专训五十一：圆中计算综合（二）-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训五十一：圆中计算综合（二）

牛刀小试

1．（2021·全国初三课时练习）如图，已知等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，且AC=BC=16分米，以点B为圆心，BD为半径画弧，交BC于点F，以点C为圆心，CD为半径画弧，分别交AB、BC于点E、G．求阴影部分的面积．

【答案】阴影部分的面积是64平方分米．

【解析】

【分析】

根据题意和图形可以得到阴影部分的面积是△ABC的面积减去扇形BFD的面积和右上角空白部分的面积，由题目中的数据可以求出各部分的面积，从而可以解答本题．

【详解】

解：等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，且AC=BC=16分米，

∴AB=16分米，∠DBF=45°，

∴BF=CD=8分米，

∴阴影部分的面积是：−−[−]=64平方分米，

故阴影部分的面积是64平方分米．

【点睛】

本题考查扇形面积的计算、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

2．（2021·全国初三课时练习）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．

（l）求证：△ACD是等边三角形；

（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据切线的定义可知AB⊥BM，又∵BM//CD，∴AB⊥CD，根据圆的对称性可得AD=AC，再根据等弧对等弦得DA=DC，即DA=DC=AC，所以可得△ACD是等边三角形；

（2）△ACD为等边三角形，AB⊥CD，由三线合一可得∠DAB=30°，连接BD，根据直径所对的角是直角和三角形的内角和可得∠∠EBD＝∠DAB＝30°，因为DE＝2，求出BE＝4，根据勾股定理得，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得，，，在Rt△OBE中，根据勾股定理即可得出OE的长．

【详解】

解：（1）∵BM是⊙O切线，AB为⊙O直径，

∴AB⊥BM，

∵BM//CD，

∴AB⊥CD，

∴AD＝AC，

∴AD＝AC，

∴DA＝DC，

∴DC＝AD，

∴AD＝CD＝AC，

∴△ACD为等边三角形.

（2）△ACD为等边三角形，AB⊥CD，

∴∠DAB＝30°，

连结BD，

∴BD⊥AD.

∠EBD＝∠DAB＝30°，

∵DE＝2，

∴BE＝4，，，，

在Rt△OBE中，．

【点睛】

本题考查圆的有关性质，直角三角形的性质；勾股定理．

3．（2021·河北初三其他）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接.

（1）若，，求的直径；

（2）若，求的度数.

【答案】（1）20；（2）

【解析】

【分析】

（1）由CD＝16，BE＝4，根据垂径定理得出CE＝DE＝8，设⊙O的半径为r，则，根据勾股定理即可求得结果；
（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；

（2）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，则2∠B＋∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D＋∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数；

【详解】

解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设，
又∵BE＝4，
∴

∴，
解得：，
∴⊙O的直径是20．

（2）∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，
∵∠DOB＋∠D＝90°，
∴2∠B＋∠D＝90°，
∵，

∴∠B＝∠D，
∴2∠D＋∠D＝90°，
∴∠D＝30°；

【点睛】

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．

4．（2019·全国初三单元测试）如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N

(1)求证：∠AOC＝135°；

(2)若NC＝3，BC＝2，求DM的长．

【答案】（1）∠AOC＝135°；（2）DM＝1．

【解析】

【分析】

(1)如图，作OE⊥AC于E，连接OM，ON，由切线的性质可得OM⊥AB，ON⊥CD，由角平分线的性质可得OM=OE，从而得AC是⊙O的切线，继而可得OC平分∠ACD，继而通过推导即可证得∠AOC=135°；

(2)由切线长定理可得AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，AM=AE=y，则有BD=3﹣x，在Rt△BDC中，利用勾股定理进行求解即可.

【详解】

(1)如图，作OE⊥AC于E，连接OM，ON，

∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N，

∴OM⊥AB，ON⊥CD，

∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，

∴OM=OE，

∴AC是⊙O的切线，

∵ON=OE，ON⊥CD，OE⊥AC，

∴OC平分∠ACD，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠BDC=90°，

∴∠AOC=180°﹣(∠DAC+∠ACD)=180°﹣45°=135°．

(2)∵AD，CD，AC是⊙O的切线，M，N，E是切点，

∴AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，AM=AE=y，

∵AB=AC，

∴BD=3﹣x，

在Rt△BDC中，∵BC2=BD2+CD2，

∴20=(3﹣x)2+(3+x)2，

∵x>0，

∴x=1，

∴DM=1．

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质，切线长定理知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用切线的相关知识是解题的关键.

5．（2021·安徽初三三模）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E

(1)求线段DE的长；

(2)点O到AB的距离为3，求圆O的半径．

【答案】（1）DE＝4；（2）圆O的半径为5．

【解析】

【分析】

(1)根据垂径定理得出AD=DC，CE=EB，再根据三角形的中位线定理可得DE=AB，代入相应数值求出即可；

(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，根据垂径定理可得AH=4，在Rt△AHO中，利用勾股定理求出AO的长即可得答案.

