备战2021年中考数学全真模拟卷15（解析版）

这是一份备战2021年中考数学全真模拟卷15（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
备战2021年中考数学全真模拟卷15解析
（考试时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。
1．（2020·河北承德市·九年级二模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入120元记作，则元表示（ ）．
A．收入40元 B．收入80元 C．支出40元 D．支出80元
【答案】C
【分析】结合收入120元记作，根据相反数、正负数的性质分析，即可得到答案．
【详解】∵收入120元记作∴元表示支出40元故选：C．
【点睛】本题考查了相反数、正数和负数的知识；解题的关键是熟练掌握相反数、正数和负数的性质，从而完成求解．
2．（2020·湖北武汉市·九年级二模）要使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式即可求解.
【详解】当分式有意义，则有，∴；故选：D.
【点睛】本题考查使分式有意义的条件，解题时注意分母不能为0.
76．（2020·湖北宜昌市·中考真题）对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别计算出各选项的结果再进行判断即可．
【详解】A．不能再计算了，是无理数，不符合题意；
B．，是无理数，不符合题意；
C．，是无理数，不符合题意；
D．，是有理数，正确．故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键．
4．（2020·辽宁本溪市·中考真题）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】根据方差的意义即方差越小成绩越稳定即可求解．
【详解】解：∵，，，，且平均数相等，
∴＜＜＜∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，故选：A．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5．（2020·北京中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
【分析】设水面高度为 注水时间为分钟，根据题意写出与的函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：设水面高度为 注水时间为分钟，则由题意得：
所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B．
【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2020·湖北随州市·九年级其他模拟）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案“赵爽弦图”用，表示直角三角形的两直角边（），并且，小正方形面积为1．若随机在大正方形及其内部区域投针，则针扎到直角三角形的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出大正方形的面积(x2+y2)和4个直角三角形的面积2xy，再利用规律公式即可求解．
【详解】解：根据题意和图象可知：①，②，
①+②得 ①-②得： 则针扎到直角三角形的概率是：P=故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理和完全平方公式的应用以及根据图形列出出方程组并求解、概率的定义，根据图形列出方程组是解题的关键．
7．（2020·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．

【答案】A
【分析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
【解析】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，
则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，∴CF=8-5=3，∴PF=4，∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，∴DF=CF=3，∴BD=8-3-3=2，∴D(9，2)．故选A．

【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．
8．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】这个几何体共有3层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，以及第三层的最多个数，再相加即可．
【详解】解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三层最多1个，∴所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个）；故选：B．
【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
9．（2020·湖北武汉市·九年级二模）如图.我们按规律将正整数填入平面直角左边系的部分对应点，若将点上的数字记作，如，，，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分析得，依次表示出到，根据裂项法则依次展开即可求解．
【详解】由图可知：，，，，，，，，，，则



故选A．
【点睛】本题考查找规律和简便运算，熟练图形中的数字规律和分数裂项法则为解题关键．
10．（2020·合肥市第四十八中学九年级一模）如图，等腰的一个锐角顶点是
上的一个动点，，腰与斜边分别交于点，分别过点作的切线交于点，且点恰好是腰上的点，连接，若的半径为4，则的最大值为：（ ）

A． B． C．6 D．8
【答案】A
【分析】先由等腰三角形的性质、切线的性质及圆的半径相等判定四边形ODFE是正方形，再得出点C在以EF为直径的半圆上运动，则当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，用勾股定理计算出OG的长度，再加上CG的长度即可．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∴∠DOE=2∠A=90°，
∵分别过点D，E作⊙O的切线，∴OD⊥DF，OE⊥EF，∴四边形ODFE是矩形，
∵OD=OE=4，∴四边形ODFE是正方形，∴EF=4，
∵点F恰好是腰BC上的点，∴∠ECF=90°∴点C在以EF为直径的半圆上运动，

