高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和第2课时复习练习题
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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和第2课时复习练习题,共5页。试卷主要包含了故选C,若数列{an}满足等内容,欢迎下载使用。
2.2.2 等差数列的前n项和第2课时 等差数列前n项和的综合应用1.已知数列{an}满足an=26-2n,则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( ) A.11或12 B.12C.13 D.12或13【答案】D【解析】∵an=26-2n,∴an-an-1=-2,∴数列{an}为等差数列.又a1=24,d=-2,∴Sn=24n+×(-2)=-n2+25n=-n-2+.∵n∈N+,∴当n=12或13时,Sn最大,故选D.2.等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,那么此数列前20项的和为( )A.160 B.180 C.200 D.220【答案】B【解析】由a1+a2+a3=3a2=-24,得a2=-8,由a18+a19+a20=3a19=78,得a19=26,于是S20=10(a1+a20)=10(a2+a19)=10×(-8+26)=180.3.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是( )A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】B【解析】∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn=An2+Bn,∴λ=-1.4.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且S2 011=S2 016,Sk=S2 008,则正整数k为( )A.2 017 B.2 018C.2 019 D.2 020【答案】C【解析】由二次函数的对称性及S2 011=S2 016,Sk=S2 008,可得,解得k=2 019.故选C.5.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和最大时,n的值为( )A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】因为an+1-an=-3,所以数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设前k项和最大,则有所以≤k≤.因为k∈N+,所以k=7.故满足条件的n的值为7.6.数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1(n∈N+),则它的通项公式是 . 【答案】an=【解析】当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2,不符合an=6n-5,∴an=7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4=1,S5=10,则当Sn取得最大值时,n的值为 . 【答案】4或5【解析】由解得∴a5=a1+4d=0,∴S4=S5且同时最大.∴n=4或5.8.一物体从1 960 m的高空降落,如果第1秒降落4.90 m,以后每秒比前一秒多降落9.80 m,那么落到地面所需要的时间秒数为 . 【答案】20【解析】设物体经过t秒降落到地面,物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列,根据题意,则有前t秒降落的距离为4.90t+×9.80=1 960,解得t=20,所以落到地面所需要的时间秒数为20.9.设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9.(1)求{an}的通项公式;(2)求{an}的前n项和公式Sn及使得Sn最大的自然数n的值.解(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9,得解得所以数列{an}的通项公式为an=11-2n,n∈N+.(2)由(1)知,Sn=na1+d=10n-n2.因为Sn=-(n-5)2+25,所以当n=5时,Sn取得最大值.10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n等于( )A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】因为Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,S4=a1+a2+a3+a4=40,所以4(a1+an)=120,a1+an=30,由Sn==210,得n=14.11.已知等差数列{an}中,a1 009=4,S2 018=2 018,则S2 019等于( )A.-2 019 B.2 019C.-4 038 D.4 038【答案】C【解析】因为{an}是等差数列,所以S2 018=1 009(a1+a2 018)=1 009(a1 009+a1 010)=2 018,则a1 009+a1 010=2.又a1 009=4,所以a1 010=-2,则S2 019==2 019a1 010=-4 038.12.已知{an}为项数为2n+1的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】S奇=,S偶=,∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴.13.设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N+,都有Sn≤Sk成立,则k的值为( )A.22 B.21 C.20 D.19【答案】C【解析】对任意n∈N+,都有Sn≤Sk成立,即Sk为Sn的最大值.因为a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以a4=33,a5=31,故公差d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n,当Sn取得最大值时,满足解得≤n≤,即满足对任意n∈N+,都有Sn≤Sk成立的k的值为20.14.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S2 018>0,S2 019<0,则下列说法正确的是( )A.S1 009最大 B.|a1 009|>|a1 010|C.a1 010>0 D.S2 018+S2 019<0【答案】AB【解析】∵S2 018>0,S2 019<0,∴>0,=2 019a1 010<0,∴a1 009+a1 010>0,a1 010<0,可得a1 009>0,a1 010<0,|a1 009|>|a1 010|,故A,B都正确,C错误,由an=1 009.8-n,此时满足条件,但是D选项不成立,故D错误.15.在等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,若S10=8且S20=10,则S30的值为 . 【答案】6【解析】∵在等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,∴S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,∴8,2,S30-10成等差数列,∴2×2=8+S30-10,∴S30=6.16.(2021浙江温州模拟)我国古代一部数学著作《张丘建算经》中有一题为:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月共织九匹三丈.”其白话意译为:“现有一善织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织了5尺布,现在一个月(按30天计算)共织布390尺.”每天增加的数量为 尺.设该女子一个月中第n天所织布的尺数为an,则a14+a15+a16+a17= . 【答案】 52【解析】依题意等差数列的前30项和为390,首项a1=5,设公差为d,所以S30=30×5+×d=390,解得d=,所以a14+a15+a16+a17=4a1+58d=20+32=52.17.某电站沿一条公路竖立电线杆,相邻两根电线杆的距离都是50 m,最远一根电线杆距离电站1 550 m,一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500 m,共竖立多少根电线杆?第一根电线杆距离电站多少米?解由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列,记为{an},则an=1 550×2=3 100,d=50×3×2=300,Sn=17 500.由等差数列的通项公式及前n项和公式,得由①得a1=3 400-300n.代入②得n(3 400-300n)+150n(n-1)-17 500=0,整理得3n2-65n+350=0,解得n=10或n=(舍去),所以a1=3 400-300×10=400.故汽车拉了10趟,共拉电线杆3×10=30(根),最近的一趟往返行程400 m,第一根电线杆距离电站×400-100=100(m).所以共竖立了30根电线杆,第一根电线杆距离电站100 m.18.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N+).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.解(1)∵an+2-2an+1+an=0,∴an+2-an+1=an+1-an,∴{an}是等差数列,又a1=8,a4=2,∴d=-2,an=a1+(n-1)d=10-2n,n∈N+.(2)设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=8n+×(-2)=9n-n2.∵an=10-2n,令an=0,得n=5.当n>5时,an<0;当n=5时,an=0;当n<5时,an>0.∴当n>5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=2×(9×5-25)-9n+n2=n2-9n+40,当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=9n-n2.∴Tn=
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