专题03 分式及其运算-备战2022年中考数学母题题源解密（广东专用）（原卷版）

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专题03 分式及其运算【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文1】（2021·广东广州·中考真题）已知（1）化简A；（2）若，求A的值．【母题来源】2021年中考广东深圳卷【母题题文2】（2021·广东深圳·中考真题）先化简再求值：，其中．1.分式的定义一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。2.与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（）②分式无意义：分母为0（）③分式值为0：分子为0且分母不为0（）④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）3.分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。4.分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。      ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。③最简分式的定义5.分式的通分①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。6.分式的四则运算与分式的乘方①分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为②分式的乘方：把分子、分母分别乘方，式子。③分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 7.整数指数幂①引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即★        ★           ★         ★  （）★          ★  （）    ★ （）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。②科学记数法若一个数x是0<x<1的数，则可以表示为（，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如0.000000125=。若一个数x是x>10的数则可以表示为（，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000=。一、单选题1．（2019·湖南益阳·一模）要使分式有意义，则应满足的条件是（    ）A． B． C． D．2．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）有一种病毒的直径约为0.000000078米，数0.000000078用科学记数法表示为（    ）A． B． C． D．3．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）化简的结果是（   ）A．－a－1 B．a－1 C．－a＋1 D．－ab＋b4．（2021·广东·广州市第十六中学二模）分式，，的最简分母是（    ）A． B． C． D．5．（2021·广东高要·二模）下列运算错误的是（   ）A． B．C． D． 6．（2021·河北竞秀·一模）下面是某同学“化简”的过程，共四步．解：原式＝……第一步＝.....第二步＝.....第三步＝2....第四步请判断：该同学的化简过程从第（　　）步开始出现错误．A．一 B．二 C．三 D．四7．（2021·河北正定·八年级期中）在中，是分式的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2021·山东·济南市莱芜实验中学八年级期中）分式，，，中，最简分式有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2021·山东青岛·八年级单元测试）下列各式从左到右变形正确的是（    ）A．+=3（x+1）+2y B．=C．= D．=10．（2021·湖南·衡南县北斗星中学八年级期中）若A、B表示不等于0的整式，则下列各式成立的是（    ）A．＝ B．＝C．＝ D．＝11．（2021·河北正定·八年级期中）已知a，b均为正数，设．下列结论：①当时，；②当时，；③当时，，正确的有（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个12．（2021·山东·东平县江河国际实验学校八年级月考）若等于2，则x等于（　　）A． B．﹣ C．2 D．﹣213．（2021·全国·八年级课时练习）一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　　）A．分钟 B．分钟C．分钟 D．分钟14．（2021·全国·八年级专题练习）当分别取、、、…、、、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（  ）A． B． C． D．  二、填空题15．（2021·福建省福州屏东中学八年级期中）计算的结果是________16．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学九年级月考）计算：（1﹣）÷＝___．17．（2021·湖南·衡南县北斗星中学八年级期中）若（A、B为常数），则A•B的值为___________．18．（2021·湖南·衡南县北斗星中学八年级期中）已知＝，则＝___________．19．（2021·湖南·衡南县北斗星中学八年级期中）分式有意义的条件是___________．20．（2021·湖南·汨罗市弼时镇弼时初级中学八年级期中）每年四月北京很多地方杨絮、柳絮如雪花般飞舞．据测定，杨絮纤维的直径约为米，将用科学记数法可表示为_______________．21．（2021·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）当x_______时，分式的值为零．22．（2021·河南淇县·八年级期中）已知，则分式的值为_________．23．（2021·江苏·常州实验初中八年级月考）（﹣3）0＝___，（﹣）﹣2＝___．24．（2021·北京八中八年级期中）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：；根据材料和已学知识，化简结果为__；当时分式的值为__． 三、解答题25．（2021·重庆八中二模）（1）（x+2y）2﹣y（x+4y）；（2）（﹣1）÷．   26．先化简，再求值：，其中   27．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校一模）先化简再求值：，其中．  28．（2021·辽宁·沈阳实验中学二模）先化简，再求值；其中a是满足的一个整数，择一个合适数，代入求值．   29．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）先化简，再求代数式的值，其中．   30．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）计算：．   31．（2021·广东·江门市第二中学二模）先化简，再求值：，其中a．   32．（2021·广东·铁一中学二模）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．     33．（2021·江苏·南京玄武外国语学校八年级期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题新结论的重要方法．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式的和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）假分式可化为带分式__________形式；（2）利用分离常数法，求分式的取值范围；（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值．