2021--2022学年高二数学下学期期中模拟卷06（人教A版2019新高考版本）

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高二数学下学期期中模拟卷（6）（人教A版2019）一、单选题1．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）下列四个选项中，不正确的是（       ）A．数列的图象是一群孤立的点B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列C．数列，，，，…的一个通项公式是D．数列，，…，是递减数列【答案】B【解析】【分析】根据数列的函数特征，可判断A;比较数列的项，可判断B;根据数列的前几项可验证数列的通项公式，判断C;观察数列的项的变化，可判断D.【详解】因为数列是一类特殊的函数，其自变量 ,故数列的图象是一群孤立的点，A正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B错误；观察数列，，，，…的前四项规律，可知一个通项公式是，C正确；数列，，…，的每项是越来越小，故数列是递减数列，D正确，故选：B2．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）长治市区的汽车牌照在“晋D”后面由1个英文字母（除O，I之外的24个英文字母)和4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码个数为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】安排先选后排的原则，进行计算.【详解】先从24个英文字母中选择一个，有种选择，再从10个数字中选择4个，有种选择，选出的4个数字与1个英文字母进行全排列，即种选择，由分步乘法计数原理可知：4个数字互不相同的牌照号码个数为.故选：D3．（2022·江苏·高二课时练习）的展开式中的系数为（       ）A． B．1 C． D．20【答案】C【解析】【分析】把已知式变形后，由二项式定理求解．【详解】，因此所求的系数即为的展开式中的系数，由二项式定理知系数为．故选：C．4．（2022·宁夏·银川一中高二期末（文））曲线上的点到直线的最短距离是（       ）A． B． C． D．1【答案】B【解析】【分析】先求与平行且与相切的切线切点，再根据点到直线距离公式得结果.【详解】设与平行的直线与相切，则切线斜率k=1，∵∴，由，得当时,即切点坐标为P(1,0)，则点(1,0)到直线的距离就是线上的点到直线的最短距离，∴点(1,0)到直线的距离为：，∴曲线上的点到直线l: 的距离的最小值为.故选：B.5．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数在区间上单调，则a的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】首先求函数的导数，根据函数的单调性，利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求得的取值范围.【详解】，因为函数在区间上单调，所以或，当恒成立，即或，得或，因为，所以.故选：B6．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（　　）A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40【答案】D【解析】【分析】由{an}是等比数列可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，列方程组，从而即可求出S40的值．【详解】由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13构成等比数列，∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．故选：D．7．（2022·全国·高二课时练习）设首项为1的数列的前n项和为，已知，现有下面四个结论①数列为等比数列；②数列的通项公式为；③数列为等比数列；④数列的前n项和为.其中结论正确的个数是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据递推关系可得，可得①正确，利用等比数列求出，根据前n项和求，可判断②③，计算，并分组求和可判断④.【详解】因为，所以，又.所以数列为首项是2，公比是2的等比数列，所以，则.当时，，但，所以①正确，②③错误，因为，所以的前n项和为，所以④正确.故选：B【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由求数列的通项公式，属于中档题.8．（2022·全国·高二课时练习）1.已知等差数列的前项和为，满足，，则下列结论正确的是(       )A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形为，构造函数，可知和是函数f(x)的零点，故利用导数研究其f(x)单调性并研究其零点，结合函数零点存在性定理求得的关系，再利用等差数列的性质与求和公式即可求解.【详解】∵，，∴，，∴令，则f()＝f()＝0，即和是函数f(x)的零点，∵，故f(x)最多有一个零点，∴，∴，∴﹒又∵，，∴1＜＜2，∴，，∴.故选：D.二、多选题9．（2022·湖南·临澧县第一中学高二开学考试）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是（       ）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果.