∴设EF的中点为G，则EG=FG=CG=EF=2，且当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，此时，在Rt△OEG中，OG=，∴OC=OG+CG=.故答案为：A.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、正方形的判定、直角所对的弦是直径及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。
11．（2020·湖北武汉·中考真题）计算的结果是________．
【答案】
【分析】根据分式的减法法则进行计算即可．
【解析】原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的减法运算，熟记运算法则是解题关键．
12．（2020·四川广安市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab=________．
【答案】12
【分析】关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即求出a和b的值，从而求出结论．
【详解】解：∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，∴a=-6，b=-2∴ab=12故答案为：12．
【点睛】此题考查的是根据两点关于原点对称，求参数的值，掌握关于原点对称两点坐标关系是解题关键．
13．（2020·山东潍坊·中考真题）若，则的值是
【答案】1
【分析】把所求代数式变形为，然后把条件整体代入求值即可．
【解析】∵，∴==4×1-3=1．
【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式变形为．
14．（2020·广西中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线y＝﹣x对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．

【答案】3
【分析】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可得，图象过第二象限，可得k＜0，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断．
【解析】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可知：图象过第二象限，∴k＜0，所以①错误；
因为当x＜0时，y随x的增大而增大，所以②正确；因为该函数图象关于直线y＝﹣x对称，所以③正确；
因为点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，所以k＝﹣6，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上，所以④正确．所以其中正确结论的个数为3个．故答案为：3．
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象和性质是解题的关键．
15．（2020·湖北武汉市·九年级一模）如图，在矩形中是的中点，是的中点，点在上．分别连接交于点．若，则__________．

【答案】
【分析】连接BD，交CG于点M，过点C作CN⊥BD于点N，通过等面积法计算CN的长度，利用等腰直角三角形计算各边的长度，再利用相似解得GM，从而得到OG．
【详解】连接BD，交CG于点M，过点C作CN⊥BD于点N，
∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴ EF是△BCD的中位线，CE＝BC＝7，CF＝CD＝，
∴ EF＝，BD＝2EF＝，
利用△BCD的面积相等，可得：，解得：，
∵ EF是△BCD的中位线，∠FOC＝45°，∴∠NMC＝45°，△MNC是等腰直角三角形，
∴MN＝CN＝，CM＝，在Rt△DNC中，DN＝，∴BM＝BD－DN－MN＝，
∵AB∥CD，∴∠GBM＝∠MDC，且∠GMB＝∠CMD，∴△GMB∽△CMD，
∴，即：，解得：，
∴OG＝OM＋GM＝MC＋GM＝，故填：．

【点睛】本题考查矩形的性质，中位线定理，相似三角形的判定与性质，灵活应用等面积法是关键．
16．（2020·山东日照·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，得出④正确，即得出结论．
【解析】解：由图象可知：a＜0，c＞0， ，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①abc＜0错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确；
∵x＝﹣1时，y有最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），
即x1＝1，x2＝﹣3，∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．所以正确的是②④；故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
三、解答题（共8题，共72分）
下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．（2020·山东聊城·中考真题）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】该不等式组的解集是，它的所有整数解为0，1，2．
【分析】分别求出两个不等式，确定不等式组的解集，写出整数解即可．
【解析】解：解不等式①，得． 解不等式②，得．
在同一数轴上表示出不等式①，②的解集：
所以该不等式组的解集是． 它的所有整数解为0，1，2．
【点睛】本题考查了解不等式组，确定不等式组的解集可以借助数轴分别表示各不等式的解集，确定公共部分即可．
18．（2020·西安交通大学附属中学雁塔校区九年级三模）如图，点D、C在线段BF上，BD＝CF，∠B＝∠F，且DEAC．求证：AC＝DE．

【答案】证明见解析
【分析】根据平行线的性质得出∠EDF＝∠ACB，利用线段的和与差得到BC＝DF，根据全等三角形的判定得出△BAC≌△FED，根据全等三角形的性质得出即可．
【详解】证明：∵BD＝CF，∴BD+CD＝CF+CD，即BC＝DF，
∵DE∥AC，∴∠EDF＝∠ACB，
在△BAC和△FED中∴△BAC≌△FED（ASA），∴AC＝DE．
【点睛】考查全等三角形的判定和性质，本题结合平行线和线段的和与差的相关知识，学生不要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质才是本题解题的关键．
19．（2020·海南海口市·九年级三模）某工厂甲、乙两个部门各有员工200人，为了了解这两个部门员工的生产技能情况，相关部门进行了抽样调查，过程如下：
（收集数据）从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制，单位：分）如下：
甲
78
86
74
81
75
76
87
70
75
90
75
79
81
70
75
80
85
70
83
77
乙
92
71
83
81
72
81
91
83
75
82
80
81
69
81
73
74
82
80
70
59
（整理、描述数据）按分数段整理以上两组样本数据后，绘制甲、乙两部门员工成绩的频数分布图（如图）

