2021--2022学年高二数学下学期期中模拟卷07（人教A版2019新高考版本）

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高二数学下学期期中模拟卷（7）（人教A版2019）一、单选题1．（2022·宁夏·银川一中高二期末（理））设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案.【详解】由函数的图象可知, 在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时, ;当x∈(0,2)时, .因为可化为或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集为.故选:C2．（2022·福建·古田县第一中学高二阶段练习）函数在处有极值10，则为（       ）A． B．15 C．或15 D．不存在【答案】B【解析】【分析】依据函数极值的定义列方程组即可求得的值.【详解】由，得则，解之得或当时，，则在定义域上单调递增，在处无极值，不符合题意，舍去.当时，，则在处取极小值10，符合题意.则故选：B3．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二开学考试）记为等比数列的前n项和.已知，则公比q为（       ）A． B．1 C． D．1或【答案】D【解析】【分析】就公比是否为1分类讨论可得q的值.【详解】∵，①当时，，满足条件.②当时，可得解得.综上可知：或.故选：D.4．（2022·江苏省南菁高级中学高二阶段练习）乘积展开后的项数是（        ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用乘法计数原理可得结果.【详解】由题意可知乘积展开后的项数是.故选：C.5．（2022·福建·古田县第一中学高二阶段练习）设，，（），则a，b，c的大小关系为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用函数的单调性对a，b，c进行大小比较即可.【详解】令，则由，得，由，得则在单调递减，在单调递增，在时取最小值.故，且又由，可得，则即，则综上，有，即故选：A6．（2022·重庆·高二期末）已知等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】结合等差数列的性质求得公比，然后由等比数列的性质得结论．【详解】设的公比为，　因为，，成等差数列，所以，即，，或（舍去，因为数列各项为正）．所以．故选：A．7．（2022·湖南·高二阶段练习）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（       ） A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种【答案】D【解析】【分析】先从A区域涂色，讨论B，D区域涂相同、不同颜色的两种情况，再确定C，E，F区域涂色方法，应用分类分步计数原理求不同涂色方法数.【详解】1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．故不同的涂色方法共有756种．故选：D8．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知a，，且，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】得出答案可用特殊值法，严谨证明则要构造函数，判断不等式【详解】法1：令，；，．法2：由于，则，分析．令，则，可知，故在上单调递减时，，同理时，，法3：由不等式链：当时，，当时，，由于在上单调递增，则；由不等式链：当时，，当时，，由于在上单调递增，则．故选：D二、多选题9．（2022·江苏省南菁高级中学高二阶段练习）关于排列组合数，下列结论正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】【分析】根据排列数计算公式，可判断A错误，D正确；根据组合数的性质或组合数的计算公式，可得出B正确；利用排列与组合的关系可判断C错误.【详解】解：，而，故A选项错误；，，所以，故B正确；，，所以，故C错误；，故D正确；综上所述，故选：BD.10．（2022·山西运城·高二阶段练习）在的展开式中，二项式的系数和为，则下列说法正确的是（       ）A． B．展开式中各项系数和为C．第项的二项式系数最大 D．展开式中所有系数的绝对值的和为【答案】ABD【解析】【分析】根据二项式定理相关性质计算即可.【详解】由二项式定理可知，二项式系数之和为，解得，A选项正确；令，得，B选项正确；时，的展开式共项，二项式系数最大的项为第项，C选项错误；，则，，，为负数，，，，，为正数，故展开式中所有系数的绝对值的和为，令，得，D选项正确；故选：ABD.11．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（       ）A．B．的最小值为C．D．当且仅当时，取最大值【答案】AB【解析】【分析】由递推关系式可得，知数列为等差数列，由等差数列通项公式可知A正确；由通项公式可知当时，，知B正确；分别在和求得的前项和，知C错误；由当时，，可知D错误.【详解】对于A，由得：，数列为等差数列，设其公差为，则，，A正确；对于B，，且当时，，的最小值为，B正确；对于C，令，解得：，则当时，；当时，；当时，；综上所述：，C错误；对于D，当时，；当时，；当时，；当或时，取最大值，D错误.故选：AB.12．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知直线分别与函数和的图像交于点，，则下列不等式正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根据反函数的知识可得函数和的图像关于直线对称，然后可得，，然后利用均值不等式可判断A，利用可得，，然后可判断B，由可得，然后利用函数的单调性可判断C，由可得，然后可判断D.【详解】因为函数和的图像关于直线对称，又因为直线的斜率1与直线的斜率的乘积为，因此直线与直线互相垂直，显然直线也关于直线对称，解方程组得所以直线和的交点为，所以，，，，，．对于选项A，因为，，，所以，故A正确；对于选项B，因为，关于点对称，所以有，因此有，即，因为点在直线上，而，所以，因此，显然函数在上单调递增，所以，故B正确；对于选项C，因为，，，所以，因此有，设函数，，因为，所以，因此函数单调递增，当时，有，即，因此有，故C错误；对于选项D，因为，关于点对称，所以，因此，所以，即，故D正确．故选：ABD．三、填空题13．（2022·浙江·高二阶段练习）将1，2，3，4，5这5个数字自左向右排成一行，要求数字4，5都不能排在两端，则不同的排法共有_______种.（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先从1，2，3中选2个数排在两端，再将剩下的一个数和4，5全排列，然后利用分步计数原理求解.