2020-2021学年广西南宁市宾阳县八年级（下）期中数学试卷 word，含解析

这是一份2020-2021学年广西南宁市宾阳县八年级（下）期中数学试卷 word，含解析，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年广西南宁市宾阳县八年级（下）期中数学试卷
一、本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）一个长方形抽屉长3cm，宽4cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
3．（3分）在平凡的工作岗位中造就伟大，用担当和勇气感动你我、感动中国．2021年2月17日晚，《感动中国2020年度人物颁奖盛典》在CCTV﹣1频道播出，在网上观看人数约为97800000人，数据97800000科学记数法表示为（　　）
A．9.78×106 B．97.8×106 C．9.78×107 D．0.978×108
4．（3分）下列式子计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）若一个三角形的三边长分别是3，4，5，则该三角形的面积为（　　）
A．6 B．7.5 C．10 D．12
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条说法不正确的是（　　）

A．AD＝BC B．OB＝OD C．∠ABO＝∠DCO D．∠BAD＝∠BCD
7．（3分）实数a在数轴对应点的位置如图所示，则﹣|3﹣a|＝（　　）

A．5 B．﹣5 C．﹣1 D．2a﹣5
8．（3分）如图，菱形ABCD的周长为8，∠ABC＝120°，则AC的长为（　　）

A．2 B．2 C． D．1
9．（3分）下列说法：①对角线相等且互相垂直的四边形是菱形；②邻边相等的平行四边形是正方形；③对角线互相垂直平分的四边形是矩形；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；⑤有一个内角是60°的平行四边是菱形．其中正确的是（　　）
A．④ B．①②⑤ C．③④ D．②④⑤
10．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝2，则△ABF的周长为（　　）

A．4 B．8 C．6+ D．6+2
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，要使四边形MENF是正方形，则AB：AD等于（　　）

A．1：1 B．2：3 C．1：4 D．1：2
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝6，AD＝8，∠ABC＝60°，过点BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）如果式子有意义，那么a的取值范围是 　 　．
14．（3分）计算（+）（﹣）的结果为　 　．
15．（3分）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．则矩形的中点四边形的是 　 　．
16．（3分）如图，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝　 　．

17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为　 　．

18．（3分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此进行下去……记正方形ABCD的边长为a1＝1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则a2021＝　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共66分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：﹣+（1﹣）2．
20．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE．求证：四边形EFGH是平行四边形．

22．（8分）为实施“精准扶贫”政策，南宁市某校随机抽取了一部分班级对“建档立卡家庭户”的学生人数情况进行了统计，发现各班“建档立卡家庭户”学生的人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有50个班级，请你估计该校共有多少名建档立卡家庭户的学生？
（3）某爱心人士决定从只有2名“建档立卡家庭户”学生的这些班级中，任选两名进行生活资助，请求出所选两名“建档立卡家庭户”的学生来自同一个班级的概率．
23．（8分）去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732）

24．（10分）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
25．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点（点E不与端点A、C重合），且AE＝CF．

（1）如图1，连接EF，试判断△DEF是什么形状的三角形，并说明理由；
（2）如图2，取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接GE、GF，求证：四边形EDFG是正方形．
26．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝6，动点P从B出发以每秒1个单位的速度沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB'设点P的运动时间为t（s）．

（1）当a＝8时，如图2，当点B'落在AC上时，显然△PCB'是直角三角形，求此时t的值；
（2）当a＝8时，当点B'不落在AC上时，求出△PCB'是直角三角形时t的值；
（3）若直线PB'与直线CD相交于点M，且当t＜3时，∠PAM＝45°．问：当t＞3时，∠PAM的大小是否发生变化，若不变，请说明理由．


