苏教版 六年级数学下册【拓展篇】期中复习应用部分拓展篇（原卷版+解析版）

六年级数学下册典型例题系列之

期中复习应用部分拓展篇（解析版）

编者的话：

《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是期中复习应用部分拓展篇。本部分内容是第一单元至第四单元应用部分的拓展，内容偏于思维拓展，难度较大，建议根据学生掌握情况选择性进行讲解，一共划分为十一个考点，欢迎使用。

【考点一】求不规则圆柱体的表面积。

【方法点拨】

求不规则圆柱体的表面积，注意分析图形是由哪几个面组合而成的，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。

【典型例题1】

如图，一根长2米，底面周长为12.56分米的圆木，沿着它的两条半径，截去部分，该图形的表面积是多少平方分米？

解析：

2米=20分米

底面半径：12.56÷3.14÷2=2（分米）

圆柱两个底面积之和：3.14×22×2=25.12（平方分米）

圆柱侧面积：12.56×20=251.2（平方分米）

截去后的表面积：（25.12+251.2）×（1-）=207.24（dm2）

207.24+2×20×2=287.24（平方分米）

答：该图形的表面积是287.24平方分米。

【典型例题2】

如图，卫生纸的高度是10cm，中间硬纸轴的直径是4 cm，制作100个这样的硬纸轴，至少需要多少平方米的硬纸皮？

解析：

3.14×4=12.56（厘米），长方形的宽是圆柱的高，本题中是10厘米，长方形的面积就等于圆柱侧面积，列式为：3.14×4×10=125.6（平方厘米），100个这样的硬纸轴用纸125.6×100=12560（平方厘米） 12560平方厘米=1.256平方米

【考点二】求组合立体图形的表面积。

【方法点拨】

求组合立体图形的表面积，注意分析图形是由些图形组合而成的，组成该图形的表面有哪些，是什么形状，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。

【典型例题】

如图，一个物体由三个圆柱组成，它们的半径分别为0.5分米，2分米，5分米，而高都是2分米，则这个物体的表面积是多少平方分米？

解析：

大圆柱的表面积：3.14×52×2+2×3.14×5×2

=157+62.8

=219.8（平方分米）

中圆柱侧面积：2×3.14×2×2=25.12（平方分米）

小圆柱侧面积：2×3.14×0.5×2=6.28（平方分米）

这个物体的表面积：219.8+25.12+6.28=251.2（平方分米）

答：这个物体的表面积是251.2平方分米。

【考点三】圆柱表面积的三种增减变化方式在体积中的应用。

【方法点拨】

1.圆柱高的变化引起表面积的变化：

由于底面积没有变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以求出底面周长，进而求出表面积，即底面周长C=变化的表面积÷变化的高度。

2.横切引起的表面积变化。

平行于底面切（横切）一刀，多出的两个面是底面，即两个圆。

3.竖切引起的表面积变化。

垂直于底面切（竖切），多出的两个面是长方形，即以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。

【典型例题1】

一个圆柱，如果把它的高截短3m，它的表面积就会减少，那么这个圆柱的体积减少多少立方米？

解析：

；

答：这个圆柱的体积减少235.5立方米。

【典型例题2】

把一根长4米的圆柱形钢材截成两段，表面积比原来增加15.7平方厘米。这根钢材的体积是多少立方厘米？

解析：

4米＝400厘米

15.7÷2×400＝3140（立方厘米）

答：这根钢材的体积是3140立方厘米。

【考点四】不规则圆柱体的等积转化问题。

【方法点拨】

等积转化问题，关键在于找到题目中的体积不变量，再根据体积不变解决问题。

【典型例题1】

小军有一个密封的瓶子（图A）。里面装了250毫升的果汁，如果把它倒过来（图B），空白部分的容量是50毫升假如把瓶里装满果汁，那么一共能装多少毫升？

解析：

250＋50＝300（毫升）

答：一共能装300毫升。

【考点五】求长方体削成最大圆柱体的体积。

【方法点拨】

在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以中间长度的边作为圆柱底面圆的直径，再根据情况选择圆柱的高来计算圆柱的体积。

【典型例题】

在一个长、宽、高分别是2dm、2dm、5dm的长方体盒子中，正好能放下一个圆柱形物体（如图）。这个圆柱形物体的体积最大是多少立方分米？盒子中空余的空间是多少立方分米？

解析：

3.14×（2÷2）2×5

＝3.14×1×5

＝15.7（立方分米）

2×2×5－15.7

＝20－15.7

＝4.3（立方分米）

答：这个圆柱形物体的体积最大是15.7立方分米，盒子空余的空间是4.3立方分米。

【考点六】圆锥的切面积问题。

【方法点拨】

将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。

【典型例题1】

一个圆锥的底面半径2厘米，高是7厘米，沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每个切面的面积是多少平方厘米?

