第二章　习题课　导数的综合应用高中数学新北师大版选择性必修第二册（2022学年）

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第二章 导数及其应用 习题课　导数的综合应用

1.对任意的x∈R，函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　
A.0≤a≤21
B.a=0或a=7
C.a21
D.a=0或a=21
【答案】A
【解析】f'(x)=3x2+2ax+7a，
当Δ=4a2-84a≤0，
即0≤a≤21时，f'(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点.
2.已知函数f(x)=x-sin x，则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是(　　)
A.-∞，-13
B.-13，+∞
C.(-∞，3)
D.(3，+∞)
【答案】C
【解析】∵f(x)=x-sin x，∴f(-x)=-x+sin x=-f(x)，即函数f(x)为奇函数，函数的导数f'(x)=1-cos x≥0，则函数f(x)是增函数，则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2)，即x+1>2x-2，解得x0，当x>25时，y'0，求不等式f'(x)+k(1-x)f(x)>0的解集.
解(1)f'(x)=1xex-1x2ex=x-1x2ex.
由f'(x)=0，得x=1.
当x0，
得(x-1)(kx-1)0，当x→0，f'(x)→-∞，
∴00在R上恒成立知，f(x)是增函数，故不可能有两个零点，故C错误.
对D，当a=3时f(x)=sin x+x3-3x，f'(x)=cos x+3x2-3，令cos x+3x2-3=0，则有cos x=3-3x2.
在同一坐标系中作出y=cos x，y=3-3x2的图象易得有两个交点，且交点左右的函数值大小不同.
故函数f(x)恰有两个极值点.故D正确.
故选ABD.

11.已知函数f(x)=x3-3x+m，若关于x的方程f(x)=0在[0，2]上有根，则实数m的取值范围是　　　　. 
【答案】[-2，2]
【解析】令g(x)=x3-3x，x∈[0，2]，则易知函数g(x)在[0，1]内单调递减，在[1，2]内单调递增，
又g(1)=-2，g(2)=2，g(0)=0，
∴函数g(x)=x3-3x，x∈[0，2]的值域是[-2，2].
∵关于x的方程f(x)=0在[0，2]上有根，
则-m∈[-2，2]，可得m∈[-2，2].
12.已知函数f(x)=x2-2ln x，若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是　　　　　. 
【答案】(-∞，e2-2]
【解析】由f(x)-m≥0得f(x)≥m，
函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=2x-2x=2(x2-1)x，
当x∈[1，e]时，f'(x)≥0，
此时，函数f(x)单调递增，
所以f(1)≤f(x)≤f(e)，
即1≤f(x)≤e2-2，
要使f(x)-m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2-2.
13.已知函数y=x2(x>0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，其中k∈N+.若a1=16，则a1+a3+a5的值是　　　　　. 
【答案】21
【解析】由于y'=2x，则函数y=x2(x>0)在点(a1，a12)(a1=16)处(即点(16，256)处)的切线方程为y-256=32(x-16).
令y=0，得a2=8.
同理函数y=x2(x>0)在点(a2，a22)(a2=8)处(即点(8，64)处)的切线方程为y-64=16(x-8).
令y=0，得a3=4，依次同理求得a4=2，a5=1.
所以a1+a3+a5=21.
14.已知函数f(x)=12x2-aln x(a∈R)，
(1)若f(x)在x=2时取得极值，求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求证:当x>1时，12x2+ln x0，
∴当a=4时，x=2是一个极小值点，则a=4.
(2)解∵f'(x)=x-ax=x2-ax，
∴当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞).
当a>0时，f'(x)=x-ax=x2-ax
=(x+a)(x-a)x，
当00，
∴函数f(x)的单调递增区间为(a，+∞)，递减区间为(0，a).
(3)证明设g(x)=23x3-12x2-ln x，
∵x>1，
∴g'(x)=2x2-x-1x
=(x-1)(2x2+x+1)x>0，
∴g(x)在x∈(1，+∞)上单调递增，
∴当x>1时，g(x)>g(1)=16>0，
∴当x>1时，12x2+ln x0)，
令t=1+1x，则t>1，h(x)=g(t)=ln t-t2-12t，
只需证当t>1时，g(t)≤0.
∵g'(t)=-(t-1)22t2