清单30 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系(原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单30 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系(原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共10页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单30圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系一、知识与方法清单1．圆的标准方程圆的标准方程：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫做以点(a,b)为圆心,r 为半径长的圆的标准方程．【对点训练1】（2020年山东省春季高考数学真题）已知圆心为的圆与轴相切,则该圆的标准方程是（    ）A． B．C． D．2.圆的一般方程：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)叫做圆的一般方程．注：将上述一般方程配方得＋＝,此为该一般方程对应的标准方程,表示的是以(－,－)为圆心,为半径长的圆．【对点训练2】若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆,则m的取值范围是                    (　　)A.(－∞,2]       B.(－∞,2)C.(－∞,)       D.(－∞,]3.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为(1)根据题意,选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．【对点训练3】在平面直角坐标系中,三点O(0,0),A(2,4),B(6,2),则△OAB的外接圆方程是        ．4.求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说,求圆的方程有两种方法：①几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直于切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线．②代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解．【对点训练4】（2020届河南省顶级名校高三上学期9月开学联考）已知圆与倾斜角为的直线相切于点,且与曲线相外切,则圆的方程为（    ）A．,B．,C．,D．,5.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2,点M(x0,y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【对点训练5】两条直线y＝x＋2a,y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部,则实数a的取值范围是 (　　)A.(－,1) B.(－∞,－)∪(1,＋∞)C.[－,1)D.(－∞,－]∪[1,＋∞)6.与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．常用结论有：(1)圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于,最小值等于.(2)圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径,最小值等于点C到直线l距离的最小值减去半径.(3)设点M是圆C内一点,过点M作圆C的弦,则弦长的最大值为直径,最小的弦长为.【对点训练6】（2021届贵州省贵阳市高三下学期月考）圆C：被直线截得的最短弦长为（    ）A． B． C． D．7.与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题,可转化为动点到定点(a,b)的距离平方的最值问题．【对点训练7】设P(x,y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意点,则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为                                  (　　)A.6       B.25       C.26       D.368.与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【对点训练8】在平面直角坐标系中,分别是轴和轴上的动点,若以为直径的圆与直线相切,则圆面积的最小值为      9. 阿波罗尼奥斯圆阿波罗尼奥斯（Apollonius约公元前262~约前190）与欧几里德、阿基米德被称为古希腊亚历山大前期的三大数学家.年轻时在亚历山大跟从欧几里德的门徒学习,其贡献涉及几何学诸领域及天文学,他最重要的数学成就,是在前人工作的基础上创立了完美的圆锥曲线理论,《圆锥曲线论》就是这方面的系统总结,这部巨著将圆锥曲线的性质网络殆尽,阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的研究所达高度,直至17世纪笛卡儿、帕斯卡出场之前,始终无人能够超越.《圆锥曲线论》共8卷, 前4卷的希腊文本和其次3卷的阿拉伯文本保存了下来,最后一卷遗失.此书集前人之大成,且提出很多新的性质.他推广了梅内克缪斯（公元前4 世纪,最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法,证明了三种圆锥曲线都可以由同一圆锥体截取而得,改变了过去要用三种不同的锥体截取的方法,继而给出拋物线、椭圆、双曲线,正交弦等名称,取代了过去的直角圆锥曲线、钝角圆锥曲线和锐角圆锥曲线的叫法.书中已有坐标制思想.他以圆锥体底面直径作为横坐标,过顶点的垂线作为纵坐标,这给后世坐标几何的建立以很大的启发.阿波罗尼奥斯还有好几种著作.他在《取火镜》中证明了平行光线投影在凹球面镜上,反射光线并不集中在球心,抛物面镜才有这种聚焦的性质.在《相切》一书中他提出后来被称为“阿波罗尼奥斯问题”的有名作图题.