（说明：测试成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60﹣69分为合格）
（分析数据）两组样本数据的平均数，中位数、众数如下表所示：
部门
平均数
中位数
众数
甲
78.35
77.5
75
乙
 
 
 
（1）请将上述不完整的频数分布图补充完整；
（2）请分别求出乙部门员工测试成绩的平均数，中位数和众数填入表中；
（3）请根据以上统计过程进行下列推断；①估计乙部门生产技能优秀的员工约有　 　人；②你认为甲，乙哪个部门员工的生产技能水平较高，请说明理由，（至少从两个不同的角度说明推晰的合理性）
【答案】（1）补全频数分布图见解析；（2）填表见解析；（3）①120；②甲或乙（言之有理即可）．
【分析】（1）根据题干数据整理即可得；（2）利用平均数、中位数及众数的定义直接写出答案即可．
（3）①总人数乘以样本中优秀的人数所占比例；②根据中位数和众数等意义解答可得．
【详解】解：（1）根据数据可知乙部门80≤x≤89由10人，甲部门 90≤x≤100有1人，
故补全图表如下：

（2）（92+71+83+81+72+81+91+83+75+82+80+81+69+81+73+74+82+80+70+59）÷20=78
由小到大排列如下：59 69 70 71 72 73 74 75 80 80 81 81 81 81 82 82 83 83 91 92，
第10个数和11个数分别为80和81，故中位数为81.5，
81出现的次数最多为4次，故众数为81．填表如下：
部门
平均数
中位数
众数
甲
78.35
77.5
75
乙
78
80.5
81
（3）①估计乙部门生产技能优秀的员工人数是200×=120人；
②甲或乙（言之有理即可），
1°、甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；
2°、甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高；
或1°、乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；
2°、乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．
【点睛】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义以及用样本估计总体是解题的关键．
20．（2020·湖北武汉市·九年级三模）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;
②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.
【分析】(1)作直径AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点M、N，作直线MN交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求；
(2)①连接AC、BD交于点O，则O为BD的中点，连接BE交CO于点G，连接DG并延长交BC于点F，则F即为所求；②如图，利用网格特点连接BM，则可得直线BM⊥AC，连接CN，则可得直线CN⊥AB，两线交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求.
【详解】(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；

(2)①如图所示，点F即为所求；

②如图所示，AH即为所求.

【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是解题的关键.
21．（2020·湖北武汉市·九年级其他模拟）如图，AB是的直径，D是AB上的一点，C是上的一点，过点D作AB的垂线，与过点C的切线相交于点P，PD与AC相交于点E．（1）求证：是等腰三角形；（2）连接BC，若，，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂直和切线的性质得到，然后根据对顶角相等得到，根据等角对等边即可证明；（2）作于点F，于点G，连接OE，根据三角形中位线的性质得到OF的长，在中应用勾股定理得到EF的长，进而得到CE的长，然后根据三角形相似的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，∴．
∵PC是的切线，∴．
∵，∴．∴，
∵，∴．∴，即是等腰三角形．
（2）作于点F，于点G，连接OE，

可得，，∴．
∴，．∴，的半径为5．∴．
∵=∠B又∵∴∴．
∵∴．故答案为．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，三角形相似的性质，是几何部分的综合题，第（2）问关键是证明两个三角形相似．
22．（2020·湖北荆门·中考真题）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额=销售量×销售价格）