【详解】解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹的.则选项B满足条件，所以在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是ACD选项，故选：ACD.10．（2022·河北邯郸·高二期末）已知等比数列满足：，，，则下列结论中正确的有（       ）A．B．C．若m，，，则的最小值为是D．存在m，n，，且，使得【答案】BC【解析】【分析】利用等比数列的通项公式构造首项、公比的方程组，求得首项、公比从得到通项公式，进而判断A、B是否正确；由得，利用基本不等式判断C是否正确；将变为由等式左右两边数的奇偶性判断D是否正确【详解】由得，所以，所以A错误，B正确；因为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以C正确；若，则，所以，左边为奇数，右边为偶数，上式不可能成立，所以D错误.故选：BC.11．（2022·江苏·泰兴市第一高级中学高二阶段练习）2021年5月20日，第五届世界智能大会在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小刘为五名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有（       ）A．若礼仪工作必须安排两人，其余工作各安排一人，则有60种不同的方案B．若每项工作至少安排一人，则有120种不同的方案C．安排五人排成一排拍照，若小赵、小李相邻，则有42种不同的站法D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排两人，后排三人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法【答案】AD【解析】【分析】利用排列组合知识逐项分析即得.【详解】若礼仪工作必须安排两人，其余工作各安排一人，则先从五人中任选两人安排在礼仪岗位，剩余三人在其余三个岗位上全排列即可，故不同的方案有（种），A正确；若每项工作至少安排一人，则先将五人按2，1，1，1分成四组，再分配到四个岗位上，故不同的方案有（种），故B错误；若小赵、小李相邻，可把两人看成一个整体，与剩下的三人全排列，有种排法，小赵、小李内部有种排法，所以共有种不同的站法，C错误；前排有种站法，后排三人高的站中间有种站法，所以共有种不同的站法，故D正确.故选：AD.12．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习）若函数，则（　　）A．函数在单调递增，则 B．函数有三个单调区间C．方程有且仅有一个根 D．函数有且仅有一个零点【答案】BC【解析】【分析】求出导函数，由的正负判断A，求出导函数，确定的零点个数，得函数的单调性，判断B，方程分离参数后，引入新函数，由导数确定新函数的性质后判断C，令，方程变为，解得，转化为，即，得，令，同样由导数确定的性质可判断D．【详解】A：恒成立，在 恒成立，得，故A错误；B：令所以函数有两个零点所以在上，即，在和上单调递增，在，即，则单调递减，所以有3个单调区间，故B正确；C： 方程的根为的根，令则.令，则所以在，q（x）单调递减，在单调递增，所以，所以，有，单调递增.所以函数与有一个交点，即方程有一个根，所以方程有且只有一个根，故C正确；D： 函数的零点为方程的根，令，则所以，有，即，得令，则，令，则，所以在R上单调递增，又所以存在使得，则在，即单调递减，在上，即，s（x）单调递增，所以，当时，方程无根，函数没有零点；当时，方程有一个根，函数有一个零点；当时，方程有两个根，函数有两个零点，故D错误.故选：BC【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，确定函数零点个数、方程根的个数问题，解题关键是由导数研究函数的单调性，对函数的零点与方程根的个数问题的关系是问题的转化，通过换元法，参数分离法等转化为研究函数的单调性与极值．三、填空题13．（2022·全国·高二单元测试）的展开式中的系数为________用数字填写答案【答案】20【解析】【分析】直接用二项式定理讨论即可.【详解】二项式中，，当中取x时，这一项为，所以，，当中取y时，这一项为，所以，，所以展开式中的系数为故答案为：14．（2022·全国·高二单元测试）有3张都标着字母，5张分别标着数字1，2，3，4，5的卡片，若任取其中4张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于______（用数字作答）.【答案】500【解析】【分析】按照牌号中含字母的个数分成4类计数，再相加即可得解.【详解】若牌号中不含字母，则有种牌号；若牌号中含一个字母，则有种牌号；若牌号中含两个字母，则有种牌号；若牌号中含三个字母，则有种牌号，所以可以组成的不同牌号的总数等于.故答案为：500【点睛】本题考查了分类加法计数原理，考查了排列组合的综合应用，属于基础题.15．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）在数列中，已知， (n≥2，)，记数列的前n项之积为，若，则n的值为________【答案】2020【解析】【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式即可计算作答.【详解】因，，显然，则有，而，有，则，从而得数列是首项为1，公差为1的等差数列，因此，，整理得，则，当时，，所以n的值为2020.故答案为：2020【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助取倒数的方法探讨项间关系而解决问题.16．