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2022年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）（含答案解析）

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这是一份2022年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）（含答案解析），共19页。

2022年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）

若全集，集合，则

A. B. C. D.

已知复数，则的虚部是

A. B. C. D. 4

中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到万公里，其中高铁营业里程万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，如图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程单位：万公里的折线图，以下结论不正确的是

A. 每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B. 从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关
C. 2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长以上
D. 从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列

A. B. C. D.

“”是“函数是在上的单调函数”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

若的展开式中各项系数之和为256，且常数项为2，则该展开式中的系数为

A. 30 B. 45 C. 60 D. 81

已知甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛规则是：3局2胜，即以先赢2局者胜．甲每局获胜的概率为，则本次比赛甲获胜的概率为

A. B. C. D.

已知曲线，曲线：，则下列结论正确的是

A. 曲线关于原点对称
B. 是曲线的一条对称轴
C. 曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D. 曲线向左平移个单位长度，得到曲线

在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为

A. B.
C. D.

已知函数，设，，，则

A. B. C. D.

已知抛物线C：的焦点为F，准线与坐标轴交于点M，P是抛物线C上的一点，且为钝角，若，，则的面积是

A. B. C. D.

已知函数为定义域在R上的偶函数，且当时，函数满足，，则的解集是

A. B.
C. D.

已知向量，，若，则实数______.
中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为______.
如图，在中，，，，点E在边AB上，且，将射线CB绕着C逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点D，使得，连接DE，则的面积为__________.

已知在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为______.
已知等差数列中，，，数列的前n项和满足
求数列，的通项公式；
若，求数列的前n项和
在四棱柱中，，且，平面ABCD，
证明：
求与平面所成角的正弦值．

某大型工厂有6台大型机器在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修每台机器出现故障的概率为已知1名工人每月只有维修2台机器的能力若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响，每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资．
若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人，则称工厂能正常运行．若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；
已知该厂现有2名维修工人．
记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；
以工厂每月获利的数学期望为决策依据试问该厂是否应再招聘1名维修工人？
已知椭圆的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．
求椭圆C的方程；
若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：
设函数
讨论函数的单调性；
若函数恰有两个零点，求a的取值范围．
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，为参数以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
若点P是直线l的一点，过点P作曲线C的切线，切点为Q，求的最小值．
已知函数
求不等式的解集；
若的最小值为k，且，证明：

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：全集，集合，
解得：，，
所以
故选：
分别解出U、A两集合，利用补集的定义求解即可．
本题考查集合的运算，考查运算求解能力．

2.【答案】A

【解析】

【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：由，得，
的虚部为
故选：

3.【答案】D

【解析】

【分析】
本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识，属中档题．
先对图表信息进行处理，再结合等差数列的概念及简单的推理逐一检验即可得解．
【解答】
解：由2014年到2018年铁路和高铁运营里程单位：万公里的折线图可知：
选项A，B显然正确；
对于选项C，因为，
即选项C正确；
，，，，不是等差数列，
即选项D错误.
故选

4.【答案】B

【解析】解：
，
故选：
利用诱导公式以及正弦的差角公式化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数的三角函数的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．

5.【答案】B

【解析】解：依题意，函数是在上的单调函数，
由于在上递增，所以在上递增，
所以且，即
所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件，
故选：
根据在区间上的单调性求得b的取值范围，结合充分、必要条件的知识确定正确选项．
本题考查了分段函数的单调性，属于中档题．

6.【答案】C

【解析】解：令，得常数项，所以，
令，得，所以，
故该展开式中的系数为，
故选：
由题意根据常数项为2，求得a的值，再根据展开式中各项系数之和为256，求出n，可得该展开式中的系数。
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题。

7.【答案】B

【解析】解：甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛规则是：3局2胜，即以先赢2局者胜．甲每局获胜的概率为，
本次比赛甲获胜的概率为
故选：
利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式，求出本次比赛甲获胜的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8.【答案】C

【解析】解：因为，曲线：，
因为为偶函数，图象关于y轴对称，A错误；
令，可得，B错误；
曲线向右平移个单位长度，得到曲线即曲线，C正确，D错误．
故选：
结合二倍角公式及辅助角公式先对已知函数进行化简，冉家结合函数的对称性及函数图象的平移检验各选项即可判断．
本题主要考查了辅助角公式，二倍角公式，还考查了函数图象的平移，属于基础题．

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．
由题意画出图形，连接，，可知为异面直线与所成的角．然后求解三角形得答案．

【解答】

解：在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，
所以，

连接，，可知为异面直线与所成的角．
平面，
平面
平面，

，，
，得
即异面直线与所成的角为
故选：

10.【答案】D

【解析】

【分析】
本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题．
易得是偶函数且在上单调递增，结合，，，即可判定．
【解答】
解：定义域为R，

，
是偶函数，
又易知时，函数单调递增．
，，，
由于，
，
，
，
，
故选：

11.【答案】A

【解析】解：由已知得，准线为，，设，则，
，，
解得，或，为钝角，，
故选：
由抛物线方程可求焦点坐标与准线方程，点M的坐标，设设，由已知可求，，结合点在抛物线上，求解即可．
本题考查抛物线的几何性质，以及运算能力，属基础题．

