2×（﹣1）
＝﹣2m﹣2，
故选：D．
【点睛】本题考查定义新运算.根据题干中所定义的新运算，能准确地化（a+1）*b为整式运算是解题的关键.
11．（广东省揭阳市揭西县2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）若关于x的一元二次方程的两根是，则的值为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：
则
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，对于一般形式，设其两个实数根分别为，则方程的根与系数的关系为：.
12．（山东省烟台市福山区2019-2021学年九年级下学期期中数学试题）已知实数分别满足，，则的值是（ ）
A．7或2 B．7
C．9 D．－9
【答案】A
【解析】∵实数分别满足，，
当时，则=；
当时，则为一元二次方程的两根，
∴，
∴
=
=
=
=7
综上：的值是7或2
故选A．
【点睛】此题考查的是分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形，掌握分式的加法法则和构造一元二次方程并利用根与系数的关系求值是解决此题的关键．
13．（安徽省无为市2019-2021学年九年级中考第三次联考数学试题）关于x的一元二次方程（a，b，c为实数，）有两个相等的实数根，若实数满足，则此一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，
，
，
，


，


设，是方程（a，b，c为实数，）的两个根，
∴，
，

，

故选：A.
【点睛】考查了根与系数的关系，掌握“若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=-，x1•x2=”的含义是解题的难点．
14．（2021年福建省泉州第五中学中考模拟试题）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　)
A．7 B．7或6
C．6或﹣7 D．6
【答案】B
【解析】当m=4或n=4时，即x=4，
∴方程为42﹣6×4+k+2=0，
解得：k=6；
当m=n时，﹣6+k+2=0
∵，，，
∴，
解得：，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键．
15．（山东省招远市2019-2021学年九年级下学期期中数学试题）设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2＋b2＋ab，则方程（x＋2）△x＝4的实数根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝－1 D．x1＝0，x2＝－2
【答案】D
【解析】∵a△b＝a2+b2+ab，
∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝4，
整理得：x2+2x＝0，即x（x+2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，根剧题意得出方程是解题关键．
16．（山东省招远市2019-2021学年九年级下学期期中数学试题）已知：x1，x2是方程2x2＋x－2＝0的两实根，则x12＋x22的值为（ ）
A． B．
C．1 D．9
【答案】B
【解析】∵、是方程的两个根，运用韦达定理，其中二次项系数a=2，一次项系数，常数项c=-2，
∴，，
又∵，将、的值代入，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系（韦达定理）以及完全平方公式的应用，解题的关键是根据根与系数的关系找出，，．
17．（山东省烟台市招远市2019-2021学年九年级下学期期末数学试题）已知是方程的两个实数根，则式子的值为________．
【答案】4
【解析】∵m、n是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查了方程根的定义及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关概念是解题关键.
18．（湖南省邵阳市新邵县2019-2021学年九年级下学期学情监测数学试题）已知关于的方程的一个解为，则它的另一个解是__________．
【答案】
【解析】将x＝代入关于x的方程，
得：4－6－m＝0，
解得：m＝，
设方程的另一个根为a，
则＋a＝−3，
解得：a＝−1，
故方程的另一个根为−1．
故答案是：−1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解及根与系数的关系，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
19．（2021年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学4月模拟试题）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是__________．
【答案】
【解析】∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
20．（山东省烟台市福山区2019-2021学年九年级下学期期中数学试题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则的取值范围________
【答案】-3＜m≤1
【解析】∵，是关于的一元二次方程的两个实数根
∴，
由题意可得
即
解得：-3＜m≤1
故答案为：-3＜m≤1．
【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况和根与系数的关系，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与的关系和根与系数的关系是解决此题的关键．
21．（2021年福建省福州市闽侯县中考数学4月模拟试题）解方程：x2﹣6x﹣8＝0．
【答案】
【解析】由x2﹣6x﹣8＝0，
得： ，
，
∴，
∴
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练利用公式法解一元二次方程是解题的关键．
22．（2021年浙江省舟山市定海区九年级升学模拟考试数学试题）小明同学在解一元次方程时，他是这样做的：解一元二次方程
解： ...第一步
...第二步
...第三步
...第四步
小明的解法从第几步开始出现错误，请你写出正确的求解过程．
【解析】第一步开始错误，