平面内到两个定点的距离之比为常数（>0且1)的点的轨迹是圆,这个圆就是,它是阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时提出的,有些资料把它称为圆的第二定义,其证明并不困难,这里从略,【对点训练9】△ABC中,BC=4,AB=2AC,则△ABC面积的最大值为         .10.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法.①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式．【对点训练10】（2021届贵州省高三3月份模拟）已知圆,动圆过点,且圆与圆外切,则动圆的圆心的轨迹方程是___________.11．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题．【对点训练11】圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是                          (　　)A.相切             B.相交但直线不过圆心C.相交过圆心       D.相离12.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.【对点训练12】已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10,求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l：x－2y＋4＝0垂直；(2)过点A(4,－1)．13.直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题．【对点训练13】（2021届甘肃省金昌市高三第二次联考）直线被圆所截得的弦长为（    ）A． B． C． D．14．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0),圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1,r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解 【对点训练14】（2021届四川省成都市高三上学期月考）已知点,,若圆：上存在点M,使得,则实数t的取值范围是（    ）A． B．C． D．15.判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d,求r1＋r2,|r1－r2|；(3)比较d,r1＋r2,|r1－r2|的大小,写出结论．【对点训练15】已知直线,圆,则直线与圆的位置关系是（    ）A．相交 B．相切C．相离 D．无法确定16.两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．【对点训练16】（多选）已知圆与圆有四条公共切线,则实数的取值可以是（    ）A． B． C． D．17.当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．【对点训练17】（2021届湖南省高三下学期考前押题）已知圆,,则这两圆的公共弦长为（    ）A．2 B． C．2 D．1二、跟踪检测一、单选题1．圆到直线的距离为的点有（    ）A．个 B．个C．个 D．个2．过圆上一点作圆的两条切线,切点分别为,若,则（    ）A．1 B． C． D．3．（2021届辽宁省名校高三第一次联考）以点为圆心,且与直线相切的圆的方程是（    ）A． B．C． D．4．（2021届江西省九江市高三二模）0过点作圆：的两条切线,切点分别是,,若,则（    ）A． B． C． D．5．（2020届福建省南平市高三上学期期中）一条直线经过点,且与：相交所得弦长为,则此直线的方程是（    ）A． B．C． D．或6．数学中有些优美的曲线显示了数学形象美､对称美､和谐美,曲线：就是四叶玫瑰线,则不等式表示区域所含的整点(即横､纵坐标均为整数的点)个数为（    ）A．1 B．4 C．5 D．97．（2022届重庆市南开中学高三上学期9月月考）自点发出的光线经过轴反射,其反射光线所在直线正好与圆相切,则反射光线所在直线的所有斜率之和为（    ）A． B．2 C． D．48．（2022届广东省高三上学期联合质量测评）在平面直角坐标系中,定义两点之间的折线距离为,设点P是圆上一点,点Q是直线上一点,则的最小值为（    ）A． B．1 C． D．9．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点,且点在直线上,则的取值范围是（    ）A． B． C． D．10．在平面直角坐标系中,已知圆与圆相交于两点,点是线段上的任意一点（含端点）,若存在,使得以为圆心,以1为半径的圆与圆无公共点,则的取值范围为（    ）A． B． C． D．11．（2021届陕西省榆林市高三下学期模拟）已知是半径为1的动圆上一点,为圆上一动点,过点作圆的切线,切点分别为,,则当取最大值时,△的外接圆的方程为（    ）A． B．C． D．12．在平面直角坐标系中,已知点,圆,在圆上存在点满足,则实数的取值范围是A． B． C． D．二、多选题13．已知圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列结论正确的是（    ）A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝aD．y1＋y2＝2b14．设有一组圆,,下列四个命题正确的是（    ）A．存在,使得圆与轴相切 B．存在,使得圆与圆有公共点C．存在一条直线与所有的圆均相交 D．存在,使得圆经过原点15．（2021届河北省正定中学高三上学期月考）如果, , , ,是以为直径的圆上一段圆弧,是以为直径的圆上一段圆弧,是以为直径的圆上一段圆弧,三段弧构成曲线Ω,则下面说法正确的是（    ）A．曲线Ω与轴围成的面积等于B．与的公切线方程为：C．所在圆与所在圆的交点弦方程为：D．用直线截所在的圆,所得的弦长为16．（2022届广东省深圳市高三上学期第一次质量检测）已知圆,为直线上的动点,则下列结论正确的为（    ）A．当时,与可能相交B．若Q为上的动点,且的最小值为r,则C．若,则上恰有2个点到l的距离为D．若,且圆P的半径为,则圆与不可能内切三、填空题17．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切,则实数m的值为___________.19．（2021届浙江省温州中学高三下学期返校考）已知圆：（）和：,动圆与圆,圆均相切,是的内心,且,则的值为__________.四、解答题20．（2021届重庆市第十一中学校高三上学期11月月考）已知圆：和圆相交于两点.（1）求公共弦的垂直平分线方程.（2）求的面积.21．已知点,动点满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）求经过点以及曲线与交点的圆的方程.22．如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆：及其上一点.
（1）设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于,两点,且,求直线的方程；23．已知圆过点且与圆相切于点,直线与圆交于不同的两点、.（1）求圆的方程；（2）若圆与轴的正半轴交于点,直线、的斜率分别为、,求的值.