第二章测评 高中数学新北师大版必修第二册（2022学年）

这是一份第二章测评 高中数学新北师大版必修第二册（2022学年），共9页。
第二章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1.已知在▱ABCD中，=(2，8)，=(-3，4)，则= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.(-1，-12) B.(-1，12)C.(1，-12) D.(1，12)【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以=(-1，12).【答案】B2.如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是(　　)A.a=b B.a·b=1C.a=-b D.|a|=|b|【解析】两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A，C不正确;由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b=1不成立，所以选项B不正确;|a|=|b|=1，则选项D正确.【答案】D3.如图，a-b等于(　　)A.2e1-4e2 B.-4e1-2e2C.e1-3e2 D.3e1-e2【解析】a-b=e1-3e2.【答案】C 4.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么=(　　)A.B.-C.-D.【解析】).【答案】D5.已知A船在灯塔C北偏东70°方向2 km处，B船在灯塔C北偏西50°方向3 km处，则A，B两船的距离为(　　)A. kmB. kmC.(+1) kmD.(-1) km【解析】根据题意，在平面直角坐标系中作示意图，如图所示，易知在△ABC中，BC=3，AC=2，∠BCA=120°，故由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA，解得AB2=19，则AB=.故选A.【答案】A6.已知a，b，c是共起点的向量，a，b不共线，且存在m，n∈R使c=ma+nb成立，若a，b，c的终点共线，则必有              (　　)A.m+n=0 B.m-n=1C.m+n=1 D.m+n=-1【解析】设=a，=b，=c，因为a、b、c的终点共线，所以设=λ，即=λ()，所以=(1-λ)+λ，即c=(1-λ)a+λb.又c=ma+nb，所以所以m+n=1.【答案】C7.在100 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高是(　　)A. m B. mC. m D. m【解析】如图所示，山高为AB=100 m，塔高为CD，根据题意可知∠BCA=60°，∠CBD=30°.在Rt△ABC中，BC=，在△BCD中，∠CBD=∠BCD=30°，∠BDC=120°，由正弦定理得，CD=.故选D.【答案】D8.已知||=||=||=1，D为BC的中点，且||=，则的最大值为(　　)A. B. C. D.2【解析】因为||=||=||=1，所以A，B，C在以O为圆心半径为1的圆上.以O为原点，OD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，因为||=，||=1，D为BC的中点，所以|OD|=，则B-，-，C，-，D0，-，设A(x，y)，则=-x，--y，=(，0)，所以=-x，因为-1≤x≤1，当A与E重合，即x=-1时，的最大值为.故选C.【答案】C二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9.已知△ABC的面积为，且b=2，c=，则A=(　　)A.30° B.60° C.150° D.120°【解析】因为S=bcsin A=，所以×2×sin A=，所以sin A=，因为0°<A<180°，所以A=60°或120°.故选BD.【答案】BD10.下列命题中，正确的是(　　)A.对于任意向量a，b，有|a+b|≤|a|+|b|B.若a·b=0，则a=0或b=0C.对于任意向量a，b，有|a·b|≤|a||b|D.若a，b共线，则a·b=±|a||b|【解析】由向量加法的三角形法则可知A正确;当a⊥b时，a·b=0，故B错误;因为|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a||b|，故C正确;当a，b共线同向时，a·b=|a||b|cos 0°=|a||b|，当a，b共线反向时，a·b=|a||b|cos 180°=-|a||b|，故D正确.故选ACD.【答案】ACD11.(2020福建宁化第一中学高一月考)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是(　　)A.b=7，c=3，C=B.b=5，c=6，C=C.a=6，b=3，B=D.a=20，b=15，B=【解析】A选项，因为C=，为锐角，c=3<bsin C=，所以三角形无解;B选项，因为C=，为锐角，c=6>b=5，所以三角形有一解;C选项，因为B=，为锐角，b=3=asin B=3，所以三角形有一解;D选项，因为B=，为锐角，b=15>asin B=10，所以三角形有两解.故选BC.【答案】BC12.在△ABC中，下列结论正确的是(　　)A.B.<||·||C.若()·()=0，则△ABC为等腰三角形D.若>0，则△ABC为锐角三角形【解析】，故A错误;设θ为向量的夹角，因为=||·||·cos θ，而cos θ<1，故<||·||，故B正确;()·()==0，故||=||，所以△ABC为等腰三角形，故C正确;取A=B=，C=，满足=||||cos A>0，但△ABC为钝角三角形，故D错误.