【答案】（1）；（2）当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额500元．
【分析】（1）分为和，用待定系数法确定解析式即可；
（2）分别计算出和时的最大值，进行比较，最大的作为最大值即可．
【解析】（1）当时，设，由图象得：
解得：∴
当时，设，由图象得：解得：∴
综上，．
（2）设当月该农产品的销售额为w元，则．
当时，
∵，由二次函数的性质可知：∴当时，
当时，
∵，由二次函数的性质可知：当时，
∵∴当时，w取得最大值，该最大值为500．
答：当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元．
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数在实际问题中的应用，能根据实际问题提供的关系式快速列式并进行准确的计算是解题的关键．
23．（2020·辽宁盘锦市·九年级三模）（1）如图1，在和中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．求：①的值；②∠AMB的度数．
（2）如图2，在和中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，将点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=2，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

【答案】（1）①1，②40°；（2）=，∠AMB=90°，见解析；（3）2或4
【分析】（1）①根据已知条件证明△COA≌△DOB，即可证明AC=BD；②根据△COA≌△DOB可得∠CAO=∠DBO，根据已知条件可得∠OAB+∠ABO=140°，然后在△AMB中，根据等角的转换即可得到答案；
（2）根据已知条件证明△AOC∽△BOD，可得∠CAO=∠DBO，进而可得∠MAB=∠OAB+∠DBO，最后可得∠AMB=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；（3）分两种情况讨论，根据题（2），同理可得，，，设BD=x，则 用x表示出AM、BM的长，在中，根据勾股定理列出方程，求解即可．
【详解】解：（1）①如图1，

∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC=BD，∴=1，
②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，
在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣140°=40°，
（2）如图2，=，∠AMB=90°，

理由是：在Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，∴，
同理得：，∴，
∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD， ∴=，∠CAO=∠DBO，
在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；
（3）AC的长为2或4．
①如图，点C与点M重合，

同理可得：，，，
设BD=x，则，在中，，OD=2，，
在中，，OB=2，，
在中，，即，
解得：x=2或-4(舍)，AC=；
②如图，点C与点M重合，

同理可得：，，设BD=x，则AC=，
在中，，OD=2，，，
在中，，，，
在中，，即，
解得：x=4或-2（舍），AC=，综上所述，AC的长为或．
【点睛】本题主要考查三角形的综合运用，涉及全等三角形与相似三角形的性质和判定、勾股定理、解一元一次方程、图形旋转证明、特殊角的三角函数值等知识点，难度较大，第（1）题证明△COA≌△DOB是关键，第（2）题证明△AOC∽△BOD是关键，第（3）题要特别注意分情况讨论．
24．（2020·山东莘县初三学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当时，求的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）的值为或；（3）存在，M的坐标为或或．
【分析】（1）先求出A、C两点坐标，再用待定系数法求解；
（2）如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则易得△BFG∽△BEH，设点E的横坐标为t，则，利用相似三角形的性质可求出点F的坐标，再根据EH与FG的关系列出关于t的方程，解方程即可求出t的值，然后在Rt△EBH中即可求出的值；
（3）①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：点M在对称轴右侧时，BN为对角线与点M在对称轴左侧时，BM为对角线，利用平移的性质即可求出结果；②当EB为平行四边形的对角线时，利用平行四边形对角线的性质和中点坐标公式求解即可.
【解析】解：（1）在中，当时，当时，∴、，
∵抛物线的图象经过A、C两点，
∴，解得，∴抛物线的解析式为；
（2）令，解得，，∴，

设点E的横坐标为t，则，
如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则，∴△BFG∽△BEH，
∵，∴，
∵，∴，∴点F的横坐标为，
∴，∴，∴，解得，，
当时，，当时，，∴，，
当点E的坐标为时，在中，，，
∴，∴；
同理，当点E的坐标为时，，∴的值为或；
（3）∵点N在对称轴上，∴，
∵点E位于对称轴左侧，∴.
①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：
（Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线，
∵，，，，
∴，当时，，∴；
（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，
∵，，，，∴，
当时，，∴；
②当EB为平行四边形的对角线时，
∵，，，∴，∴，
当时，，∴；
综上所述，M的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的求解、锐角三角函数的知识、平行四边形的性质及其第四个顶点的确定问题，考查的知识点多、综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握待定系数法是解（1）题的关键；熟知函数图象上点的坐标特征、灵活应用相似三角形的性质和方程思想是解（2）题的关键；正确分类、不重不漏，灵活运用平行四边形的性质和平移的数学思想方法是解（3）题的关键.