第五章测评 高中数学新北师大版必修第二册（2022学年）
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(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.(2019宁夏六盘山高级中学高三月考)设复数z=-1+2i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】因为复数z=-1+2i，共轭复数为-1-2i，则其对应的点为(-1，-2)，该点在第三象限.故选C.
【答案】C
2.(2020天津高二期末)若z(1+i)=2i，则z=( )
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
【解析】z==1+i.故选D.
【答案】D
3.(2019天津高考模拟)设z=+2i，则|z|=( )
A.0 B. C.1 D.
【解析】z=+2i=+2i=-i+2i=i，则|z|=1.故选C.
【答案】C
4.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为-1+2i，若点A关于直线y=-x 的对称点为点B，则向量对应的复数为( )
A.-2+i B.-2-i
C.1+2i D.-1+2i
【解析】复数-1+2i对应的点为A(-1，2)，点A关于直线y=-x的对称点为B(-2，1)，所以向量对应的复数为-2+i.故选A.
【答案】A
5.已知i是虚数单位，在复平面内，复数-2+i，1-3i对应的点分别为A，B，则A，B两点之间的距离为( )
A. B. C.5 D.25
【解析】在复平面内，复数-2+i对应的点为A(-2，1)，复数1-3i对应的点为B(1，-3)，所以=(3，-4)，即||==5.故选C.
【答案】C
6.已知复数z1=cos 23°+isin 23°和复数z2=cos 37°+isin 37°，则z1·z2为( )
A.i B.i
C.i D.i
【解析】z1z2=cos(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos 60°+isin 60°=i.
【答案】A
7.设f(n)=n+n(n∈N)，则f(n)可取的值有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.无数个
【解析】因为f(n)==in+(-i)n(n∈N)，当n取特殊值1，2，3，4可得相应的值.
f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=0，f(4)=2.故选C.
【答案】C
8.在如图所示的复平面内，复数z1，z2，z3对应的向量分别是，则复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】由题图知z1=3+2i，z2=-2+2i，z3=1-2i，则=-i，所以其在复平面内对应的点为-，-，在第三象限.故选C.
【答案】C
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
9.给出下列命题，其中是真命题的是( )
A.纯虚数z的共轭复数是-z
B.若z1-z2=0，则z1=
C.若z1+z2∈R，则z1与z2互为共轭复数
D.若z1-z2=0，则z1与2互为共轭复数
【解析】根据共轭复数的定义，显然A是真命题;
若z1-z2=0，则z1=z2，当z1，z2均为实数时，则有z1=，当z1，z2是虚数时，z1≠，所以B是假命题;
若z1+z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题;
若z1-z2=0，则z1=z2，所以z1与互为共轭复数，故D是真命题.故选AD.
【答案】AD
10.已知复数z=1+2i(i为虚数单位)，则下列结论错误的是( )
A.|z|= B.z2≥0
C.|z-|=2 D.z·=5
【解析】|z|=，故A不正确;z2=1+4i2+4i=-3+4i，不能和0比较大小，故B不正确;=1-2i，|z-|=4，故C不正确;z·=(1+2i)(1-2i)=5.
【答案】ABC
11.实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+yi，则下列说法正确的是( )
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.|z|=
C.z的虚部是i
D.z的实部是1
【解析】实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y)i=0，所以解得x=y=1，
所以z=x+yi=1+i.
z在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A正确.
|z|=，故B正确.
z的虚部是1，故C错误.
z的实部是1，故D正确.故选ABD.
【答案】ABD
12.已知集合M={m|m=in，n∈N+}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A.(1-i)(1+i) B.
C. D.(1-i)2
【解析】根据题意，M={m|m=in，n∈N+}中，
当n=4k(k∈N+)时，in=1;
当n=4k+1(k∈N+)时，in=i;
当n=4k+2(k∈N+)时，in=-1;
当n=4k+3(k∈N+)时，in=-i，
所以M={-1，1，i，-i}.
