第二章 第2讲　力的合成与分解—2022高中物理一轮复习学案

第2讲　力的合成与分解

ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU

知识梳理·自测巩固

　知识点1　力的合成与分解

1．合力与分力

(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，原来那几个力叫做分力。

(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。

2．共点力

作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。如下图所示均是共点力。

3．力的合成

(1)定义：求几个力的合力的过程。

(2)运算法则

①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边做平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示。

②三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。

特别提醒：(1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小。

(2)合力一定时，两等大分力的夹角θ越大，两分力越大。

(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力。

4．力的分解

(1)定义：求一个已知力的分力的过程。

(2)遵循原则：平行四边形定则或三角形定则。

(3)分解方法：①按力产生的效果分解；②正交分解。

思考：如图

所示，物体受到四个力作用，它们分别分布在两条互相垂直的直线上，且F1＝5 N，F2＝8 N，F3＝7 N，F4＝11 N。

(1)F1和F2的合力是多少？F3和F4的合力又是多少？

(2)这四个力的合力是多大呢？总结该题求合力的最合理的方法。

[答案]　(1)3 N，方向与力F2相同；4 N，方向与F4方向相同　(2)5 N；先求F1和F2的合力F12，再求F3和F4的合力F34，再求F12和F34的合力。

　知识点2　矢量和标量

1．矢量

既有大小又有方向的量，相加时遵从平行四边形定则。

2．标量

只有大小没有方向的量，求和时按代数法则相加。

思维诊断：

(1)两个力的合力一定大于任何一个分力。(　×　)

(2)不考虑力的实际效果时，一个力可以对应无数对分力。(　√　)

(3)将一个力F分解为两个力F1、F2，F是物体实际受到的力。(　√　)

(4)合力与分力可以同时作用在物体上。(　×　)

(5)2 N的力能够分解成6 N和3 N的两个分力。(　×　)

(6)合力是阻力，它的每一个分力都是阻力。(　×　)

(7)位移是矢量，相加时可以用算术法直接求和。(　×　)

,  

1．(2020·江苏连云港联考)(多选)下图为《天工开物》里名为“北耕兼种”的农具，“其服牛起土者，耒不用耜，并列两铁于横木之上，其具方语曰耩。耩中间盛一小斗，储麦种于内，其斗底空梅花眼，牛行摇动，种子即从眼中撒下。”关于图中涉及的物理知识，下列说法正确的是(　AD　)

A．耩使用铁尖是为了便于“起土”

B．绳对耩的拉力和耩对绳的力是一对平衡力

C．绳对耩的拉力大于耩对绳的力，因此耩被拉动

D．研究耩的运动时，可将绳的拉力沿水平和竖直两个方向分解

[解析]　本题借助古文化知识考查牛顿第三定律与力的分解问题。耩使用铁尖，根据力的分解可知，当铁尖作用于土时，会产生两个分力作用，使土容易向两侧翻动，起到“起土”作用，故A正确；绳对耩的拉力和耩对绳的力是一对相互作用力，二者等大、反向，故B、C错误；研究耩的运动时，耩受到重力、阻力和绳的拉力作用，其在水平方向运动，故需将绳的拉力沿水平方向和竖直方向进行分解。

2．(2020·重庆南开中学检测)如图所示，某质点在共点力F1、F2、F3作用下处于静止状态，现将F1逆时针旋转60°，其他力均保持不变，那么该质点所受合力大小为(　A　)

A．F1   B．F2＋F1

C．F3  D．F1＋F3

[解析]　本题考查已知分力大小和方向计算合力大小。三力平衡时任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线，故除F1外的两个力F2、F3的合力大小等于F1，方向与F1相反；现将F1逆时针旋转60°，根据平行四边形定则可知，两个大小均为F1且互成120°角的力合成时，合力在两个分力的角平分线上，大小等于分力F1，故此时质点所受到的合力大小为F1，故选A。

3．(2019·吉林省实验中学四模)如图所示，一物块在斜向下的推力F的作用下沿光滑的水平地面向右运动，那么物块受到的地面的支持力与推力F的合力方向是(　B　)

A．水平向右  B．向上偏右

C．向下偏左  D．竖直向下

[解析]　本题考查已知分力方向分析合力方向。对物块受力分析可知，受重力、支持力、推力，物块在竖直方向上受力平衡，设推力F与水平方向的夹角为θ，有FN＝mg＋Fsin θ，支持力FN与F在竖直方向的分力的合力为Fy＝mg，方向向上，F在水平方向的分力Fx＝Fcos θ，方向水平向右，故F合＝F＋F＝，方向向上偏右，B正确。

HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO

核心考点·重点突破

　考点一　力的合成

1．共点力合成的常用方法

(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。

(2)计算法：几种特殊情况的共点力合成

(3)三角形定则：将表示两个力的图示(或示意图)保持原来的方向依次首尾相接，从第一个力的作用点，到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图甲、乙所示。

2．合力大小的范围

(1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。

即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。

(2)三个共点力的合成

①三个力共线且同向时，其合力最大为F＝F1＋F2＋F3。

②以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力最小值为零，若不能组成封闭的三角形，则合力最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和。

例1　(2020·济宁模拟)如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是(　D　)

A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N

B．此时千斤顶对汽车的支持力大小为2.0×105 N

C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大

D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小

[解析]　千斤顶受到的压力大小等于两臂受到的压力的合力，由于夹角θ＝120°，所以两臂受到的压力大小均为1.0×105 N，A错误；由牛顿第三定律可知，千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N，B错误；若继续摇动把手，两臂间的夹角减小，而合力不变，故两分力减小，即两臂受到的压力减小，C错误，D正确。

〔类题演练1〕　

(多选)5个共点力的情况如图所示，已知F1＝F2＝F3＝F4＝F，且这四个力恰好被构成一个正方形，F5是其对角线。下列说法正确的是(　AD　)

A．F1和F5的合力与F3大小相等，方向相反

B．这5个共点力能合成大小为2F、相互垂直的两个力

C．除F5以外的4个力的合力的大小为F

D．这5个共点力的合力恰好为F，方向与F1和F3的合力方向相同

[解析]　力的合成遵从平行四边形定则，根据这五个力的特点，F1和F3的合力与F5大小相等，方向相反，可得F1和F5的合力与F3大小相等，方向相反，A正确；F2和F4的合力与F5大小相等，方向相反；又F1、F2、F3、F4恰好构成一个正方形，所以F5为F，可得除F5以外的4个力的合力的大小为2F，C错误；这5个共点力的合力大小等于F，方向与F5相反，D正确，B错误。

　考点二　力的分解

力的分解的两种常用方法

1．按力的效果分解

(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。

(2)再根据两个实际分力方向画出平行四边形。

(3)最后由三角形知识求出两分力的大小。如图所示，物体的重力G按产生的效果分解为两个分力，F1使物体下滑，F2使物体压紧斜面。

2．正交分解法

(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。

(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。

(3)方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。

x轴上的合力：

Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…

y轴上的合力：

Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…

合力的大小：F＝

合力方向：与x轴夹角为θ，则tanθ＝。

例2　如图所示，电灯的重力G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角为45°，BO绳水平，AO绳的拉力为FA，BO绳的拉力为FB，则FA、FB各为多大？(尽量用多种方法解题)

[解析]　解法一：效果分解法

灯的重力在结点A处产生了两个效果，一是沿AO向下的拉紧AO的分力F1，二是沿BO向左的拉紧BO的分力F2，画出平行四边形如图所示：

由几何关系得F1＝＝10 N，F2＝＝10 N，

故FA＝F1＝10 N，FB＝

F2＝10 N。

解法二：正交分解法

结点O与灯受力如右图所示：

由平衡条件得，竖直方向FAsin 45°＝G，水平方向FAcos 45°＝FB，解得FA＝10 N，FB＝10 N。

解法三：力的合成法

对结点O分析，tan 45°＝

FB＝G＝10 N

sin 45°＝

FA＝G＝10 N。

[答案]　10 N　10 N

规律总结：

力的合成与分解方法的选择

力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法，一般情况下，物体只受三个力且合力为零的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定。

〔类题演练2〕

(2019·江门模拟)如图所示，放在斜面上的物体受到垂直于

斜面向上的力F作用始终保持静止，当力F逐渐减小后，下列说法正确的是(　A　)

A．物体受到的摩擦力保持不变

B．物体受到的摩擦力逐渐增大

C．物体受到的合力减小

D．物体对斜面的压力逐渐减小

[解析]　对物体受力分析，受重力、支持力、静摩擦力和力F，如图所示：

因为物体始终静止，处于平衡状态，合力一定为零，根据平衡条件，有：①垂直斜面方向：F＋FN＝Gcos θ，Gcos θ不变，所以F逐渐减小的过程中，FN逐渐变大，根据牛顿第三定律，物体对斜面的压力逐渐变大。②平行斜面方向：Ff＝Gsin θ，G和θ保持不变，故Ff保持不变，故A正确。

JIE DUAN PEI YOU CHA QUE BU LOU

阶段培优·查缺补漏

力的合成中两类最小值问题

1．合力一定，其中一个分力的方向一定，求另一分力的最小值。

例3　

(2020·吉林通化检测)如图所示，重力为G的小球用轻绳悬挂于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F与竖直方向的夹角为θ时F最小，则θ、F的值分别为(　B　)