【详解】

(1)∵OD经过圆心O，OD⊥AC，

∴AD=DC，

同理：CE=EB，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE=AB，

∵AB=8，

∴DE=4；

(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，

∵OH经过圆心O，

∴AH=BH=AB，

∵AB=8，

∴AH=4，

在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，

∴AO=5，即圆O的半径为5．

【点睛】

本题主要考查了垂径定理，涉及了三角形中位线定理、勾股定理等内容，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.

熟能生巧

6．（2019·浙江临海·初三期末）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD⊥CE 于点 D，AC 平分∠DAB．

（1）    求证：直线 CE 是⊙O 的切线；

（2）    若 AB＝10，CD＝4，求 BC 的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）BC＝2或4．

【解析】

【分析】

(1)如图，连接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB，接着利用平行线的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线；

(2)证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形对应边成比例进行求解即可.

【详解】

(1)如图，连接OC

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠CAB，

∴∠OCA=∠DAC，

∴AD∥CO，

∵CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O直径且C在半径外端，

∴CD为⊙O的切线；

(2)∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴，

∴BC•AC=DC•AB=4×10=40，

∵BC2+AC2=100，

∴(BC+AC)2=BC2+AC2+2BC•AC=180，(BC-AC)2= BC2+AC2-2BC•AC=20，

∴BC+AC=6，AC﹣BC=2或BC﹣AC=2，

∴BC=2或4．

【点睛】

本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

7．（2021·浙江绍兴·初三月考）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．

（1）求证：AC=BD；

（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）8﹣．

【解析】

【分析】

（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；

（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．

【详解】

解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，

∵AE=BE，CE=DE，

∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD.

（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，

∵OA=10，OC=8，OE=6，

∴.

∴AC=AE﹣CE=8﹣．

【点睛】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

8．（2018·天津河西·初三月考）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22．5°，求阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】

（1）连接，易得，由，易得，等量代换得，利用平行线的判定得，由切线的性质得，得出结论；

（2）连接，利用（1）的结论得，易得，得出，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．

【详解】

（1）证明：连接，

，

，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC．

∵DF是⊙O的切线，

∴DF⊥OD．

∴DF⊥AC．

（2）连结OE，

∵DF⊥AC，∠CDF=22．5°．

∴∠ABC=∠ACB=67．5°，∴∠BAC=45°．

∵OA=OE，∴∠AOE=90°．

的半径为4，

，，

．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．

9．（2019·四川旌阳·德阳五中初三月考）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2．

（1）求OD的长．

（2）求EC的长．

【答案】（1）5 （2）

【解析】

【分析】

(1)设⊙O的半径为r，根据垂径定理求出AC的长，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值；

(2)连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．

【详解】

解：(1)设⊙O半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝r﹣2，

∵OD⊥AB，

∴∠ACO＝90°，

AC＝BC＝AB＝4，

在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2，

r＝5，

∴OD＝r＝5；

(2)连接BE，如图：

由(1)得：AE＝2r＝10，

∵AE为⊙O的直径，

∴∠ABE＝90°，

由勾股定理得：BE＝6，

在Rt△ECB中，EC＝＝＝2．

故答案为：(1)5；(2).

【点睛】

本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

10．（2018·河南临颍·初三期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，且∠A=∠D．

（1）求∠ACD的度数；

（2）若CD=3，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1) ∠ACD=120°;(2)

【解析】

【分析】

（1）连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，由AO=CO，推出∠A=∠ACO，推出∠COD=2∠A，可得3∠D=90°，推出∠D=30°，即可解决问题

（2）先求△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．

【详解】

解：（1）连接OC，

∵过点C的切线交AB的延长线于点D，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

即∠D+∠COD=90°，

∵AO=CO，

∴∠A=∠ACO，

∴∠COD=2∠A，

∵∠A=∠D，

∴∠COD=2∠D，

∴3∠D=90°，

∴∠D=30°，

∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣30°﹣30°=120°．

（2）由（1）可知∠COD=60°

在Rt△COD中，∵CD=3，

∴OC=3×

=    ，

∴阴影部分的面积=

【点睛】

本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，学会用分割法求阴影部分面积．

庖丁解牛

11.（2019·延津县清华园学校初三期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的长．

【答案】（1）详见解析；（2）BE＝.

【解析】

【分析】

（1）根据三角形中位线定理得到OD∥BE，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；
（2）连接EF、ED，根据等腰三角形的性质求出BF，根据勾股定理求出EF，根据勾股定理计算，得到答案．

【详解】

（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴CD＝DB，又CO＝OE，

∴OD∥BE，

∴∠CEB＝∠DOC＝90°，

∴CE⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：连接EF、ED，

∵BD＝CD＝6，

∴BF＝BD﹣DF＝4，

∵CO＝OE，∠DOC＝90°，

∴DE＝DC＝6，

∵CE为⊙O的直径，

∴∠EFC＝90°，

∴EF＝ ＝4 ，

∴BE＝ ＝4.．

【点睛】

本题考查三角形的外接圆与外心，解题关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理、三角形中位线定理、勾股定理．