2020-2021学年广西南宁市宾阳县八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A.＝|a|，所以不是最简二次根式，故不符合题意；
B.＝，所以不是最简二次根式，故不符合题意；
C.＝3，所以不是最简二次根式，故不符合题意；
D.是最简二次根式，故符合题意．
故选：D．
2．（3分）一个长方形抽屉长3cm，宽4cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：这根木棒最长＝＝5（cm），
故选：B．
3．（3分）在平凡的工作岗位中造就伟大，用担当和勇气感动你我、感动中国．2021年2月17日晚，《感动中国2020年度人物颁奖盛典》在CCTV﹣1频道播出，在网上观看人数约为97800000人，数据97800000科学记数法表示为（　　）
A．9.78×106 B．97.8×106 C．9.78×107 D．0.978×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：97800000＝9.78×107，
故选：C．
4．（3分）下列式子计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加法、乘法、减法逐一计算即可．
【解答】解：A．，此选项计算正确；
B．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C．＝2，此选项计算错误；
D．﹣＝2，此选项计算错误，
故选：A．
5．（3分）若一个三角形的三边长分别是3，4，5，则该三角形的面积为（　　）
A．6 B．7.5 C．10 D．12
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式即可求出其面积．
【解答】解：∵32+42＝52，
∴此三角形是直角三角形，
∴此直角三角形的面积为：×3×4＝6．
故选：A．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条说法不正确的是（　　）

A．AD＝BC B．OB＝OD C．∠ABO＝∠DCO D．∠BAD＝∠BCD
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，
故选：C．
7．（3分）实数a在数轴对应点的位置如图所示，则﹣|3﹣a|＝（　　）

A．5 B．﹣5 C．﹣1 D．2a﹣5
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣2）和（3﹣a）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣2＜0，3﹣a＞0，
原式＝|a﹣2|﹣|3﹣a|
＝2﹣a﹣（3﹣a）
＝2﹣a﹣3+a
＝﹣1．
故选：C．
8．（3分）如图，菱形ABCD的周长为8，∠ABC＝120°，则AC的长为（　　）

A．2 B．2 C． D．1
【分析】由菱形ABCD的周长为8，∠ABC＝120°，可求得AB的长，∠ABD的度数，且证得AC⊥BD，继而利用特殊角的三角函数值，求得答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8，∠ABC＝120°，
∴AB＝2，∠ABD＝∠ABC＝60°，AC⊥BD，
∴OA＝AB•sin60°＝2×＝，
∴AC＝2OA＝2．
故选：A．
9．（3分）下列说法：①对角线相等且互相垂直的四边形是菱形；②邻边相等的平行四边形是正方形；③对角线互相垂直平分的四边形是矩形；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；⑤有一个内角是60°的平行四边是菱形．其中正确的是（　　）
A．④ B．①②⑤ C．③④ D．②④⑤
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理分别进行分析即可，对于错误的命题举出反例即可．
【解答】解：∵对角线相等且互相垂直的四边形不一定是菱形，反例如下：

如图，AC＝BD，AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，故①不正确；
邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形，故②不正确；
∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故③不正确；
顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，说法④正确；
理由：
已知：如图，四边形ABCD是菱形，E，F，G，H分别是四边的中点，
求证：四边形EFGH是矩形．
证明：连接AC，BD，它们交于点O，

∵E是AD的中点，H是CD的中点，
∴EH是△DAC的中位线．
∴EH∥AC，EH＝AC．
同理：FG∥AC，FG＝AC．
∴EH∥FG，EH＝FG．
∴四边形EFGH为平行四边形．
∵E是AD的中点，F是AB的中点，
∴EF∥BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴AC⊥EF．
∵EH∥AC，
∴EF⊥EH．
∴平行四边形EFGH为矩形，故④正确．
有一个内角是60°的平行四边形不一定是菱形，它的四条边不一定相等，故⑤不正确．
综上，只有说法④正确．
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝2，则△ABF的周长为（　　）

A．4 B．8 C．6+ D．6+2
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到∠B＝∠ADE＝30°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：∵AF⊥BC，点D是边AB的中点，
∴AB＝2DF＝4，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝30°，
∴AF＝AB＝2，
由勾股定理得，BF＝＝＝2，
则△ABF的周长＝AB+AF+BF＝4+2+2＝6+2，
故选：D．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，要使四边形MENF是正方形，则AB：AD等于（　　）