故选BC.【答案】BC三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量a=(2，-1)，b=(-1，m)，c=(-1，2)，若(a+b)∥c，则m=　　　　，|b+c|=　　　　. 【解析】因为a=(2，-1)，b=(-1，m)，所以a+b=(1，m-1).因为(a+b)∥c，c=(-1，2)，所以2-(-1)·(m-1)=0.所以m=-1.则b+c=(-2，1)，则|b+c|=.【答案】-1　14.在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，则△ABC的形状是　　　　　. 【解析】根据余弦定理得b2=a2+c2-2accos B.因为B=60°，2b=a+c，所以=a2+c2-2accos 60°，整理得(a-c)2=0，故a=c.又B=60°，所以△ABC是等边三角形.【答案】等边三角形15.(2019北京牛栏山一中高三期中)如图是以C为圆心的一个圆，其中弦AB的长为2，则=　　　　. 【解析】如图，作CD⊥AB交AB于点D，则，则=·=|2=2.【答案】216.在△ABC中，A=30°，AB=2，4≤BC2≤12，则△ABC面积的范围是　　　　. 【解析】因为在△ABC中，A=30°，AB=2，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 30°=12+AC2-6AC，又因为4≤BC2≤12，4≤12+AC2-6AC≤12，解得0<AC≤2，或4≤AC≤6，而S△ABC=AB·AC·sin 30°=AC，所以0<S△ABC≤或2≤S△ABC≤3，故△ABC面积的范围是(0，]∪[2，3].【答案】(0，]∪[2，3]四、解答题(本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a=(1，0)，b=(2，1).(1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线?(2)若=2a+3b，=a+mb且A，B，C三点共线，求m的值.解(1)ka-b=k(1，0)-(2，1)=(k-2，-1)，a+2b=(1，0)+2(2，1)=(5，2).因为ka-b与a+2b共线，所以2(k-2)-(-1)×5=0，解得k=-.(2)因为A，B，C三点共线，a与b不共线，所以存在实数λ，使得=λ(λ∈R)，即2a+3b=λ(a+mb)，整理得(8，3)=(λ+2mλ，mλ)，所以解得m=.18.(12分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2=0，(1)用表示;(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形.(1)解因为2=0，所以2()+()=0，2-2=0，所以=2.(2)证明如图，=-=(2).故.即DA∥OC，且DA≠OC.故四边形OCAD为梯形.19.(12分)(2020山东高一月考)已知长方形AOCD中，OA=3，OC=2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，∠PED=45°.解如图，建立平面直角坐标系，则O(0，0)，C(2，0)，D(2，3)，E(1，0).设P(0，y)，则=(1，3)，=(-1，y)，所以||=，||==3y-1.代入cos 45°=，解得y=2y=-舍去.所以当点P在靠近点A的AB的三等分处时，∠PED=45°.20.(12分)在△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=60°.(1)求sin∠ACB;(2)若D为BC的中点，求AD的长度.解(1)因为在△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=60°.所以由余弦定理可得BC==，所以由正弦定理，可得sin∠ACB=.(2)因为D为BC的中点，所以CD=BC=.又因为cos C==-，所以在△ACD中，由余弦定理可得AD==.21.(12分)为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括:①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出);②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.解①需要测量的数据有:A点到M，N点的俯角α1，β1;B点到M，N点的俯角α2，β2;A，B间的距离d(如图所示).②第一步:计算AM.由正弦定理得AM=.第二步:计算AN.由正弦定理得AN=.第三步:计算MN.由余弦定理得MN=.22.(12分)(2019海南高二期末(理))如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，线段BC的垂直平分线交线段AC于点D，且DA-DB=1.(1)求BC的长;(2)求△BCD的面积S.解(1)依题意得DB=DC，因为AC=DA+DC=4，DA-DC=1，所以DA=，DC=DB=.在△ABD中，由余弦定理得cos A=，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=，所以BC=.(2)由(1)知cos A=，所以sin A=，在△ABC中，由正弦定理得，即sin C=，所以S=CD·BC·sin C=.