(1-i)(1+i)=2∉M，A不符合题意;
=-i∈M，B符合题意;
=i∈M，C符合题意;
(1-i)2=-2i∉M，D不符合题意.
故选BC.
【答案】BC
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.(2020北京高三期末)复数的实部为 .
【解析】，故所求实部为.
【答案】
14.i÷3(cos 120°-isin 300°)= .
【解析】i÷3(cos 120°-isin 300°)
=(cos 60°+isin 60°)÷3(cos 120°+isin 120°)
=[cos(60°-120°)+isin(60°-120°)]
=[cos(-60°)+isin(-60°)]
=i=i.
【答案】i
15.(2020江苏金陵中学高三开学考试)已知复数z1=-2+i，z2=a+2i(i为虚数单位，a∈R).若z1·z2为实数，则a的值为 ;z1-z2= .
【解析】因为z1·z2=(-2+i)(a+2i)=(-2a-2)+(a-4)i为实数，所以a-4=0，解得a=4.则z1-z2=-2+i-(4+2i)=-2+i-4-2i=-6-i.
【答案】4 -6-i
16.若|z-1|=|z+1|，则|z-1|的最小值为 .
【解析】设z=a+bi(a，b∈R)，
则|(a-1)+bi|=|(a+1)+bi|.
所以，
即a=0，所以z=bi(b∈R)，
所以|z-1|min=|bi-1|min=，
故当b=0时，|z-1|的最小值为1.
【答案】1
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知复数z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i(i为虚数单位)，试求实数m分别取什么值时，z分别为:
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
解(1)由得m=-2，
所以当m=-2时，z是实数.
(2)由得m≠-1，且m≠-2，
所以当m∈(-∞，-2)∪(-2，-1)∪(-1，+∞)时，z是虚数.
(3)由题意得
即解得m=0，所以当m=0时，z是纯虚数.
18.(12分)计算:.
解原式=
=
=i.
19.(12分)已知i是虚数单位，O为坐标原点，向量对应的复数为3+2i，将向量向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到的向量记为，分别写出:
(1)向量对应的复数;
(2)点O'对应的复数;
(3)向量对应的复数.
解(1)如图所示，
O为原点，点A的坐标为(3，2)，向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，点O'的坐标为(-2，3)，点A'的坐标为(1，5)，坐标平移不改变的方向和模.
(1)向量对应的复数为3+2i;
(2)点O'对应的复数为-2+3i;
(3)向量对应的复数为-3-2i.
20.(12分)已知关于x的方程x2-ax+ab=0，其中a，b为实数.
(1)设x=1-i(i是虚数单位)是方程的根，求a，b的值;
(2)证明:当，且a>0时，该方程无实数根.
解(1)因为x=1-i是方程的根，
所以1+i也是方程的根，
由根与系数的关系得1-i+1+i=a，
得(1-i)(1+i)=ab，解得a=2，b=2;
(2)证明:因为，所以>0.
因为a>0，所以4a(4b-a)>0，即4ab-a2>0，
所以Δ=a2-4ab<0，所以原方程无实数根.
21.(12分)已知z是复数，z-3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位).
(1)求复数z;
(2)求的模.
解(1)设z=a+bi(a，b∈R)，
由z-3i=a+(b-3)i为实数，可得b=3，
又由为纯虚数，
解得a=-1，即z=-1+3i;
(2)=-2+i，
所以=|-2+i|=.
22.(12分)已知复数w满足w-4=(3-2w)i(i为虚数单位)，z=+|-2|.
(1)求z;
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根.
解(1)因为w-4=(3-2w)i，所以w(1+2i)=4+3i，
所以w==2-i，
所以z=+|i|=+1=3+i.
(2)因为z=3+i是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，
所以(3+i)2-p(3+i)+q=0，
即(8-3p+q)+(6-p)i=0，
因为p，q为实数，所以解得p=6，q=10.
解方程x2-6x+10=0，得x=3±i.
所以实数p=6，q=10，方程的另一个根为x=3-i.
