人教A版（2019）必修二 高中数学 期中必考点04 解三角形 （学生版+解析版）练习题

这是一份人教A版（2019）必修二 高中数学 期中必考点04 解三角形 （学生版+解析版）练习题，文件包含人教A版2019必修二高中数学必考点04解三角形解析版docx、人教A版2019必修二高中数学必考点04解三角形原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
例题1[在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长．
例题1(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若eq \r(2)a＋b＝2c，求sin C.
【解题技巧提炼】
1．已知△ABC中的某些条件(a，b，c和A，B，C中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a＝eq \f(bsin A,sin B)，b＝eq \f(asin B,sin A)，c＝eq \f(asin C,sin A)，a2＝b2＋c2－2bccs A，b2＝a2＋c2－2accs B，c2＝a2＋b2－2abcs C.
2．已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
[提醒] 已知△ABC的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元二次方程求得．
涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角函数的有界性、单调性．
1．已知△ABC中某些条件求角时，可用以下公式sin A＝eq \f(asin B,b)，sin B＝eq \f(bsin A,a)，sin C＝eq \f(csin A,a)，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
2．已知△ABC的外接圆半径R及边，可用公式sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).
[提醒] (1)注意三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)的应用．
(2)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式．
题型二 判断三角形形状
例题1设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
例题2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【解题技巧提炼】
[解题技法]
1．判定三角形形状的2种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
题型三 三角形面积问题
例题1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asineq \f(A＋C,2)＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【解题技巧提炼】
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
题型四 解三角形的实际应用
例题1如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300eq \r(3) m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.
例题2如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.
例题3游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的eq \f(11,9)倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________．
【解题技巧提炼】
测量距离问题的2个策略
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
测量高度问题的基本思路
高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
[提醒] 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
题型五 正余弦定理在平面几何中的应用
例题1如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝eq \r(7)，EA＝2，∠ADC＝eq \f(2π,3)，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．
(1)求sin∠CED；
(2)求BE的长．
【解题技巧提炼】
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
题型六 解三角形与三角函数的综合问题
例题1已知函数f(x)＝cs2x＋eq \r(3)sin(π－x)cs(π＋x)－eq \f(1,2).
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．
【解题技巧提炼】
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
题型一 利用正余弦定理解三角形
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcs C＋csin Bcs A＝eq \f(1,2)b，且a＞b，则B＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)若cs B＝eq \f(1,3)，a＝3，求c的值．
题型二 判断三角形形状
1．在△ABC中，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2．[在△ABC中，已知eq \f(sin A＋sin C,sin B)＝eq \f(b＋c,a)且还满足①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②bcs A＋acs B＝csin C中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推理过程．
题型三 三角形面积问题
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为________．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cs C＝ccs A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝3，△ABC的面积S＝eq \f(4\r(3),3)，求△ABC的周长．
题型四 解三角形的实际应用
1．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 eq \r(3) 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
3．为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B的同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝________ m.
题型五 正余弦定理在平面几何中的应用
1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝eq \r(3)BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．
2.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝eq \r(5)，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.
(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．
题型六 解三角形与三角函数的综合问题
1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cs B－bcs C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin xcs xcs B－eq \f(\r(3),2)cs 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．
一、单选题
1．如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（ ）
A．千米B．千米
C．D．
2．某生态公园有一块圆心角为的扇形土地，打算种植花草供游人欣赏，如图所示，其半径米.若要在弧上找一点，沿线段和铺设一条观光道路，则四边形面积的最大值为（ ）
A．2500平方米B．平方米C．5000平方米D．平方米
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．90°B．120°C．60°D．150°
4．已知某圆锥的轴截面是腰长为3的等腰三角形，且该三角形顶角的余弦值等于，则该圆锥的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则必为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
二、多选题
6．在中，角、、所对的边分别为、、，且、、，下面说法错误的是（ ）
A．
B．是锐角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍
D．内切圆半径为
7．在中，内角，，的对边分别为，，，且（ ）
A．若，，则
B．若，，则的面积为
C．若，则的最大值为
D．若，则周长的取值范围为
三、填空题
8．在中，D为的中点，若，，，则______．
9．如图所示，是一座垂直与地面的信号塔，点在地面上，某人（身高不计）在地面的处测得信号塔顶在南偏西70°方向，仰角为45°，他沿南偏东50°方向前进到点处，测得塔顶的仰角为30°，则塔高为______.
四、解答题
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求中的最大值；
(2)求边上的中线长．
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角B的值；
(2)若，的面积为，求边上中线的长.
12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
13．在中，角、、的对边分别为、、，向量，，，且.
(1)求的值；
(2)若，，求的大小.
14．已知向量，，.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的面积的最大值.
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若点M在AC上，且满足BM为的平分线，，求BC的长．
16．在中，角、、的对边分别是、、，且．
(1)求角；
(2)若，面积为，求的值.
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.