第二章测评 高中数学新北师大版选择性必修第二册（2022学年）

这是一份第二章测评 高中数学新北师大版选择性必修第二册（2022学年），共10页。

第二章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=x4-2x2+5的单调递减区间是(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　
A.(-∞，-1)和(0，1)
B.(-1，0)和(1，+∞)
C.(-1，1)
D.(-∞，-1)和(1，+∞)
【答案】A
【解析】y'=4x3-4x=4x(x2-1)，令y'<0得函数的单调递减区间为(-∞，-1)和(0，1)，故选A.
2.二次函数y=f(x)的图象过原点，且它的导函数y=f'(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y=f(x)的图象的顶点所在象限是(　　)
A.一 B.二 C.三 D.四
【答案】C
【解析】∵y=f'(x)的图象过第一、二、三象限，∴二次函数y=f(x)的图象从左到右看必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又其图象过原点，∴顶点在第三象限.
3.奇函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=1a处有极值，则ac+2b的值为(　　)
A.3 B.-3 C.0 D.1
【答案】B
【解析】∵函数f(x)=ax3+bx2+cx为奇函数，
∴b=0.
f'(x)=3ax2+c，
由题意得f'1a=0，
即3a+c=0，
则ac=-3，所以ac+2b=-3.
4.已知函数y=f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y=12x+2，则f(1)+f'(1)的值等于(　　)
A.1 B.52 C.3 D.0
【答案】C
【解析】由已知切点在切线上，所以f(1)=12+2=52，切点处的导数为切线斜率，
所以f'(1)=12，
所以f(1)+f'(1)=3.
5.曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　)
A.1 B.2 C.5 D.3
【答案】C
【解析】直线2x-y+3=0的斜率为2，f'(x)=22x-1，
令22x-1=2，解得x=1，
由于f(1)=ln(2-1)=0，故曲线f(x)在点(1，0)处的切线斜率为2，则点(1，0)到直线2x-y+3=0的距离d=|2-0+3|22+(-1)2=5，即曲线f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是5，故选C.
6.若函数f(x)=12x2-aln x在(1，+∞)内单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，+∞) B.[1，+∞)
C.(-∞，1) D.(-∞，1]
【答案】D
【解析】由题意知，f'(x)=x-ax=x2-ax(x>0)，
∵f(x)在区间(1，+∞)内单调递增，
∴f'(x)≥0在区间(1，+∞)内恒成立，
∴a≤x2在区间(1，+∞)内恒成立，
∵x>1时，x2>1，
∴a≤1，故选D.
7.设函数f(x)=13x-ln x(x>0)，则y=f(x)(　　)
A.在区间1e，1，(1，e)内均有零点
B.在区间1e，1，(1，e)内均无零点
C.在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点
D.在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点
【答案】C
【解析】由题意得f'(x)=x-33x(x>0)，
令f'(x)>0，得x>3;
令f'(x)<0，得0 令f'(x)=0，得x=3，
故知函数f(x)在区间(0，3)内单调递减，在区间(3，+∞)内单调递增，在点x=3处有极小值1-ln 3<0;
又f(1)=13>0，f(e)=e3-1<0，f1e=13e+1>0，
所以f(x)在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点.
8.设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f'(x)>g'(x)，则当a A.f(x)>g(x)
B.f(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)
D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
【答案】C
【解析】∵f'(x)>g'(x)，∴[f(x)-g(x)]'>0，
∴h(x)=f(x)-g(x)在[a，b]内单调递增，
∴f(x)-g(x)>f(a)-g(a)，
∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a).
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若函数f(x)=13x3+x2-23在区间(a-1，a+4)上存在最小值，则整数a可以取(　　)
A.-3 B.-2 C.-1 D.0
【答案】BCD
【解析】由题意，得f'(x)=x2+2x=x(x+2)，
故f(x)在(-∞，-2)，(0，+∞)内单调递增，
在(-2，0)内单调递减，作出其大致图象如图所示，
令13x3+x2-23=-23，得x=0或x=-3，

