清单28 空间向量的运算及应用 (原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单28 空间向量的运算及应用 (原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共14页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单28 空间向量的运算及应用
一、知识与方法清单
1．空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
模为0的向量
0
单位向量
长度(模)为1的向量

相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b
相反向量
方向相反且模相等的向量
a的相反向量为－a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量

【对点训练1】与向量(－3,－4,5)共线的单位向量是______．
2.共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得a＝λb.
【对点训练2】(1)如图,在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心．

①试证A1,G,C三点共线；
②试证A1C⊥平面BC1D；
3.共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb,其中x,y∈R,a,b为不共线向量．
【对点训练3】在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中,向量,,是(　　)
A．有相同起点的向量 B．等长的向量
C．共面向量 D．不共面向量
4.空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p＝xa＋yb＋zc,{a,b,c}叫做空间的一个基底．
【对点训练4】如图,在三棱锥O—ABC中,M,N分别是AB,OC的中点,设＝a,＝b,＝c,用a,b,c表示,则等于(　　)

A.(－a＋b＋c) B.(a＋b－c)
C.(a－b＋c) D.(－a－b＋c)
5.向量三点共线定理
在平面中A,B,C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1),O为平面内任意一点．
【解读】证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P,A,B,可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
①＝λ；
②对空间任一点O,存在实数t,使＝＋t；
③对空间任一点O,＝＋t或＝x＋y,这里x＋y＝1.
【对点训练5】设空间四点O,A,B,P满足＝m＋n,其中m＋n＝1,则(　　)
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P不一定在直线AB上
D．以上都不对
6.向量四点共面定理
在空间中P,A,B,C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1),O为空间中任意一点．
【解读】证明空间四点共面的方法
对空间四点P,M,A,B,可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
①＝x＋y；
②对空间任一点O,＝＋x＋y；
③对空间任一点O,＝x＋y＋z,其中x＋y＋z＝1；
④∥.
【对点训练6】O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且＝＋＋t,若P,A,B,C四点共面,则实数t＝______.
7. 利用向量解决立体几何问题的方法
(1)利用向量解决立体几何问题的一般方法是：把线段或者角度转化为向量表示,用已知向量(基底或者是建立空间直角坐标系)表示未知向量,然后通过向量的运算或证明去解决平行、垂直、夹角、距离等问题；
(2)通常选取两两垂直的向量作为基底,其余的向量都利用这些基底向量来表示,为进一步利用向量进行计算做铺垫；
(3)求两个向量的夹角一般是利用夹角公式cos〈a,b〉＝；证明两个非零向量垂直可利用a·b＝0.
【对点训练7】正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD中点,求EF的长．
8.空间向量的数量积数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作＝a,＝b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作〈a,b〉,其范围是0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉＝,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b＝|a||b|cos〈a,b〉．
【对点训练8】已知a＝(1,0,1),b＝(x,1,2),且a·b＝3,则向量a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
9.空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
【对点训练9】已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为(　　)
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
10.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0,λ∈R)
a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0,b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夹角
〈a,b〉(a≠0,b≠0)
cos〈a,b〉＝

【对点训练10】已知空间三点A(－2,0,2),B(－1,1,2),C(－3,0,4),设a＝,b＝.
(1)若|c|＝3,且c∥,求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
11. 直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．
【对点训练11】如图所示,正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为1,E,F分别是BC,CD上的点,且BE＝CF＝a(0