A．1：1 B．2：3 C．1：4 D．1：2
【分析】先证四边形MENF是平行四边形，再证ME＝MF，则平行四边形MENF是菱形，然后证∠EMF＝90°，即可得出结论．
【解答】解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，
∵MF＝CM，
∴NE＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形，
∵M为AD中点，
∴AD＝2AM，
∵AB：AD＝1：2，
∴AD＝2AB，
∴AM＝AB，
∵∠A＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝45°，
同理∠DMC＝45°，
∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
故选：D．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝6，AD＝8，∠ABC＝60°，过点BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求出BE、BF、EF，根据相似得出CH，EH根据三角形的面积公式求△DFH的面积，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AB∥CD，AB＝CD＝6，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE＝4，
∵∠B＝60°，EF⊥AB，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝2，
由勾股定理得：EF＝2，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠ECH，
在△BFE和△CHE中，
，
∴△BFE≌△CHE（ASA），
∴EF＝EH＝2，CH＝BF＝2，
∴DH＝DC+CH＝6+2＝8，FH＝2EF＝4，
∵S△DHF＝DH•FH＝8×4＝16，
∴S△DEF＝S△DHF＝8，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）如果式子有意义，那么a的取值范围是 　x≥3　．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣3≥0，
解得x≥3，
故答案为：x≥3．
14．（3分）计算（+）（﹣）的结果为　﹣1　．
【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，求出算式（+）（﹣）的结果为多少即可．
【解答】解：（+）（﹣）
＝
＝2﹣3
＝﹣1
∴（+）（﹣）的结果为﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（3分）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．则矩形的中点四边形的是 　菱形　．
【分析】根据三角形的中位线定理即可证明EF∥MN且EF＝MN，则四边形EFMN是平行四边形，然后证明EF＝NE即可得到四边形是菱形．
【解答】解：连接BD和AC．
∵E、N是AB和AD的中点，即NE是△ABD的中位线，
∴BD∥NE，EN＝BD．
同理EF∥AC，MF∥BD，且MF＝BD，EF＝AC．
∴EN∥MF，且EN＝MF．
∴四边形EFMN是平行四边形．
又∵矩形ABCD中，AC＝BD，
∴EN＝EF，
∵平行四边形EFMN是菱形．
故答案是：菱形．

16．（3分）如图，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝　45°　．

【分析】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠CAD＝90°，∠ADC＝∠ACD＝45°，最后根据平行线的性质可得结论．
【解答】解：连接AD，

由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，CD2＝22+42＝20，
∴AD＝AC，AD2+AC2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ACD＝45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAD+∠ADE＝180°，
∴∠BAC+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
故答案为：45°．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为　2.4　．

【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
18．（3分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此进行下去……记正方形ABCD的边长为a1＝1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则a2021＝　21010　．

【分析】先由第一个正方形的边长为1，根据勾股定理依次求得第二个、第三个、第四个正方形的边长，不难得到a1＝1＝（）0，a2＝，a3＝2＝，a4＝2＝，……，进而总结出规律an＝，将n＝2021代入所得规律式子即可．
【解答】解：∵正方形的边长为1，
∴a1＝1＝（）0，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AC＝，
∴a2＝．
同理可得a3＝2＝，
a4＝2＝，
…
∴an＝，
∴an＝＝＝21010，
故答案为：21010．
三、解答题（本大题共8小题，共66分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：﹣+（1﹣）2．
【分析】先计算完全平方式，不影响平方运用的前提下，进行除法运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝．
20．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当x＝时，
原式＝＝+1．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE．求证：四边形EFGH是平行四边形．