则结合图象可知，-3≤a-1<0,a+4>0,
解得a∈[-2，1)，又a∈Z，
所以，a可以取-2，-1，0.
10.下列结论中不正确的是(　　)
A.若y=cos1x，则y'=-1xsin1x
B.若y=sin x2，则y'=2xcos x2
C.若y=cos 5x，则y'=-sin 5x
D.若y=12xsin 2x，则y'=xsin 2x
【答案】ACD
【解析】y=cos1x，则y'=-1x2sin1x，故A错误;
y=sin x2，则y'=2xcos x2，故B正确;
y=cos 5x，则y'=-5sin 5x，故C错误;
y=12xsin 2x，则y'=12sin 2x+xcos 2x，故D错误.故选ACD.
11.已知ln x1-x1-y1+2=0，x2+2y2-4-2ln 2=0，记M=(x1-x2)2+(y1-y2)2，则下列说法正确的是(　　)
A.M的最小值为25
B.当M最小时，x2=125
C.M的最小值为45
D.当M最小时，x2=65
【答案】BC
【解析】由ln x1-x1-y1+2=0得y1=ln x1-x1+2，(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值可转化为函数y=ln x-x+2图象上的点到直线x+2y-4-2ln 2=0上的点的距离的最小值的平方，
由y=ln x-x+2得y'=1x-1，
与直线x+2y-4-2ln 2=0平行且与曲线y=ln x-x+2相切的直线的斜率为-12，
则令1x-1=-12，解得x=2.
∴切点坐标为(2，ln 2).
∴(2，ln 2)到直线x+2y-4-2ln 2=0的距离d=|2+2ln2-4-2ln2|1+4=255，
即函数y=ln x-x+2上的点到直线x+2y-4-2ln 2=0上的点的距离的最小值为255，
∴(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为d2=45.
过(2，ln 2)与x+2y-4-2ln 2=0垂直的直线为y-ln 2=2(x-2)，
即2x-y-4+ln 2=0，
由x+2y-4-2ln2=0,2x-y-4+ln2=0,解得x=125，即当M最小时，x2=125，故选BC.
12.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(　　)
A.y=cos x B.y=ln x
C.y=ex D.y=x2
【答案】AD
【解析】由题意函数y=f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)=-1.
y=cos x的导数为y'=-sin x，存在x1=π2，x2=-π2，使得f'(x1)f'(x2)=-1;
y=ln x的导数为y'=1x>0，不存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)=-1;
y=ex的导数y'=ex>0，不存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)=-1;
y=x2的导数为y'=2x，存在x1=1，x2=-14，使得f'(x1)f'(x2)=-1.
综上，具有性质T的函数为AD.
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C:y=x3-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为　　　　　　　. 
【答案】(-2，15)
【解析】令y'=3x2-10=2，得x=±2，又点P在第二象限内，∴x=-2，得点P的坐标为(-2，15).
14.若曲线y=ax2-ln(x+1)在点(1，b)处的切线平行于x轴，则a=　　　　　　　　. 
【答案】14
【解析】由题意得y'=2ax-1x+1，
∵曲线在点(1，b)处的切线平行于x轴，
∴2a-12=0，
∴a=14.
15.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法:

①函数f(x)在区间(1，+∞)内是增函数;
②函数f(x)在区间(-1，1)上无单调性;
③函数f(x)在x=-12处取得极大值;
④函数f(x)在x=1处取得极小值.
其中正确的说法有　　　　　　.(填序号) 
【答案】①④
【解析】从图象上可以发现，当x∈(1，+∞)时，xf'(x)>0，于是f'(x)>0，故f(x)在区间(1，+∞)内单调递增，故①正确;当x∈(-1，1)时，f'(x)<0，所以函数f(x)在区间(-1，1)内单调递减，②错误，③也错误;f(x)在区间(0，1)内单调递减，而在区间(1，+∞)内单调递增，所以函数f(x)在x=1处取得极小值，故④正确.
16.定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”.
①设f(x)=sin x，则f(x)在(0，π)上的“新驻点”为　　　　　. 
②如果函数g(x)=ln(x+1)与h(x)=x+ex的“新驻点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是　　　　　. 
【答案】π4　α<β
【解析】①f'(x)=cos x，
令sin x=cos x，即tan x=1，
因为x∈(0，π)，故x=π4.
②g'(x)=11+x，
由题意可得，g(α)=g'(α)，
即11+α=ln(1+α)，
设H(x)=11+x-ln(1+x)，则易得H(x)在(-1，+∞)内单调递减且H(1)=12-ln 2=lne2<0，
故α<1，
h'(x)=1+ex，由1+eβ=β+eβ，
故β=1，
所以α<β.
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8，其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在点A(1，16)处的切线方程.
解(1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a.
∵f(x)在x=3处取得极值，
∴f'(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0，
解得a=3.
∴f(x)=2x3-12x2+18x+8.
(2)点A在f(x)的图象上，
由(1)可知f'(x)=6x2-24x+18，
f'(1)=6-24+18=0，
∴切线方程为y=16.
18.(12分)设函数f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0).
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(0，1]上的最大值为12，求a的值.
解(1)函数f(x)的定义域为(0，2)，
f'(x)=1x−12-x+a.
当a=1时，f'(x)=-x2+2x(2-x)，
所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，
单调递减区间为(2，2).
(2)当x∈(0，1]时，f'(x)=2-2xx(2-x)+a>0，
即f(x)在(0，1]上单调递增，故f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)=a，因此a=12.
19.(12分)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).
(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程;
(2)若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围.
解(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，
当a=4时，f(x)=(x+1)ln x-4(x-1)，
f'(x)=ln x+1x-3，f'(1)=-2，f(1)=0，
曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y=-2(x-1)，
即2x+y-2=0.
(2)当x∈(1，+∞)时，f(x)>0等价于ln x-a(x-1)x+1>0，设g(x)=ln x-a(x-1)x+1，则
g'(x)=1x−2a(x+1)2=x2+2(1-a)x+1x(x+1)2，且g(1)=0.
①当a≤2，x∈(1，+∞)时，x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0，故g'(x)>0，g(x)在(1，+∞)内单调递增，
因此g(x)>0;
②当a>2时，令g'(x)=0得，
x1=a-1-(a-1)2-1，x2=a-1+(a-1)2-1.
由x2>1和x1x2=1得x1<1，
故当x∈(1，x2)时，g'(x)<0，g(x)在(1，x2)内单调递减，
因此g(x)<0，
综上，a的取值范围是(-∞，2].
20.(12分)为迎接某网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品在狂欢节的销售量P(单位:万件)与促销费用x(单位:万元)满足P=3-2x+1(其中0≤x≤a，a为正常数).已知生产该批产品P万件还需投入成本(10+2P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为4+20P元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.
(1)将该产品的利润y(单位:万元)表示为促销费用x(单位:万元)的函数;
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?
解(1)由题意知，y=4+20PP-x-(10+2P)，
将P=3-2x+1代入化简，
得y=16-4x+1-x(0≤x≤a).
(2)y'=-1+4(x+1)2=-(x+1)2+4(x+1)2
=-x2+2x-3(x+1)2=-(x+3)(x-1)(x+1)2.
①当a>1时，x∈(0，1)时，y'>0，
所以函数y=16-x-4x+1在(0，1)内单调递增;
x∈(1，a)时，y'<0，所以函数y=16-x-4x+1在(1，a)内单调递减，
故促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;
②当a≤1时，因为函数y=16-x-4x+1在[0，a]内单调递增，
所以x=a时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大.
综上，当a>1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大;
当a≤1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大.
21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=23时，y=f(x)有极值.
(1)求a，b，c的值;
(2)求y=f(x)在[-3，1]上的最大值和最小值.
解(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c，
得f'(x)=3x2+2ax+b.
由题意，f'(1)=3，可得2a+b=0.①
当x=23时，y=f(x)有极值，则f'23=0，
可得4a+3b+4=0.②
由①②解得a=2，b=-4，又f(1)=4，
∴1+a+b+c=4，∴c=5.
故a=2，b=-4，c=5.
(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5，
∴f'(x)=3x2+4x-4.
令f'(x)=0，得x1=-2，x2=23.
当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表:
x
-3
(-3，-2)
-2
-2，23
23
23，1
1
f'(x)

+
0
-
0
+

f(x)
8
↗
13
↘
9527
↗
4

∴f(x)max=13，f(x)min=9527.
22.(12分)设函数f(x)=x3+bx+c，曲线y=f(x)在点12，f12处的切线与y轴垂直.
(1)求b;
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
(1)解f'(x)=3x2+b，依题意得f'12=0，即34+b=0.
故b=-34.
(2)证明由(1)知f(x)=x3-34x+c，f'(x)=3x2-34.令f'(x)=0，解得x=-12或x=12.
f'(x)与f(x)的情况为:
x
-∞，
-12
-12
-12，
12
12
12，
+∞
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
c+14
↘
c-14
↗

因为f(1)=f-12=c+14，
所以当c<-14时，f(x)只有大于1的零点.
因为f(-1)=f12=c-14，
所以当c>14时，f(x)只有小于-1的零点.
由题设可知-14≤c≤14.
当c=-14时，f(x)只有两个零点-12和1.
当c=14时，f(x)只有两个零点-1和12.
当-14 综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.