，
．
【点睛】本题主要是考查一元二次方程的解法，主要是运用因式分解的方法进行求解．
23．（北京十一学校2019-2021学年九年级下学期4月月考数学试题）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于 9，求m的值．
【解析】（1）证明：∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
∴无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于 9，
∴x＝±3，
当 x＝3 时，m＝1；当 x＝﹣3时， m＝﹣5．
综上所述，m 的值为 1 或﹣5．
【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时要分类讨论，这是此题的易错点．
24．（山东省烟台市招远市2019-2021学年九年级下学期期末数学试题）解方程：
（1）（用配方法）；
（2）（用公式法）．
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴
解得，
（2）化简方程得，，
∴
∴，，
∴
∴
∴
解得，.
【点睛】解一元二次方程时要注意选择解题方法，解题时要细心，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
25．（山东省招远市2019-2021学年九年级下学期期中数学试题）计算：
（1）（2－1）2－（＋）（－）
（2）（x＋1）2＝6x＋6
【解析】（1）原式=12－4+1－（＋）（－）
=13－4－2（＋）（－）
=13－4－2（3－2）
=13－4－2
=11－4；
（2）（x＋1）2＝6x＋6
x2+2x+1＝6x＋6
x2-4x-5＝0
（x-5）（x+1）=0
x1=-1，x2=5．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，二次根式的性质和解一元二次方程，掌握运算法则和方程解法是解题关键．
26．（湖北省随州市五校2019-2021学年九年级6月联考数学试题）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0
（1）若该方程有两个实数根，求k的最大整数值．
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得：此方程的根的判别式
整理得：
解得
则的最大整数值是0；
（2）由根与系数的关系得：



整理得：
解得或
由（1）可知，
则．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系是解题关键．
27．（江苏省常州市溧阳市2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）解下列方程：
（1）x2﹣6x+9＝0；
（2）x2﹣4x＝12；
（3）3x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【解析】（1）x2﹣6x+9＝0
（x﹣3）2＝0
x﹣3＝0
∴x1＝x2＝3；
（2）x2﹣4x＝12
x2﹣4x﹣12＝0
（x+2）（x﹣6）＝0
x+2＝0或x﹣6＝0
∴x1＝﹣2，x2＝6；
（3）3x（2x﹣5）＝4x﹣10
3x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0
（2x﹣5）（3x﹣2）＝0
2x﹣5＝0或3x﹣2＝0
∴x1＝，x2＝．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
28．（山东省烟台市招远市2019-2021学年九年级下学期期末数学试题）已知关于的一元二次方程有实数根，若该方程有两个实数根，分别为对和，当时，求的值．
【解析】∵和是方程的两个根，
∴，.
∵，
∴，
解得：，
经检验，是分式方程的解
又∵当时，>0，此时方程有两个实数根，
∴当时，
【点睛】本题有要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
29．（北京22中、21中联盟校2019-2021学年九年级下学期4月月考数学试题）已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根．
【解析】（1）∵方程有两个不相等的实数根，
a=1，b=-2，c=m-1，
∴b2-4ac＞0，
即（-2）2-4×1×（m-1）＞0，
解得：m＜2；
（2）当m=1时，方程为，
则，
解得：x1=0，x2=2，
∴当m=1时，方程的根为x1=0，x2=2.
【点睛】本题主要考查根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
30．（2021年广西河池市大化瑶族自治县九年级毕业暨升学考试模拟（二）数学试题）已知关于的一元二次方程．
如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
如果此方程的两个实数根为，且满足，求的值．
【解析】（1）由题意有：,解得m>-1,
∴m的取值范围就是m>-1．
(2)∵, ∴
又， ∴ ,∴m=6．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式定理与两根积、两根和的表达式是解题关键．
31．（北京一七一中学2019-2021学年九年级下学期3月在线月考数学试题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为非负整数，且该方程的根都是有理数，求出该方程的根．
【解析】（1）△=[2（m-1）]2-4（m2-3）=-8m+16．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0．
即-8m+16＞0．
解得 m＜2；
（2）∵m＜2，且m为非负整数，
∴m=0或m=1，
当m=0时，原方程为x2-2x-3=0，
解得 x1=3，x2=-1，
当m=1时，原方程为x2-2=0，
解得，不符合题意舍去，
综上所述m=0，此时方程的解为x1=3，x2=-1．
【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
32．（湖北省鄂州市鄂城区2019-2021学年九年级下学期期中数学试题）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根大于且小于，为整数，求的值．
【解析】（1）证明：=
=
=
=≥0
∴关于的一元二次方程总有两个实数根；
（2）

解得：
∵此方程有一个根大于且小于，
∴
∴-5＜k＜-3
∵k为整数，
∴k=-4
【点睛】此题考查的是一元二次方程根的情况的判断和解一元二次方程，掌握一元二次方程根的情况与的关系和用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键．
33．（河北省石家庄2019-2021学年九年级下学期4月份线上模拟数学试题）在实数范围内，对于任意实数规定一种新运算：，例如：．
（1）计算：
（2）若，求的值；
（3）若的最小值为，求的值．
【解析】（1）；
（2）由题意得：，
解得： ，
（3），
∵的最小值为，
∴的值为．
【点睛】本题考查的是新运算，属于常考题型，只要同学们按照新运算的规则进行计算即可顺利解题．