高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.2 等比数列的前n项和第2课时同步达标检测题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.2 等比数列的前n项和第2课时同步达标检测题，共6页。
1.3.2　等比数列的前n项和第2课时　等比数列前n项和的综合应用1.等比数列{an}中，a3=3S2+2，a4=3S3+2，则公比q等于(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】∵a3=3S2+2，a4=3S3+2，∴a4-a3=3(S3-S2)=3a3，即a4=4a3，∴q==4.2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-，则x的值为(　　)A. B.- C. D.-【答案】C【解析】∵Sn=x·3n-1-·3n-，由Sn=A(1-qn)，得，∴x=，故选C.3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9等于(　　)A. B.- C. D.【答案】A【解析】因为a7+a8+a9=S9-S6，且S3，S6-S3，S9-S6也成等比数列，即8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，即S9-S6=，所以a7+a8+a9=.4.设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2-8a5=0，则的值为(　　)A. B.2 C. D.17【答案】C【解析】=q3=，∴q=.∴=1+=1+q4=.5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则等于(　　)A.2 B. C. D.3【答案】B【解析】由题意知q≠1，否则=2≠3.∴=1+q3=3，∴q3=2.∴.6.若等比数列{an}的前5项和S5=10，前10项和S10=50，则它的前15项和S15=　　　　. 【答案】210【解析】由等比数列前n项和的性质知S5，S10-S5，S15-S10成等比数列，故(S10-S5)2=S5(S15-S10)，即(50-10)2=10(S15-50)，解得S15=210.7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，若对任意n∈N+，有an+1=Sn，则Sn=　　　　. 【答案】n-1【解析】由an+1=Sn，得Sn+1-Sn=Sn，即Sn+1=Sn，则数列{Sn}是以S1=1为首项，公比q为的等比数列，所以Sn=S1·qn-1=n-1.8.已知首项为1的等比数列{an}是摆动数列，Sn是{an}的前n项和，且=5，则数列的前5项和为　　　　. 【答案】【解析】=1+q2=5，q=±2.∵{an}是摆动数列，∴q=-2.∴的首项为1，公比为-，前5项和为.9.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5.(1)求{an}的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.解(1)设数列{an}的公差为d，因为a2+a4=2a3=10，所以a3=5=1+2d，所以d=2，所以an=2n-1(n∈N+).(2)设数列{bn}的公比为q，∵b2b4=a5，∴q·q3=9，所以q2=3，所以{b2n-1}是以b1=1为首项，q'=q2=3为公比的等比数列，所以b1+b3+b5+…+b2n-1=.10.已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2+bn+c，等比数列{bn}的前n项和Tn=3n+d，则向量a=(c，d)的模为(　　)A.1 B.C. D.无法确定【答案】A【解析】由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c=0，d=-1，所以向量a=(c，d)的模为1.11.正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30=13S10，S10+S30=140，则S20等于(　　)A.90 B.70 C.40 D.30【答案】C【解析】由S30=13S10，知q≠1，由由等比数列的前n项和的性质得S10，S20-S10，S30-S20成等比数列，则(S20-S10)2=S10(S30-S20)，即(S20-10)2=10(130-S20)，解得S20=40或S20=-30(舍去)，故选C.12.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N+，满足=9，，则数列{an}的公比为(　　)A.-2 B.2 C.-3 D.3【答案】B【解析】设公比为q，若q=1，则=2，与题中条件矛盾，故q≠1.∵=qm+1=9，∴qm=8.∴=qm=8=，∴m=3，∴q3=8，∴q=2.13.已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则S=a3+a6+a9+a12的值为(　　)A.580 B.585 C.590 D.595【答案】B【解析】设等比数列{an}的公比为q，则由题意有∴S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)=a1q2·=585.14.(多选题)在公比为q的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1=1，a5=27a2，则下列说法正确的是(　　)A.q=3B.数列{Sn+2}是等比数列C.S5=121D.2log3an=log3an-2+log3an+2(n≥3)【答案】ACD【解析】∵a5=27a2，∴q3=27，∴q=3，故选项A正确;又∵a1=1，∴an=3n-1，Sn=，∴Sn+2=≠常数，故选项B错误;∵S5==121，∴选项C正确;∵2log3an=2(n-1)，log3an-2+log3an+2=n-3+n+1=2(n-1)，∴2log3an=log3an-2+log3an+2(n≥3)，故选项D正确.15.等比数列{an}中，a1-a3=3，前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列，则Sn的最大值为　　　　. 【答案】4【解析】设{an}的公比为q，∵S1，S3，S2成等差数列，∴2S3=S1+S2，即2(a1+a2+a3)=a1+a1+a2，整理，得a2+2a3=0.即a1q+2a1q2=0.∵a1≠0，q≠0，∴q=-.又a1-a3=3，即a1-a1q2=3，∴a1=4.当n为奇数时，Sn=1+≤1+=4，当n为偶数时，Sn=1-<.综上，Sn的最大值为4.16.设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N+，则a1=　　　　，S5=　　　　. 【答案】1　121【解析】由题意，可得a1+a2=4，a2=2a1+1，所以a1=1，a2=3.再由an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1(n≥2)，得an+1-an=2an，即an+1=3an(n≥2).又因为a2=3a1，所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列.所以S5==121.17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，S5=35.(1)求数列{an}的前n项和Sn;(2)若数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则解得故Sn=na1+.(2)由(1)，得an=3n-2，∴bn=e3n-2，且b1=e.当n≥2时，=e3(定值)，∴数列{bn}是首项为e，公比为e3的等比数列.∴Tn=.18.已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn-2an=n-4.(1)证明:{Sn-n+2}为等比数列;(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn.(1)证明当n=1时，S1-2S1=1-4，故S1=3，得S1-1+2=4.当n≥2时，原式转化为Sn=2(Sn-Sn-1)+n-4，即Sn=2Sn-1-n+4，所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2]，所以{Sn-n+2}是首项为4，公比为2的等比数列.(2)解由(1)知，Sn-n+2=2n+1，所以Sn=2n+1+n-2，于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n=-2n=.