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）函数,关于x的方程恰有四个不同的实数解，则正数m的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】先研究的单调性及极值，函数图象，换元后，转化为二次函数零点分布问题，从而列出不等式，求出正数m的取值范围.【详解】定义域为R，，当时，，当或时，，即在，单调递增，在上单调递减，其中，，当时，恒成立，在上，，令，要想关于x的方程恰有四个不同的实数解，则方程要有两个根，则，解得：，不妨设为，且，则，，故两根均大于0，可知，，，令，则有，解得：，综上：正数m的取值范围是【点睛】复合函数，已知函数零点个数，求解参数取值范围的题目，通常要换元，并转化为一元二次方程根的分布问题，数形结合进行解决.四、解答题17．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）在二项式的展开式中；(1)若，求常数项；(2)若第4项的系数与第7项的系数比为，求：①二项展开式中的各项的二项式系数之和；       ②二项展开式中的各项的系数之和．【答案】(1)60(2)①1024；②1【解析】【分析】（1）根据二项式定理求解（2）根据二项式定理与条件求解，二项式系数之和为，系数和可赋值(1)若，则，（，…，9）令     ∴∴常数项为.(2)，（，…，），解得①②令，得系数和为18．（2022·全国·高二单元测试）在班级活动中，名男生和名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）(1)名女生不能相邻，有多少种不同的排法？(2)名男生相邻有多少种不同的站法？(3)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？(4)甲、乙、丙三人按从高到低从左到右排列，有多少种不同的排法？（甲、乙、丙三位同学身高互不相等）(5)从中选出名男生和名女生表演分四个不同角色的朗通，有多少种选派方法？【答案】(1)1440；(2)576；(3)3720；(4)840；(5)432.【解析】【分析】（1）利用插空法求解；（2）利用捆绑法求解；（3）利用分类讨论求解；（4）利用缩倍法求解；（5）利用分步乘法原理求解.(1)解：分步进行分析：①将名男生全排列，有种情况，排好后有个空位，②在个空位中任选个，安排名女生，有种情况，故名女生不能相邻的排法有种；(2)解：分步进行分析：①将名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有种情况，②将这个整体与名女生全排列，有种情况，故名男生相邻的排法有种；(3)解：分种情况讨论：①女生甲站在右端，其余人全排列，有种情况，②女生甲不站在右端有种站法，女生乙有种站法，其余人全排，有种情况，故一共有种；(4)解：首先把名同学全排列，共有种结果，甲、乙、丙三人内部的排列共有种结果，要使甲、乙、丙三个人按照一个从高到低从左到右的顺序排列，结果数只占种结果中的一种，故有种.(5)解：分步进行分析：①名男生中选取名男生，名女生中选取名女生，有种情况，②将选出的人全排列，承担种不同的角色，有种情况，故有种.19．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，，．(1)求的通项公式；(2)设bn，记数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据数列递推式，利用累加法求数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和，即可证明结论．(1)由，则，，…，，累加得：，验证a1＝1成立，所以；(2)由（1），，所以...1．当时，，则0，所以．20．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）（1）设函数．求的极大值；（2）求证：时，【答案】（1）极大值0；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)求导，解方程，判断单调性，然后可得极值；(2)作差，构造函数，利用导数求单调区间，根据单调性可证.【详解】解：（1）由题意可知，函数的定义域为，，故当时，，故函数在上单调递增；当时，，故函数在上单调递减．故当时，取到极大值，．（2）要证时，，只需证：即可，设，，则，故当时，，故在上单调递增，故当时，，即，∴．21．（2022·山东烟台·高二期末）已知等比数列的公比，且，是的等差中项.数列的前n项和为，满足，.(1)求和的通项公式；(2)设，求的前2n项和.【答案】(1)，（）(2)【解析】【分析】（1）等差数列和等比数列的基本量的计算，根据条件列出方程，并解方程即可；（2）数列根据的奇偶分段表示，奇数项通过乘公比错位相减法克求得前项和，偶数项则是通过裂项求和.(1)由得，.又，，所以，即，解得或（舍去）.所以（），当时，，当时，，经检验，时，适合上式，故（）.综上可得：，(2)由（1）可知，当n为奇数时，，当n为偶数时，，由题意，有   ①   ②① - ② 得：，则有：..故.22．（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）已知函数．(1)若，求函数在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设存在两个极值点，且，若，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即求；（2）先求出，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论．(1)若，则，所以又，所以，即在点(1，－2)处的切线斜率为0,所以，切线方程为．(2)∵，∴，因为存在两个极值点，，所以存在两个互异的正实数根，，所以，则，所以，所以，令，则，，，在上单调递减，，而，即，．