【详解】解：由题意，先从1，2，3中选2个数排在两端，有种方法；再将剩下的一个数和4，5全排列，有种方法；然后由分步计数原理得，共有种方法，故答案为：3614．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则数列的前n项和的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】利用给定条件求出等差数列的通项，确定其所有非正数项即可计算作答.【详解】因成等比数列，则，即，解得，因此，，由得：，于是得等差数列是递增数列，前5项均为非正数，从第6项起为正数，而，则有数列的前4项和与前5项和相等，并且最小，，所以数列的前n项和的最小值为.故答案为：15．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为（为实数），若是严格增数列，则的取值范围为______【答案】【解析】【分析】由已知条件推导出对恒成立，即可求出的取值范围.【详解】因为数列的通项公式为，且是严格增数列，所以，即所以对恒成立，所以.所以的取值范围为.故答案为：16．（2022·江苏省南菁高级中学高二阶段练习）已知函数，且对任意的恒成立，则整数的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最小值的取值范围，即可得出整数的最大值.【详解】由题意可知，对任意的，，构造函数，其中，则，令，其中，，所以，函数在上单调递增，因为，，所以存在，使得，即，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，，故整数的最大值为.故答案为：.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.四、解答题17．（2022·江苏省南菁高级中学高二阶段练习）（1）解不等式；（2）求的值 ．【答案】（1）的取值集合为；（2）.【解析】【分析】（1）利用组合数公式化简可得出关于的不等式，结合的取值范围可得出的取值；（2）根据题意列出关于的不等式组，结合可求得的值，再结合排列数公式可求得结果.【详解】解：（1）由得，整理得，整理可得，解得，因为且，故的取值集合为；（2）由已知可得，解得，因为，所以，因此，.18．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数，(1)若，求的极值；(2)当时，在上的最大值为，求在该区间上的最小值．【答案】(1)极大值为，极小值为(2)【解析】【分析】（1）利用导数可求得单调性，由此得到极值点，代入可得极值；（2）利用导数可求得单调性，结合，可知，利用可构造方程求得，从而得到.(1)当时，，，令，解得：，，则变化情况如下表：极大值极小值 的极大值为；极小值为(2)，，又，；令，解得：，；则变化情况如下表：极大值极小值 在，上单调递增，在上单调递减，，，，又，，在上的最大值为，解得：；.19．（2022·上海市松江二中高二阶段练习）在一次招聘会上，应聘者小李被甲､乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%.(1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？(2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？（参考数据：，，，【答案】(1)万元(2)小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入．【解析】【分析】（1）依题意可得小李在乙公司工作第年的年薪为，代入，即可得解；（2）求出小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入，小李在乙公司工作10年的总收入，建立不等式，即可得出结论．(1)解：依题意，小李在乙公司工作第年的年薪为．所以小李在乙公司连续工作5年，则万元；(2)解：由题意，小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入为，小李在乙公司工作10年的总收入，则，，，小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入．20．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知函数在处取得极值(1)求函数的单调性；(2)证明：对于任意的正整数，不等式都成立.【答案】(1)增区间是，减区间是(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用极值点列方程求出，代入，求导即可得单调性；（2）由（1）可得，令，则，利用其即可证明不等式.(1)，为的极值点，令＋－ 的增区间是，减区间是；(2)由（1）知当时，，即令，则，即，即21．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由，【答案】(1)(2)不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）对题干条件变形得到是首项为4，公比时2的等比数列，利用等比数列通项公式求出答案；（2）假设存在，根据题意得到，结合，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，求出，故矛盾，得到答案.(1)，变形为：，，其中，所以是首项为4，公比为2的等比数列，故，即，当时，，其中满足上式，综上：的通项公式为(2)不存在，理由如下：由（1）知：，，由题意得：，所以，假设存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，所以，即，由于m，k，p成等差数列，故，所以，所以，即，即，所以，进而得到，这与假设矛盾，故在数列中是否不存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.22．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数.(1)若恒成立，求实数a的取值范围，(2)若，证明.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）将恒成立，转化为恒成立，然后由求解；（2）由（1）知，得到，由条件得到，然后将证，转化为证，令，转化为证，然后令证明.(1)解：因为函数的定义域为，所以恒成立等价于恒成立，所以.令，则.当时，，单调递增；当时，单调递减.所以，故，即实数a的取值范围是.(2)证明：由（1）知，即，由，，得，所以.要证，只需证，即证，即，即，也就是.整理得，即证.令，则要证.令，则，所以在上单调递增，所以.所以当时，，故原结论成立，即.【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是将，变形为，结合，，，转化为而得证.