12.【答案】A

【解析】解：令，
则，
则，，
令，则，
令，解得，
故在递增，在递减，
又，
，，在单调递减，
由，得，
由，得，
函数为定义域在R上的偶函数，
关于直线对称，
的解集是，
故选：
令，得到，求出的导数，得到函数的单调性，结合函数的对称性求出不等式的解集即可．
本题考查了函数的单调性，对称性问题，考查导数的应用以及不等式问题，考查转化思想，是中档题．

13.【答案】20

【解析】解：，
又，
，解得
故答案为：
可求出的坐标，然后根据即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出的值．
本题考查了向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：设中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的双曲线的方程为，
则其渐近线方程为，
由一条渐近线经过点，
则，
，
故答案为：
根据双曲线的渐近线方程可得a与b的关系，再根据离心率公式计算即可．
本题考查了双曲线的方程和渐近线方程，离心率的求法，属于基础题．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力和转化思想，属于中档题．
在中，由已知利用余弦定理可求AC的值，再由正弦定理可求的值，利用正弦定理求得CE的值，可求为直角，根据三角形的面积公式即可求解．

【解答】

解：由，
得，解得
因为，所以，，
所以，
又因为，所以
因为，所以
故答案为

16.【答案】

【解析】解：，
，，
，
即和均为以AC为斜边的直角三角形，
所以AC为球的直径，
所以球的半径，
所以其表面积为，
故答案为：
判断出AC是球的直径，计算出球的半径，从而求得球的表面积．
本题考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题．

17.【答案】解：设等差数列的公差为由，，得
解得，
故
当时，，得
当时，由，得，两式相减得，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，所以
依题意，，
所以，，
两式相减，得，
解得

【解析】设等差数列的公差为由，，利用通项公式解得，d，可得当时，，得当时，由，得，两式相减得，利用等比数列的通项公式可得
依题意，，利用错位相减法、求和公式即可得出
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18.【答案】证明：设AC，BD交于点O，
，，
又，，，
≌，，
≌，，
，
又平面ABCD，平面ABCD，
，又，
平面，又平面，

解：由可知，，
，，，
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
，令可得，

与平面所成角的正弦值为

【解析】根据三角形相似证明，结合可得平面，故而；
建立空间坐标系，求出平面的法向量，通过计算与的夹角得出所求线面角的大小．
本题考查了线面垂直的判定和性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．

19.【答案】解：由该工厂只有1名维修工人，
所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障．
工厂每月能正常运行的概率
的可能取值为34，46，
，，，
即X的分布列为：

X	34	46	58
P

则
若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为万元．
，
该厂应再招聘1名维修工人．

【解析】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由该工厂只有1名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障．利用二项分布列的计算公式即可得出．
的可能取值为34，46，利用二项分布列的计算公式即可得出概率分布列．

20.【答案】解：因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以，
又离心率，所以，
于是有，解得，
所以椭圆C的方程为
证明：由于直线l的斜率为，可设直线l的方程为，代入椭圆方程，
可得
由于直线l交椭圆C于P，Q两点，所以，整理解得
设点，，由于点P与点E关于原点对称，故点，
于是有，
若直线AE与AQ的斜率分别为，，由于点，
则，
又因为，，
于是有，
故直线AE与AQ的斜率之和为0，即，所以

【解析】利用已知条件求解，结合离心率，转化求解a，得到椭圆方程．
设直线l的方程为，代入椭圆方程，利用，整理解得设点，，求出，
结合韦达定理，转化求解直线AE与AQ的斜率分别为，，推出即可．
本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．

21.【答案】解：因为，其定义域为，
所以
①当时，令，得；令，得，
此时在上单调递减，在上单调递增．
②当时，令，得或；令，得，
此时在，上单调递减，在上单调递增．
③当时，，此时在上单调递减．
④当时，令，得或；令，得，
此时在，上单调递减，在上单调递增．
由可知：①当时，
易证，所以
因为，，
所以恰有两个不同的零点，只需，解得
②当时，，不符合题意．
③当时，在上单调递减，不符合题意．
④当时，由于在，上单调递减，在上单调递增，
且，又，由于，，
所以，函数最多只有1个零点，与题意不符．
综上可知，，即a的取值范围为

【解析】求函数的导数，讨论a求函数的单调性．
由可知：①当时，函数恰有两个零点转换成只需，分类讨论，解得
本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．考查函数的零点问题，属于难题．

22.【答案】解：将l的参数方程为参数消去参数t，得
把代入，
可得曲线C的直角坐标方程为；
由知曲线C是以为圆心，3为半径的圆，设圆心为A，
则圆心A到直线l的距离，
与圆A相离，且
连接AQ，AP，在中，，
，即的最小值为

【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．
将l的参数方程中的参数t消去，可得直线l的普通方程．把代入，可得曲线C的直角坐标方程；
由知曲线C是以为圆心，3为半径的圆，设圆心为A，利用圆心到直线的距离大于半径可得l与圆A相离，再由勾股定理及点到直线的距离求解的最小值．