2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第11讲.根系关系及应用题（含答案）

        考古发现

本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。

模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：.

【引例】       先阅读，再填空解题：

⑴方程x2－x－12＝0 的根是：x1＝，x2＝4，则x1＋x2＝1，x1·x2＝；

⑵方程2x2－7x＋3＝0的根是：x1＝，x2＝3，则x1＋x2＝，x1·x2＝；

⑶方程x2－3x＋1＝0的根是：x1＝      ， x2＝        ．

则x1＋x2＝        ，x1·x2＝         ；

⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：

如果关于x的一元二次方程mx2＋nx＋p＝0（m≠0且m、n、p为常数）的两根为x1、x2，那么x1＋x2、x1·x2与系数m、n、p有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．

⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①；②   （十一学校期末）

【解析】       ⑶，；，；⑷；

⑸①②

【例1】         不解方程，求下列方程两根的积与和．

⑴          ⑵

⑶          ⑷

【解析】       ⑴     ⑵

⑶      ⑷

【例2】         已知关于的一元二次方程有两个实数根和．

⑴求实数的取值范围；

⑵当时，求的值．                                       (毕节中考)

【解析】       ⑴由题意有，解得．即实数的取值范围是．

⑵由得．

若，即，解得． 

∵＞，不合题意，舍去． 

若，即

∴ ，由⑴知．

故当时，．

【例3】         已知一元二次方程有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数.                                                      

⑴ 求的取值范围；

⑵ 当在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为，求的值.

（北京八中期中试题）

【解析】       ⑴根据题意，可得           

∴且且．

⑵依题意有，原方程可化为．

方法一：∴

∴

方法二：，

【探究对象】根系关系的进一步应用

【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断→然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出）．

在这里主要探讨一下根的正负性问题：

利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程的根，而知其根的正、负性．

在的条件下，我们有如下结论：

①当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．

②当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．

【探究1】已知关于x的一元二次方程x2－2ax+a2－9=0

         （1）a为何值时，方程有两个正根？

         （2）a为何值时，方程有一正根、一负根？

分析：此题根据上面的总结很容易得出：（1）a >3；（2）－3< a <3

【探究2】已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+2mx+ =0．

        （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

        （2）若 ，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论．

分析：（1）∵方程有两个不相等的实数根

          ∴ 解得：m＜6；

          又因为m+2≠0，则m≠－2；所以m的取值范围是m＜6且m≠－2；

     （2）设方程的两个实根分别为α与β，则根据根与系数的关系得：，，又知，则，

          逆用上述结论可知，方程有两个负实数根．

【探究3】已知方程，k为实数且k≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．

分析：先判断=4+4k2>0，所以方程有两不等实根，设为、，且

      由根系关系得 ，，拓展逆用上述结论：

      ∴与中必有一个大于0，另一个小于0

      即方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．

列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．

【引例】       ⑴某汽车销售公司2009年盈利1500万元， 2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ）．                                                （西城期末）

A．　　　  　　B．  　

C．　　　　　     　 D．

⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为          ．                   (台州中考)

【解析】       ⑴A；⑵．

【例4】         某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少?

【解析】       设涨价元，则售价为元，每月卖出件．

根据题意列出方程

解得：

答：当售价定在60元或者80元时，每月赚8000元．

【例5】         如图①，要设计一幅宽cm，长cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

分析：由横、竖彩条的宽度比为，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形．

结合以上分析完成填空：

⑴ 如图②，用含的代数式表示：

 =____________________________cm；=____________________________cm；

矩形的面积为_____________cm；

⑵ 列出方程并完成本题解答． 

（三帆中学期末试题）

【解析】       ⑴

⑵ 根据题意，得.整理，得.解方程，得（不合题意，舍去）.则．

答：每个横、竖彩条的宽度分别为cm，cm.

【例6】         如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问题：

⑴ 在第n个图中，每一横行共有    块瓷砖，每一竖列共有    块瓷砖；（均用含n的代数式表示）

⑵ 设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与⑴中的行列的函数关系式；（不要求写自变量n的取值范围）

⑶ 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

⑷ 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？

⑸ 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．

【解析】       ⑴ ；．

⑵ ，即．

⑶ 当y=506时，，即

解得（舍去）．

⑷ 白瓷砖块数是（块）．

黑瓷砖块数是（块）．

共需（元）．

⑸

化简为

解得（舍去）．

∵n的值不为正整数，

∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．

【例7】         关于的方程的两根和为，两根的平方和为，两根的立方和为，试求的值．

【解析】       设方程的两根为、，则，．

∴，．

．∴．

训练1.        关于的一元二次方程有两个实数根、，

⑴ 求的取值范围;

⑵若、满足等式求的值.                （崇文区初三期末）

【解析】       由，

整理，得 ．

⑴ ∵方程有两个实数根，

∴．解之，得 ．

⑵ ∵方程的两个实根是、，

∴

∵

∴

∴.

训练2.          ⑴已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.

⑵如果是质数，且那么的值为 （   ）

A.          B. 或          C.          D.  或  

【解析】       ⑴.提示：依题意有，化简得

∴，∴的最小值为．　

⑵B．提示：方法一：有两种情况：

① 若，则；

②若，根据题意，、是方程的根，

则，因为是质数且和为奇数，所以两数分别为和．此时 ．

方法二：两式相减，消，，所以有或

训练3.        为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过度时，每度电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出度时，则该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有度仍按每度电0.40元交费，超出a度部分则按每度电元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中，度用电量为多少？                  （西城期末）

【解析】       因为，，

所以 .

由题意得　.

去分母，得 .

整理，得 .

解得  ，.

因为  ，

所以  不合题意，舍去.

所以  ．

答：在该地区规定的电费计费方式中，a度用电量为90度.

训练4.        ⑴两个相邻的自然数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，试求这两个自然数．

⑵某两位数的十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．

【解析】       ⑴设这两个自然数分别为．

根据题意得

解得：（舍）

所以这两个自然数为5和6

⑵设这个数为，新的数为

根据题意得：

解得

所以这个两位数为23或32

知识模块一  根与系数的关系  巩固练习

【练习1】   ⑴方程的两个解分别为、，则的值为（     ） 

A．         B．          C．7          D．3

⑵设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________________．                                 

【解析】       ⑴D；⑵7．

【练习2】   已知，是一元二次方程的两个根，求的值．

【解析】       因为是方程的根，所以

，即．

，

．

同理．

所以．

【练习3】   已知关于的方程的两个实数根的平方和等于6，求的值．

【解析】       设方程的两个根为，，则

，．

∵，∴．

∴．

解得，．

又．

当时，，所以，不符合题意．舍去．

当时，，所以，即为所求．

题型二  一元二次方程的应用问题  巩固练习

【练习4】   某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少．

【解析】       设平均每次降价的百分率为，则

，即，

解得（舍去），

答：这种药品平均每次降价20%．

【练习5】   一条长64m的铁丝被剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和等于，求这两个正方形的边长，

【解析】       设一个正方形的边长为cm，则另一个正方形的边长是．

∴，

整理，得，解得，

则或．

答：这两个正方形的边长分别为4cm，12cm．