第二章 平面向量及其应用 A卷 基础夯实 2021-2022学年高一数学北师大版（2019）必修二单元测试AB卷（含答案）
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【满分：100分】
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则下列各式中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
3.在中，内角的对边分别为，若，
．则该三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，则向量b在向量a方向上的投影为( )
A. B. C. D.
5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为4，则( )
A. B. C. D.
6.在平行四边形ABCD中，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，若，则与夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
8.在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ）
A.矩形 B.梯形 C.平行四边形 D.菱形
9.如图所示，矩形ABCD中，，点E为AB中点，若，则( )
A. B. C.3 D.
10.如图，在中，，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11.a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知，则_________.
12.已知向量，，且，，则向量b的坐标可以是_____________.（写出一个即可）
13.在中，若，，边上的中线的长为3.5，则____________.
14.若三角形中有一个角为，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的外接圆半径等于_________.
15.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，，，，则______.
三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （10分）设A,B,C,D为平面内的四点，且.
（1）若，求D点的坐标；
（2）设向量，若向量与平行，求实数k的值.
17. （15分）如图所示,在中,与BC交于点M.设.
(1)试用向量表示.
(2)在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过点M.设,其中.当EF与AD重合时,,此时;当EF与BC重合时,,此时;能否由此得出一般结论:不论E,F在线段AC,BD上如何变动,等式恒成立,请说明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：如图，由知在延长线上，且，
因此由向量数乘定义知ABC三个选项均正确，D错误．
故选：D．
2.答案：D
解析：∵
∴ ，
∴，
∵，，
∴．
故选：D.
3.答案：A
解析：由正弦正理可知：
，
根据余弦定理得，
，
；
由余弦定理得，
或 (舍)，
设内切圆半径、外接圆半径，三角形周长分别为：，
根据正弦定理得，，
又，
∴﹒
其中与内切圆半径有关的三角形面积公式证明如下：
内切圆圆心为，半径为将分为三部分，
∴，
其中为三角形周长﹒
故选：A﹒
4.答案：C
解析：由得，解得，所以，，所以向量b在向量a方向上的投影，故选C.
5.答案：C
解析：由正弦定理可得，故.
由的面积为4可得，故，故选C.
6.答案：A
解析：，.
7.答案：D
解析：，，.又，，解得，即，故故选：D
8.答案：B
解析：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四边形一定是梯形．
故选：B.
9.答案：B
解析：解：如图所示，建立直角坐标系.
则，.
设，，.
，.
，
，
解得.
.
故选：B.
10.答案：A
解析：解：，，
，
，，
，
，
，
，，
则，
故选A.
11.答案：
解析：因为，且，所以.
12.答案：（答案不唯一）
解析：本题考查向量数量积的坐标运算.因为向量，，且，，所以取符合题意，所以向量b的坐标可以是.
13.答案：9
解析： 中，若，，边上的中线长为3.5
在中，，
即，
∵，
设，
代入数值，得，
解得.
∴.
故答案为：9.
14.答案：
解析：解：设三角形中60°的角所对的边长为x，由题意得：，.
又由正弦定理可得，(R为该△的外接圆半径)，.
15.答案：
解析：解：由正弦定理得，又因为角B是三角形的内角，所以.
16.答案：（1）设.
因为，所以,
整理得，
所以解得所以.
（2）因为，
所以，
.
因为向量与平行，
所以，解得.
解析：
17.答案：(1)设.
由A,M,D三点共线，可知存在,且,使得,则.
因为，所以.
由平面向量基本定理得即.①
同理，由B,M,C三点共线，可知存在,且,使得,则.
又，所以.
由平面向量基本定理得即.②
由①②得,故.
(2)能得出结论.理由：由于E,M,F三点共线，则存在实数,且使得,于是.
又，所以.
由平面向量基本定理得消去，得.
