5.3.1　复数的三角表示式 5.3.2　复数乘除运算的几何意义 精品课时练习 高中数学新北师大版必修第二册（2022学年）

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3.1　复数的三角表示式3.2　复数乘除运算的几何意义1.(多选)cos+isin·cos+isin的结果是 (　　)　　 　　　　　　　　　　　　　　A.实数 B.复数 C.虚数 D.纯虚数【解析】cos+isin·cos+isin=cos+isin=cos+isin=i.其结果是复数，虚数，纯虚数.故选BCD.【答案】BCD2.4(cos π+isin π)÷2cos+isin=(　　)A.1+i B.1-iC.-1+i D.-1-i【解析】4(cos π+isin π)÷2cos+isin=2cosπ-+isinπ-=2cos+isin=-1+i.故选C.【答案】C3.把复数a+bi(a，b∈R)在复平面内对应的向量绕原点O顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为(　　)A.a-bi B.-a+biC.b-ai D.-b+ai【解析】数形结合易知，复数的模不变，虚部等于原来实部a的相反数，实部等于原来虚部，即b-ai.【答案】C4.8i÷2(cos 45°+isin 45°)=　　　　　，其模为　　　　　. 【解析】8i÷2(cos 45°+isin 45°)=8(cos 90°+isin 90°)÷2(cos 45°+isin 45°)=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]=4(cos 45°+isin 45°)=2+2i，其模为=4.【答案】2+2i　45.在复平面内，把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°，求与所得向量对应的复数.解所得向量对应的复数为(-2+2i)·(cos 75°+isin 75°)=2(cos 135°+isin 135°)·(cos 75°+isin 75°)=2[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)]=2(cos 210°+isin 210°)=2-i=-i.1.复数z=(sin 25°+icos 25°)3的三角形式是(　　)A.cos 195°+isin 195° B.sin 75°+icos 75°C.cos 15°+isin 15° D.cos 75°+isin 75°【解析】z=(sin 25°+icos 25°)3=(cos 65°+icos 65°)3=cos 195°+icos 195°.故选A.【答案】A2.若复数z满足，arg=，则z=　　　　　. 【解析】设=z0，则|z0|=，arg z0=，所以z0=·cos+isin=i，所以i，解得z=1+i.【答案】1+i3.在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O为原点).已知Z2对应复数Z2=1+i，求Z1和Z3所对应的复数.解根据题意作图如下.正方形的一条对角线将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，且斜边是直角边的倍.由复数运算的几何意义知，z1=·z2·cos-+isin-=·(1+i)i=i;z3=·z2·cos+isin=·(1+)i=i.4.已知复数z=i，ω=i，复数，z2·ω3在复平面上所对应的点分别为P，Q.求证:△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).解z=i=cos-+isin-ω=i=cos+isin，所以z·ω=cos-+isin-=cos+isin，所以=cos-+isin-.又z2·ω3=cos-+isin-·cos+isin=cos+isin，因此OP，OQ的夹角为--=.所以OP⊥OQ，又因为|OP|=1，|OQ|=1，所以|OP|=|OQ|，所以△OPQ为等腰直角三角形.