清单29 直线与方程及两直线的位置关系(原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单29 直线与方程及两直线的位置关系(原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共9页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单29 直线与方程及两直线的位置关系一、知识与方法清单1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°,180°)．【对点训练1】过点且倾斜角为的直线方程为（    ）A． B．C． D．2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°,则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上且x1≠x2,则l的斜率k＝.【对点训练2】直线的倾斜角的大小为（    ）A． B． C． D．3.根据斜率求倾斜角的范围时,当斜率有正有负,要分与两种情况讨论．【对点训练3】设直线l的方程为,则直线l的倾斜角的取值范围是（    ）A． B．C． D．4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用【对点训练4】（2021届陕西省宝鸡市八校高三下学期联合检测）下列四个命题中的真命题是（    ）A．经过定点的直线都可以用方程表示；B．不经过原点的直线都可以用方程表示；C．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示；D．过半径为r的圆上一点的切线都可以用方程表示5.在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况．【对点训练5】在直角坐标系中,已知射线,过点作直线分别交射线,轴正半轴于点､.（1）当的中点为时,求直线的方程；（2）求的最小值.6.直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标,它不是距离,它可正、可负、可为0,在求与截距有关的直线方程时,注意对直线的截距是否为零进行分类讨论,防止忽视截距为零的情形,导致产生漏解【对点训练6】已知直线l过点P(2,−1),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.7.求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值．求参数值或范围．注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解．【对点训练7】直线l过点P(1,4),且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点．①当|OA|＋|OB|最小时,求l的方程；②若|PA|·|PB|最小,求l的方程．8.两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1＝k2.(ⅱ)当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.【对点训练8】已知直线与平行,则实数a的值是（    ）A． B．2 C． D．-29.两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2.当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件．【对点训练9】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)，求a，b的值；10.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件．②在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．③两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定,但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时,往往需要烦琐地讨论．但也可以这样避免：设两直线为A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0,＝≠保证了平行的同时又去掉了重合的情形．两直线垂直的条件为·＝－1,由此得A1A2＋B1B2＝0,但后者适用性更强,因为当B1＝0或B2＝0时前者不适用但后者适用．【对点训练10】（2021-2022学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三上学期返校考试）已知直线：与直线：相互垂直,则实数m的值是（    ）A．0 B．1 C．-1 D．11.两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．【对点训练11】（2021-2022学年湖北省武汉市部分学校高三上学期质量检测）在平面直角坐标系中,某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和,另一组对边所在的直线方程分别为和,则（    ）A． B． C．2 D．412.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|＝.【对点训练12】（2019-2020学年河北省石家庄市高三月考）已知实数满足,其中是自然对数的底数,则的最小值为A． B． C． D．13.点P0(x0,y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.【对点训练13】点到直线的距离为（    ）A． B． C． D．14.两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.注意两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等．【对点训练14】已知直线：（）,：,若,则与间的距离为（    ）A． B． C．2 D．15．平行直线系【对点训练15】求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．16.垂直直线系与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．【对点训练16】求经过A(2,1),且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．17.过直线交点的直线系过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R),但不包括l2.