【分析】易证得△AEH≌△CGF，从而证得EH＝GF，同理GH＝EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD＝BC，
又∵BF＝DH，
∴CF＝AH，
在△AEH和△CGF中，，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH＝GF；同理：GH＝EF；
∴四边形EFGH是平行四边形．
22．（8分）为实施“精准扶贫”政策，南宁市某校随机抽取了一部分班级对“建档立卡家庭户”的学生人数情况进行了统计，发现各班“建档立卡家庭户”学生的人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有50个班级，请你估计该校共有多少名建档立卡家庭户的学生？
（3）某爱心人士决定从只有2名“建档立卡家庭户”学生的这些班级中，任选两名进行生活资助，请求出所选两名“建档立卡家庭户”的学生来自同一个班级的概率．
【分析】（1）先求出抽取的“建档立卡家庭户”的班级数，即可解决问题；
（2）先求出平均每班建档立卡家庭户的学生人数，再乘以总班级数即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中所选两名“建档立卡家庭户”的学生来自同一个班级的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的班级个数为：4÷20%＝20（个），
则“建档立卡家庭户”的2名的班级有：20﹣2﹣3﹣4﹣5﹣4＝2（个），
将条形统计图补充完整如下：

（2）样本平均数＝（2×1+2×2+3×3+4×4+5×5+6×4）＝4（名），
∴50×4＝200（名），
答：估计该校共有200名建档立卡家庭户的学生；
（3）由（1）得共有2个建档立卡家庭户的班级，共有4名学生，
设一个班级的2名学生记为A、B，另一个班级的2名学生记为C、D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所选两名“建档立卡家庭户”的学生来自同一个班级的结果有4种，即AB、BA、CD、DC，
∴所选两名“建档立卡家庭户”的学生来自同一个班级的概率为＝．
23．（8分）去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732）

【分析】先过点C作CD⊥AB于D，设CD为xkm，则BD为xkm，AD为xkm，则有x+x＝2，求出x的值，再与0.7比较大小，即可得出答案．
【解答】解如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，由题意可得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，
∴∠CBA＝∠BCD，∴BD＝CD．在Rt△ACD中，∠CAB＝30°，∴AC＝2CD．设CD＝DB＝x，
∴AC＝2x．由勾股定理得AD＝＝＝x．
∵AD+DB＝2.732，
∴x+x＝2.732，
∴x≈1．
即CD≈1＞0.7，
∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．
24．（10分）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
【分析】（1）设今年5月份A款汽车每辆售价为x万元，则去年同期A款汽车每辆售价为（x+1）万元，利用数量＝总价÷单价，结合“如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进m辆A款汽车，则购进（15﹣m）辆B款汽车，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于105万元且不少于99万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出共有5种进货方案；
（3）设销售完15辆两种汽车后获得的利润为w万元，利用总利润＝每辆的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，结合要使（2）中所有的方案获利相同，可得出a﹣1.5＝0，解之即可得出a值，设该购进15辆汽车所需总费用为y万元，利用总价＝单价×数量，即可得出y关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价为x万元，则去年同期A款汽车每辆售价为（x+1）万元，
依题意得：＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价为8万元．
（2）设购进m辆A款汽车，则购进（15﹣m）辆B款汽车，
依题意得：，
解得：6≤m≤10，
又∵m为正整数，
∴m可以为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案．
（3）设销售完15辆两种汽车后获得的利润为w万元，则w＝（8﹣7.5）m+（8﹣a﹣6）（15﹣m）＝（a﹣1.5）m+30﹣15a．
∵要使（2）中所有的方案获利相同，
∴w的值与m无关，
∴a﹣1.5＝0，
∴a＝1.5．
设该购进15辆汽车所需总费用为y万元，则y＝7.5m+6（15﹣m）＝1.5m+90，
∵1.5＞0，
∴y随m的增大而增大，
又∵6≤m≤10，且m为整数，
∴当m＝6时，y取得最小值，此时15﹣m＝9，
∴购进6辆A款汽车，9辆B款汽车时，对公司更有利．
25．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点（点E不与端点A、C重合），且AE＝CF．

