2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第9讲.解特殊复杂方程（含答案）

         特殊的梦

解含参数的一元二次方程时，只需将参数当做已知数来解方程，需要注意的是二次项系数如果含有参数的话，二次项系数不能为零．

【引例】       解关于x的方程

【解析】       ⑴ 当，时，

时，，方程有无数解；

时，，方程无解；

⑵ 当时，原方程可化为

当时， ，

当时，

当时，该方程无实数根．

【例1】         解关于x的方程.

【解析】       ⑴当时，方程的根为；

⑵当时，

当时，即当且时，方程有两个不相等的实数根；

当时，即当时，方程有两个相等的实数根；

当时，即当时，方程没有实数根．

求解高次方程与方程组的基本思路与解一元二次方程的思路一样，采取消元以及降次的方法将原方程化简，有时可以采取换元等简便方法．

【引例】       解方程组

【解析】       把①变形为，代入②，用代入消元法解．

∴

【例2】         解下列方程：

⑴

⑵

【解析】       ⑴ 移项，得．提取公因式并应用十字相乘法分解因式，得

．所以原方程的解是，．

⑵ 方程中只含有未知数的四次项、二次项与常数项，这是通常所称的双二次方程，

将作为一个整体分解因式，得，即，

从而原方程的解是，，，．

【例3】         解方程组

⑴               ⑵            

【解析】       ⑴对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，基本解法是代入消元法．

由①得，代入②，得，整理得，

解得，．将，分别代入③，得，，

所以原方程组的解是，

⑵原方程组可化为，

将①代入②，得③，解由①、③组成的方程组，得原方程组的解是

分式方程需注意的就是必须要检验

根号下含有未知数的方程叫做无理方程，其思想是将无理方程转化为我们熟悉的有理方程求解，注意：无理方程和分式方程一样均需检验，必须带入原方程进行检验．

【引例】             

【解析】      两边同时完全平方得：，，将代入，

所以原方程的解为

【例4】         解方程

⑴  ⑵   ⑶

【解析】       ⑴原方程变形为．

两边同乘以，并整理得．

解得，．

经检验，是增根．

∴原方程的解为．

⑵设．代入原方程，并整理得：

．

解得，．

由解得，．

由解得，．

经检验，原方程的解是，，，．

⑶原方程化为，即，解得．

【例5】         1.解方程．

【解析】       方法一：移项，得．

两边平方，得．

整理，得．

两边平方，得．

解之，得．经检验，是原方程的解．

方法二：把方程左边进行分子有理化，得

．

整理，得．

与原方程相加，得．

解之，得．经检验，是原方程的解．

方法三：设，则．

代入原方程，得．

移项，得．

两边平方，得．

解得．

∴．经检验，是原方程的解．

方法四：设，，则

由①②得．④

④③，得．

∴．

代入，得．

解之，得．经检验，是原方程的解．

2. 解方程：．

【解析】       令，则原方程化为．解之得（舍去）或．于是得到原方程的解为或．

【例6】         解方程．

【解析】       原方程就是

设，则有．

分解因式，得．

所以，当时，有．

解得．

当时，有．

解得，．

经检验，只有是原方程的根．

【例7】         解方程组：.

【解析】原方程组可变形为

①×2＋②得，　

令，则　

∴，，

即或，　　

当时，代入①得，解方程组　

可得，或，；

当时，代入①得，而方程组无实数解．

综上所述，方程组的解为；.

例7精讲：用换元思想探索双二次方程、无理方程、分式方程这三类方程的解法。

探究1、换元思想在高次方程中的应用：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元方法都可以应用。

【变式1】解方程：；
【解析】 思路1：以为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有。

思路2：把方程展开成标准的双二次方程，再对进行换元。

解法一：原方程可化为，设得，

解得 ，(无实根，舍去)，

由解得，。

解法二：由原方程得，设，解得，。

探究2、换元思想在无理方程中的应用：解无理方程时，常把原方程中的一个含有未知数的根式作为整体进行换元，达到化去根号转化为可解方程的目的。

【变式2】解方程：；

【解析】为使原方程中出现形式相同的部分，可以将其变形为

。

设，则原方程可以化为
      解得，（不符合算术根的定义，舍去）
      由得，，经检验是原方程的根。

探究3、换元思想在分式方程中的应用：解分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进行换元，换元时要注意分子、分母互换的两个分式可以用一个新元和它的倒数来表示。

【变式3】解方程：；

【解析】原方程可变形为。设 进行换元可得

，去分母后化为可解；，，；

探究4、换元思想在特殊方程中的综合应用；

【变式4】解方程：；

【解析】设，则原方程可以化为，

整理得，解得，，舍去。

由解得，经检验是原方程的根。
     对于变式4也可以用两边平方的方法直接求解：原方程两边平方得

，整理后去分母化简得，

解得，，代入原方程检验可知是增根。

所以是原方程的根。

注意：由变式2、变式4看出，对于分式方程或无理方程使用换元法后，仍需对所求根进行检验。实际上，根据验根的原则，有些特殊方程不求出根就可以判断它无解或无实根。如，

。

训练1.                 解关于x的一元二次方程

【解析】      

训练2.                 解下列方程：

⑴

⑵

【解析】       ⑴ 换元法得：

⑵∵这是个倒数方程，且知，

两边除以，并整理得

设，则

原方程化为

解得或

由得或

由得或．

经检验，原方程的解为：．

【点评】       第二个方程中首末项相等距离的项的系数相等，这种方程称为倒数方程．倒数方程有以下性质：

⑴ 如果是倒数方程的根，则也是方程的根；

⑵ 倒数方程没有的根．

倒数方程的解法：

当最高项次数是偶数时，方程可变成的形式；当最高项次数是奇数时，由系数特征，则必有的根，用多项式去除方程的两边，即可变成最高项次数是偶数的情况．

训练3.                 解方程组：.

【解析】       对方程②：设，则方程变为：，即：，

解得：，，即：或.

∴原方程组可化为：或

利用代入消元法，解得：或

经检验或都是原方程的解

∴原方程组的解为：或.

【点评】       解方程组时一定要注意观察，虽然消元是主要思想，但消元也要注意方法.本题若直接用代入消元则比较麻烦.

训练4.                 解方程.

【解析】       令，则

∴原方程可化为：

化简，得：

分解因式，得：，（舍去），.

∴，解方程，得：.

经检验， 都是原方程的解.

题型一  解含参数的一元二次方程 巩固练习

【练习1】   解关于的方程：.

【解析】       ⑴当时，原方程为：，.

⑵当时，原方程是一元二次方程.

方法一：（公式法）

∵

∴，

∵.

∴.

方法二：（因式分解法）

∵，∴，∴或，

∴.

题型二  解高次整式方程和方程组 巩固练习

【练习2】   解方程．

【解析】       注意到，，其中含未知数的项相同，可用换元法来解，原方程化成，

即，设，方程化为，

解得，．把代入，得

解得，；把代入，得，

解得．所以原方程的解是

．

【练习3】   解方程组

【解析】       注意到两个方程中二次项的系数对应成比例，可消去二次项求解：

由，得，即…③，解②、③联立所得方程组，得原方程组的解

，．

题型三  解分式方程和无理方程 巩固练习

【练习4】   解分式方程                

【解析】      

【练习5】   解方程．

【解析】       ，