【对点训练17】经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点,并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为____________．18.中心对称①点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．【解读】求直线关于点的对称直线的方程,其主要方法是：在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用两直线平行,由点斜式得到所求直线方程,当然,斜率必须存在．【对点训练18】（2020年山东省春季高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ）A． B．C． D．19.轴对称①点A(a,b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m,n),则有②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．【解读】点关于直线的对称．若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称,则线段P1P2的中点在l上,且连接P1P2的直线垂直于l,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2)．直线关于直线的对称．此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决,有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．【对点训练19】求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程。二、跟踪检测一、单选题1．（2021-2022学年安徽省江淮十校高三上学期第一次联考）“”是“直线与直线平行”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知直线在轴上的截距为3,在轴上的截距为-2,则的方程为（    ）A．3x-2y-6=0 B．2x-3y+6=0C．2x-3y-6=0 D．3x-2y+6=03．已知直线,直线,若直线与直线互相垂直,则实数的值为（    ）A．2或－1 B．－1 C．2 D．4．若,,三点共线,则（    ）A． B． C． D．5．经过直线与的交点,且与直线垂直的直线方程为（    ）A． B． C． D．6．设直线l：与直线平行,则点到l的距离的最小值为（    ）A． B．1 C． D．7．（2022届重庆市南开中学高三上学期9月考试）自点发出的光线经过轴反射,其反射光线所在直线正好与圆相切,则反射光线所在直线的所有斜率之和为（    ）A． B．2 C． D．48．（2021-2022学年安徽省蚌埠市高三上学期第一次教学质量检查）过点的直线与轴正半轴相交于点,与轴正半轴相交于点,则的最小值为（    ）A．6 B． C． D．9．（2021届四川省德阳市高三二模）对圆上任意一点,若的值都与,无关,则实数的取值范围是（    ）A． B．C．或 D．10．（2020-2021学年浙江省高三上学期9月联考）已知点,是曲线（为非零常数）上两个不同的点,则关于x,y的方程组的解的情况,下列说法错误的是（    ）A．当时,对任意的,方程组总是有解B．当时,对任意的,方程组总是有解C．当时,存在,使方程组有唯一解D．当时,存在,使方程组有唯一解11．设直线系,,对于下列四个命题：（1）中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点不在中的任意一条直线上；（3）对于任意整数,,存在正边形,其所有边均在中的直线上；（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（    ）A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）    （4） D．（1）（2）12．在直角坐标系中,全集,集合,已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M,点P是线段（,）上的动点,点Q是x轴上的动点,则周长的最小值为（    ）A．24 B． C．14 D．二、多选题13．若直线：,与直线：互相平行,则的值可能为（    ）A． B．1 C．3 D．014．定义点P(x0,y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为．已知点P1,P2到直线l的有向距离分别是d1,d2．以下命题不正确的是（    ）A．若d1＝d2＝1,则直线P1P2与直线l平行B．若d1＝1,d2＝－1,则直线P1P2与直线l垂直C．若d1＋d2＝0,则直线P1P2与直线l垂直D．若d1·d2≤0,则直线P1P2与直线l相交15．已知直线l1：x－y－1＝0,动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R),则下列结论正确的是（    ）A．存在k,使得l2的倾斜角为90°B．对任意的k,l1与l2都有公共点C．对任意的k,l1与l2都不重合D．对任意的k,l1与l2都不垂直16．（2021届福建省龙岩市高三下学期第一次教学质量检测）若点在直线上,其中,,则（    ）A．的最大值为 B．的最大值为2C．的最小值为 D．的最小值为三、填空题17．（2021届广东省高州市高三下学期3月月考）一条与直线平行且距离大于的直线方程为_______________.18．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．19．（2021届上海市张堰中学高三下学期第一次阶段考试）已知二元函数的最小值为,则正实数a的值为________．四、解答题20．（2021-2022学年江苏省南通市高三上学期期初测试）已知直线l过点(2,1),点O是坐标原点.（1）若直线l在两坐标轴上截距相等,求直线l方程；（2）若直线l与x轴正方向交于点A,与y轴正方向交于点B,求OA＋OB的最小值及此时的直线方程.21．在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,4)对称,求直线l的方程．22．为了绿化城市,准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪,其中,点Q在上,且,,经测量,,,．（1）如图建立直角坐标系,求线段所在直线的方程；（2）在（1）的基础上,应如何设计才能使草坪的占地面积最大,确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到）23．已知直线,若直线在轴上的截距为,且.（1）求直线和直线的交点坐标；（2）已知直线经过直线与直线的交点,且在轴上截距是在轴上的截距的倍,求直线的方程.24．已知四边形为平行四边形,、,为边的垂直平分线与轴的交点.（1）求点的坐标；（2）一条光线从点射出,经直线反射,反射光线经过的中点,求反射光线所在直线的方程.