A．0°、G   B．30°、G

C．60°、G  D．90°、G

[解析]　

如图所示，小球在三个力的作用下处于平衡状态，重力G的大小和方向都不变，轻绳拉力T的方向不变，因为轻绳拉力T和外力F的合力等于重力，通过作图法知，当F的方向与轻绳的方向垂直时，F最小，则由几何知识得θ＝30°，Fmin＝Gcos30°＝G，故B正确。

〔类题演练3〕

(2019·广东执信中学二模)将三个质量均为m的小球a、b、c用细线相连后(b、c间无细线相连)，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球c，使三个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持为θ＝30°，则F的最小值为(　C　)

A．mg  B．2mg

C．1.5mg  D．mg

[解析]　本题考查平衡中的极值问题。静止时将三球视为一个整体，重力为3mg，由平行四边形定则分析可知，当作用于c球上的力F垂直于Oa时，F最小，由正交分解法知，水平方向Fmincos 30°＝Tsin 30°，竖直方向Fminsin 30°＋Tcos 30°＝3mg，解得Fmin＝1.5mg。故选C。

2．合力方向一定，其中一个分力的大小和方向都一定，求另一分力的最小值。

例4　如图所示，甲、乙、丙三人分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶，已知甲的拉力大小为800 N，方向与航向夹角为30°，乙的拉力大小为400 N，方向与航向夹角为60°，要保持小船在河流正中间沿虚线所示的直线行驶，则丙用力最小为(　C　)

A．与F甲垂直，大小为400 N

B．与F乙垂直，大小为200 N

C．与河岸垂直，大小约为746 N

D．与河岸垂直，大小为400 N

[解析]　如图所示，甲、乙两人的拉力大小和方向一定，其合力为如图所示中的F，要保持小船在河流中间沿虚线方向直线行驶，F与F丙的合力必沿图中虚线方向，当F丙与图中虚线垂直时值最小，由图可知，F丙min＝F乙sin 60°＋F甲sin 30°＝200 N＋400 N≈746 N，C正确。

2 NIAN GAO KAO MO NI XUN LIAN

2年高考·模拟训练

1．(2019·全国卷Ⅱ，16)物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1 500 N，则物块的质量最大为(　A　)

A．150 kg  　 B．100 kg

C．200 kg  D．200 kg

[解析]　物块沿斜面向上匀速运动，受力如图，根据平衡条件

F＝Ff＋mgsin θ①

Ff＝μFN②

FN＝mgcos θ③

由①②③式得

F＝mgsin θ＋μmgcos θ

所以m＝

代入数据得m＝150 kg，选项A正确。

2．(2019·江苏，2)如图所示，一只气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右。细绳与竖直方向的夹角为α，绳的拉力为T，则风对气球作用力的大小为(　C　)

A．  B．

C．Tsin α  D．Tcos α

[解析]　对气球，受力分析如图所示，

将绳的拉力T分解，在水平方向：风对气球的作用力大小F＝Tsin α，选项C正确。

3．(2019·天津，2)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式开通。为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示。下列说法正确的是

(　C　)

A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力

B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度

C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下

D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布

[解析]　A错：索塔对钢索竖直向上的作用力跟钢索和桥体整体的重力平衡。增加钢索数量，其整体重力变大，故索塔受到的压力变大。B错：若索塔高度降低，则钢索与竖直方向夹角θ将变大，由Tcos θ＝G可知，钢索拉力T将变大。C对：两侧拉力对称，合力一定在夹角平分线上，即竖直向下。D错：若钢索非对称分布，但其水平方向的合力为0，合力仍竖直向下。

4．(2018·天津理综，7)(多选)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则(　BC　)

A．若F一定，θ大时FN大 B．若F一定，θ小时FN大

C．若θ一定，F大时FN大 D．若θ一定，F小时FN大

[解析]　根据力F的作用效果将力F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示。

则＝sin

即FN＝

所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大。故选项B、C正确。

5．(2020·吉林联考)蹦床可简化为如图所示的完全相同的网绳构成的正方形，点O、a、b、c等为网绳的结点。当网水平张紧时，若质量为m的运动员从高处竖直落下，并恰好落在O点，当该处下凹至最低点时，网绳aOe、cOg均成120°向上的张角，此时O点受到的向下的冲击力为F，则这时O点周围每根网绳的拉力的大小为(　B　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　设每根网绳的拉力大小为F′，对结点O有：4F′cos 60°－F＝0，解得F′＝，选项B正确。