人教A版（2019）必修二 高中数学 期中必考点02 平面向量基本定理及坐标运算（学生版+解析版）练习题

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题型一 平面向量基本定理及其应用
例题1如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝3eq \(EC,\s\up7(―→))，F为AE的中点，则eq \(BF,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(―→))
C．－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up7(―→)) D．－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(―→))
例题2在△ABC中，点P是AB上一点，且eq \(CP,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up7(―→))，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又eq \(CM,\s\up7(―→))＝teq \(CP,\s\up7(―→))，则实数t的值为________．
【解题技巧提炼】
平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
题型二 平面向量的坐标运算
例题1已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq \(MP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up7(―→))，则P点的坐标为( )
A．(－8,1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)
例题2向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________.
【解题技巧提炼】
求解向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
题型三 给值求角
例题1已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
例题2(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
(2)已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.
【解题技巧提炼】
利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
题型一 平面向量基本定理及其应用
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(AN,\s\up7(―→))，则λ＋μ等于________．
2．如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且eq \(AK,\s\up7(―→))＝e1，eq \(AL,\s\up7(―→))＝e2，试用e1，e2表示eq \(BC,\s\up7(―→))，eq \(CD,\s\up7(―→)).
题型二 平面向量的坐标运算
1．已知平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up7(―→))＝(3,7)，eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则eq \(CO,\s\up7(―→))的坐标为________．
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(BC,\s\up7(―→))＝b，eq \(CA,\s\up7(―→))＝c，且eq \(CM,\s\up7(―→))＝3c，eq \(CN,\s\up7(―→))＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up7(―→))的坐标．
题型三 平面向量共线的坐标表示
1．设向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(1，－2)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(2m，－1)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(－2n,0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
2．已知梯形ABCD中，AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
3．已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量eq \(OP3,\s\up7(―→))与向量a＝(1，－1)共线，若eq \(OP3,\s\up7(―→))＝λeq \(OP1,\s\up7(―→))＋(1－λ)eq \(OP2,\s\up7(―→))，则λ＝________.
4．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若eq \(AB,\s\up7(―→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
一、单选题
1．如图，由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，设，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．设，向量，，，若，则（ ）
A．B．C．1D．3
3．如图，在中，设，，若点E在上，且，则=（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在菱形中，，为的中点，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．3D．6
6．已知是不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数的值为（ ）
A．2B．或1C．D．2或
7．已知向量，则下列说法错误的个数是（ ）
① 若，则的值为-2；② 的最小值为1；③ 若，则的值为2；④ 若与的夹角为钝角，则的取值范围是
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、多选题
8．已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（ ）
A．，B．可能成立
C．若，则D．若，则或
9．下列说法中错误的为（ ）
A．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影向量的模为
D．非零向量和满足，则与的夹角为
10．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（ ）
A．与能构成一组基底B．
C．D．
三、填空题
11．已知向量，，若，则___________.
12．如图，在中，D是的中点，E是的中点，F是的中点，若，，则用，表示的结果为______．
13．已知向量，，若，，则______．
四、解答题
14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B，C满足
(1)求证：A，B，C三点共线，并求和值．
(2)已知，，，若函数的最小值为，求实数m的值
15．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记，已知在该坐标系下
(1)计算的大小
(2)求与的夹角大小