解析：沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是直径，高是圆锥的高，也就是说底是4厘米，高是7厘米，所以每个切面的面积是14平方厘米。

【典型例题2】

把一个底面直径是10cm的圆锥沿着高切开后，表面积增加了60cm2，这个圆锥的体积是多少cm3？

解析：

60÷2×2÷10＝6（厘米）

3.14×（10÷2）²×6÷3

＝3.14×25×2

＝157（立方厘米）

【考点七】圆锥中的倒水问题。

【方法点拨】

圆锥中的倒水问题

圆锥中倒入部分水，水的形状也是圆锥，当水的高度和原来圆锥的高度之比是m∶n时，水形成的圆锥和原来的圆锥的底面半径之比也是m∶n，那么底面积的比就是m2;n2，此时体积之比就是m3：n3。

【典型例题】

如图，圆锥形容器中装有水40升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升?

解析：

水与圆锥高之比为1:2，所以，体积之比为1:8。

40×8=320（升）

【对应练习】

如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升?

解析：400升。

时）。

【考点八】比例与单量不变问题。

【方法点拨】

单量不变问题，即其它量发生变化时，单一量的值不发生改变，该类题型要以一份量为未知数，根据题目关系建立方程。

【典型例题】

小胖和大胖一起吃冰淇淋，本来小胖和大胖吃的个数比为2∶3，后来大胖又吃了24个，现在小胖和大胖吃的个数之比为10∶27，求小胖吃了多少个冰淇淋?

解析：

解：设小胖原来吃了2x个，大胖原来吃了3x个。

2x:（3x+24）=10:27

x=10

小胖：2×10=20（个）

答：略。

【对应练习】

小胖和大胖一起吃草莓，本来小胖和大胖吃的个数比为3:4，后来大胖又吃了10个，现在小胖和大胖吃的个数之比为4:7，求小胖吃了多少个草莓？

解析：24个。

【考点九】比例与和不变问题。

【方法点拨】

和不变问题，即在两个单量都发生变化的时候，这两个量的和不发生变化（即和是定值）。

【典型例题】

大宝和小宝一起吃饺子，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2:3，后来大宝想要减肥，又夹了10个饺子到小宝碗里，此时大小宝碗里饺子之比为3:7，求两人一共有多少个饺子？

解析：

解：设原来大宝和小宝碗里各有2x个，3x个。

（2x-10）:（3x+10）=3:7

x=20

一共：20×5=100（个）

答：略。

【对应练习】

大宝和小宝一起喝汤圆，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2∶3，后来大宝想要减肥，又夹了4个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为1∶2，求两人一共有多少个汤圆?

解析：60个。

【考点十】比例与差不变问题。

【方法点拨】

1.差不变问题，即在两个单量变化的时候，这两个量的差不发生变化，常见的差不变问题是同增同减差不变，例如年龄问题。

2.方程法解决比例问题：

方程法能解决大部分的比例问题.通常设一份量为x，从而表示出变比的过程，通过列比例方程，最终解决比例问题。

【典型例题】

小牛和大牛吃肥肉，原来小牛和大牛吃的肉块数之比为2∶5，后来小牛又吃了5块，大牛也又吃了2块，此时小牛和大牛吃的肉块数之比为5∶9，求原来两人各自吃了多少块肥肉?

解析：

解：设一份量为x。

（2x+5）∶（5x+2）=5∶9

x=5

小牛原来吃的肉块数∶2x=10块

大牛∶5x=25块。

答：略。

【考点十一】复杂的比例问题。

【方法点拨】

稍复杂的比例问题，先判断等量关系，再建立方程求解。

【典型例题】

小明和小芳两人压岁钱的比是4∶3，开学时交学费用去钱的比是18∶13，这时小明和小芳各剩下36元、48元，求原来两人各有多少元压岁钱?

解析：792元；594元。

【对应练习】

兄弟两人月收入的比为4∶3，月支出比为11∶6，月结余均为3600元，问每人每月收入多少元？

解析：

解：设兄弟两人月收入分别为4x元，3x元

（4x－3600）∶（3x－3600）＝11∶6

6×（4x－3600）＝11×（3x－3600）

24x－21600＝33x－39600

33x－24x＝39600－21600

9x＝18000

x＝18000÷9

x＝2000

2000×4＝8000（元）

2000×3＝6000（元）

答：兄弟两人每个月的收入分别是8000元、6000元。