（1）如图1，连接EF，试判断△DEF是什么形状的三角形，并说明理由；
（2）如图2，取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接GE、GF，求证：四边形EDFG是正方形．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质知∠A＝∠B＝45°，结合D为AB中点知CD⊥AB且AD＝BD＝CD，继而得∠A＝∠DCF，结合AE＝CF即可证得△ADE≌△CDF，由全等三角形的性质得出DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，则可得出结论；
（2）首先证明四边形EDFG是平行四边形，再证明DE＝DF，∠EDF＝90°即可．
【解答】（1）解：△DEF是等腰直角三角形．
理由：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，且AD＝BD＝CD，
∴∠DCB＝45°，
∴∠A＝∠DCF，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∴∠DEF＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）证明：∵O是EF的中点，GO＝OD，
∴四边形EDFG是平行四边形．
∵△ADE≌△CDF．
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF．
由DE＝DF及四边形EDFG是平行四边形知四边形EDFG是菱形，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠EDC+∠CDF＝∠EDF＝90°．
∴四边形EDFG是正方形．
26．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝6，动点P从B出发以每秒1个单位的速度沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB'设点P的运动时间为t（s）．

（1）当a＝8时，如图2，当点B'落在AC上时，显然△PCB'是直角三角形，求此时t的值；
（2）当a＝8时，当点B'不落在AC上时，求出△PCB'是直角三角形时t的值；
（3）若直线PB'与直线CD相交于点M，且当t＜3时，∠PAM＝45°．问：当t＞3时，∠PAM的大小是否发生变化，若不变，请说明理由．

【分析】（1）利用勾股定理求出AC，运用勾股定理建立方程求解即可得出答案；
（2）分三种情形分别求解即可，如图2，当∠PCB′＝90°时．如图3，当∠PCB′＝90°时．如图4，当∠CPB′＝90°时．
（3）如图5，首先证明四边形ABCD是正方形，如图6，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∵翻折，
∴AB'＝AB＝8，PB'＝PB＝t，
∴PC＝6﹣t，CB′＝AC﹣AB'＝2，
∴在Rt△PCB'中，PC2＝PB'2+CB'2，
∴（6﹣t）2＝t2+22，
∴t＝；
（2）如图2，当∠PCB'＝90°，B'在CD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝CD＝8，AD＝BC＝6，
∴DB′＝＝＝2，
∴CB′＝CD−DB′＝8−2，
在Rt△PCB'中，∵B'P2＝B′C2+PC2，
∴t2＝（8−2）2+（6−t）2，
∴t＝；
如图3，当∠PCB'＝90°，B'在CD的延长线上时，
在Rt△ADB'中，DB′＝＝＝2，
∴CB′＝8+2，
在Rt△PCB'中，∵B'P2＝B′C2+PC2，
∴t2＝（8+2）2+（t﹣6）2，
解得t＝；
如图4中，当∠CPB'＝90°时，
∵∠B＝∠AB′P＝∠BPB′＝90°，AB＝AB′，
∴四边形AB'PB为正方形，
∴BP＝AB＝8，
∴t＝8，
综上所述，满足条件的t的值为8s或s或s；
（3）当t＞3时，∠PAM的大小不变，理由如下：
当t＜3时，如图5，
∵∠PAM＝45°，
∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°，
又∵△PAB关于直线PA的对称△PAB'，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵∠ADM＝∠AB'M，AM＝AM，
∴△AMD≌△AMB'（AAS），
∴AD＝AB'＝AB，即四边形ABCD是正方形；
当t＞3时，如图6，
设∠APB＝x，
∴∠PAB＝90°﹣x，
∴∠DAP＝x，
∵AB′＝AD，AM＝AM，
∴Rt△MDA≌Rt△MB'A（HL），
∴∠B′AM＝∠DAM，
∵作△PAB关于直线PA的对称△PAB'，
∴∠PAB＝∠PAB'＝90°﹣x，
∴∠DAB'＝∠PAB'﹣∠DAP＝90°﹣2x，
∴∠DAM＝∠B'AM＝45°﹣x，
∴∠MAP＝∠DAM+∠PAD＝45°．