专训四十三、垂径定理的应用-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

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计算力专训四十三、垂径定理的应用 牛刀小试1．（2021·杭州市实验外国语学校初三月考）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ）A． B． C． D．12【答案】C【解析】【分析】作OM⊥CD，连接OC，先求得半径和OP，根据等腰直角三角形的性质求得OM，再根据勾股定理求得CM，结合垂径定理即可求得CD，【详解】解：∵，，∴AB=12，AO=6，∴PO=2，作OM⊥CD，连接OC，∵，∴∠AOM=45°，△MOP为等腰直角三角形，∴，在Rt△OCM中根据勾股定理，∴．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理等．注意垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2．（2021·江苏江都·初三月考）如图，过点B、C，圆心O在等腰的内部，，，．则的半径为（    ）A．5 B． C． D．【答案】A【解析】【分析】过O作OD⊥BC，由垂径定理可知BD=CD= BC，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°，故△ABD也是等腰直角三角形，BD=AD，再由OA=1可求出OD的长，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OB的长．【详解】解：过O作OD⊥BC，∵BC是⊙O的一条弦，且BC=8，∴BD=CD= ，∴OD垂直平分BC，又AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴△ABD也是等腰直角三角形，∴AD=BD=4，∵OA=1，∴OD=AD-OA=4-1=3，在Rt△OBD中，
OB= ．
故答案为A．【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．3．（2021·无锡市东北塘中学月考）下列语句，错误的是（　　）A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦【答案】B【解析】【分析】将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案.【详解】A.直径是弦，正确.B.∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,∴相等的圆心角所对的弧相等，错误.C.弦的垂直平分线一定经过圆心，正确.D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦，正确.故答案选：B.【点睛】本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.4．（2021·江苏南京·文昌初级中学月考）如图为一半径为3m的圆形会议室区域，其中放有4个宽为1m的长方形会议桌，这些会议桌均有两个顶点在圆形边上，另两个顶点紧靠相邻桌子的顶点，则每个会议桌的长为_________．【答案】【解析】【分析】如解图所示，O为圆心，连接OA、OB，过点O作OC⊥BF于C，交AE于D，由题意可得OD⊥AE，AB=1m， OB=3m，△OAD为等腰直角三角形，根据垂径定理可得OD=AD=BC=AE，设OD=x，利用勾股定理列出方程即可求出x，从而求出结论．【详解】解：如下图所示，O为圆心，连接OA、OB，过点O作OC⊥BF于C，交AE于D由题意可得OD⊥AE，AB=1m， OB=3m，△OAD为等腰直角三角形∴OD=AD=BC=AE，CD=AB=1m设OD=x，则AD=BC =x，OC=x＋1，AE=2x∵OB2－OC2=BC2∴32－（x＋1）2=x 2解得：x=或（不符合实际，故舍去）∴AE=即每个会议桌的长为故答案为：．【点睛】此题考查的是垂径定理、勾股定理、正方形的性质和矩形的性质，掌握垂径定理、勾股定理、正方形的性质和矩形的性质是解题关键．5．（2021·常州市武进区遥观初级中学初三月考）如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则CD=______．【答案】2【解析】【分析】根据垂径定理和勾股定理计算即可；【详解】∵OD⊥AB，OD过圆心O，∴，由勾股定理可得：，∴；故答案是2．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．熟能生巧6．（2021·兰溪市实验中学初三月考）已知的半径为，弦，是上任意一点，则线段的最小值为_____．【答案】4【解析】【分析】由点到直线的距离，垂线段最短，连接作ON⊥AB，直接利用垂径定理得出AN的长，再结合勾股定理得出答案．【详解】解：连接 作ON⊥AB，  根据垂径定理，AN=AB=×6=3， 根据勾股定理，ON=， 即线段OM的最小值为：4． 故答案为：4．【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，垂径定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题关键．7．（2021·北京市三帆中学初三月考）如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点．若，则的半径是_________．【答案】【解析】【分析】连接OA，根据垂径定理推论得出OC⊥AB，由勾股定理可得出OA的长．【详解】解：连接OA
∵C是AB的中点，OA=OB，AB=4∴AC=AB=2，OC⊥AB，∴OA2=OC2+AC2，∵CD=1∴OA2=（OA-1）2+22，
解得，OA=故答案为：【点睛】题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理推论判断出OC垂直平分AB是解答此题的关键．8．（2021·滨海县滨淮初级中学初三月考）如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，，垂足为，且，，则直径的长为__________．【答案】10【解析】【分析】连接OC，设圆的半径为r，则有OD=r-2，然后根据垂径定理及勾股定理进行求解即可．【详解】解：连接OC，如图：设圆的半径为r，则有OD=r-2，是⊙O的直径，，，，∠ODC=90°，在Rt△ODC中，，即，解得，AB=2OC=10；故答案为10．【点睛】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理的联系是解题的关键．9．（2021·浙江温州·初三月考）如图，是弦的中点，是上一点，与交于点，已知，．（1）求线段的长．（2）当时，求，的长．【答案】（1）线段的长为；（2）ED，EO=【解析】【分析】（1）连接OB，先根据垂径定理得出OD⊥BC，BD=BC，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可得出结论；
（2）在Rt△EOD中，设BE=，则OE=，DE=，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：（1）连接OB．
∵OD过圆心，且D是弦BC中点，
∴OD⊥BC，BD=BC，在Rt△BOD中，OD2+BD2=BO2．
∵BO=AO=8，BD=6．
∴OD=；（2）在Rt△EOD中，OD2+ED2=EO2．
设BE=，则OE=，DE=，，整理得：，解得：(舍去)．∴BE=4，ED=，EO=．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10．（2021·杭州市实验外国语学校初三月考）如图，在中，是的直径，是的弦，的中点在直径上．已知，．（1）求的半径；（2）连接，过圆心向作垂线，垂足为，求的长．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）连接OA，根据AB=8cm，CD=2cm，C为AB的中点，设半径为r，由勾股定理即可求出r；（2）先求出AE的长，根据垂径定理可知：OF⊥AE，FE=FA，再利用勾股定理即可求得OF的长．【详解】解：（1）连接，如图所示∵为的中点，，∴又∵设的半径为，则解得：（2），∴∵OF⊥AE，∴FE=FA，∴∴．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是解答本题题的关键．庖丁解牛11．（2021·全国初三课时练习）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（　　）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C【解析】【分析】连接OP，OQ，根据M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BC的中点，利用中位线定理得到OH+OI=（AC+BC）=13和PH+QI=6，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．【详解】连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，∴H、I是AC、BC的中点，∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，∴PH+QI＝13﹣7＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，故选C．【点睛】本题考查了中位线定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，题目中还考查了垂径定理和轴对称的知识，有难度．