清单31 椭圆(原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单31 椭圆(原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共11页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单31椭圆一、知识与方法清单1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．【对点训练1】（2022届广东省深圳市高三上学期8月调研）已知直线l：与曲线C：相交于A，B两点，，则的周长是（    ）A．2 B． C．4 D．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1 (a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴　　对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2【对点训练2】椭圆与关系为（    ）A．有相等的长轴 B．有相等的短轴C．有相等的焦点 D．有相等的焦距3.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．【对点训练3】已知定点F1，F2，且|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是（    ）A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段4.注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍. 【对点训练4】（2022届陕西省咸阳市高三上学期开学摸底）已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上一点，且面积的最大值为，则椭圆的短轴长为____．5.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．【对点训练5】已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为则，椭圆的方程为（    ）A． B．C． D．6.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(3)求出a,b,c.(4)写出椭圆的几何性质.【对点训练6】已知椭圆的焦点在轴上，过点 且离心率为，则椭圆的焦距为______．7.焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；②S＝b2tan＝c，当＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.【对点训练7】（2022届广西高三上学期开学联考）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则（    ）A．1 B．2 C．4 D．8.焦点弦(过焦点的弦)焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.【对点训练8】（2022届河北省唐山高三上学期开学摸底）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（    ）A．5 B．4 C． D．9.AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦(斜率为k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则弦长l＝＝|y1－y2|【对点训练9】（2022届四川省成都市高三上学期9月入学考试）已知椭圆的离心率为，椭圆的长轴是圆的直径.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的取值范围.10.利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．【对点训练10】在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（    ）A． B．C． D．11.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，构造关于a，c的齐次式，再转化为关于e的方程或不等式，求椭圆离心率或取值范围【对点训练11】椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（    ）A． B． C． D．12.椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解 (适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e) 或利用均值不等式；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．【对点训练12】已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（    ）A． B．1 C．2 D．13.椭圆中常见的最值问题(1)椭圆上的点P到二焦点的距离之积取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。(2)椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。(3)椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。(4)椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点F的距离的倍的和的最小值（为椭圆的离心率），可通过转化为（为P到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆的交点。(5)以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。(6)椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。(7)椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。(8)椭圆上的点到坐标轴上的定点的距离最大值、最小值问题可利用两点间的距离公式及椭圆方程联立化为求函数最值问题。(9)椭圆的焦点到椭圆上的距离最近和最远点是椭圆长轴的两个端点。(10)椭圆上的点到定直线的距离最近及最远点分别是与定直线平行的椭圆的两条切线的切点。(11)椭圆上的点到与它的两个焦点连线的最大夹角是它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角。范围大于等于，小于它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角。(12)椭圆上的点与它长轴的两个端点的连线的最大夹角是它的短轴的一个端点和长轴的二端点的连线的夹角。范围为大于，小于它的短轴的一个端点和长轴的二端点的连线的夹角。【对点训练13】（2022届四川省成都市高三上学期入学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为___________.14.解决椭圆中点弦问题的2种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.【对点训练14】已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．15.若点P是椭圆C上任意一点，点M，N是椭圆C上关于过原点对称的两点，且不与点P重合，则。【对点训练15】已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（　　）A． B．C． D．二、跟踪检测一、单选题1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．2．（2022届云南师大附中高三适应性月考）已知椭圆，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．3．已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为（    ）A．3 B． C． D．4．（2022届山西省长治市高三上学期9月质量监测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（    ）A． B．C． D．5．椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（    ）A． B．C． D．6．已知椭圆上有个不同的点，，，，．设椭圆的右焦点为，数列是公差大于的等差数列，则的最大值为（    ）A．2007 B．2006 C．1004 D．10037．（2022届浙江省温州市高三上学期测试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，是它们的一个公共点，且.若，则（    ）A． B． C． D．8．（2022届陕西省咸阳市高三上学期摸底）已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（    ）A． B． C． D．39．（2022届安徽师范大学附属中学高三上学期入学考试）已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（    ）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，10．（2022届重庆市缙云教育联盟高三上学期9月质量检测）已知椭圆C：=1(a>b>0)的左右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点.设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（    ）A． B． C． D．11．有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为: A． B．C． D．12．如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，分别延长到,使得，，是椭圆上一点，延长到，，则A．10 B．5 C．6 D．3二、多选题13．已知椭圆C1： (a1＞b1＞0)和椭圆C2： (a2＞b2＞0)的焦点相同且a1＞a2．给出如下四个结论，其中正确的结论有（     ）A．椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；B．C．D．14．（2022届河北省唐山市高三上学期开学摸底）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（    ）A．5 B．4 C． D．15．已知，是椭圆：的左､右焦点，且，分别在椭圆的内接的与边上，圆是的内切圆，则下列说法正确的是（    ）A．的周长为定值8B．当点与上顶点重合时，圆的方程为C．为定值D．当轴时，线段交轴于点，则16．（2022届重庆实验外国语学校高三上学期入学考试）如图，为椭圆：上的动点，过作椭圆的切线交圆：于，，过，作切线交于，则（    ）A．的最大值为B．的最大值为C．的轨迹方程是D．的轨迹方程是三、填空题17．（2022届陕西省西安市高三上学期模拟）椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果的中点在y轴上，那么是的________倍18．已知椭圆：的右焦点为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点（点在第二象限）．若点关于轴的对称点为，且满足，则直线的方程是______．19．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．四、解答题20．（2022届辽宁省六校高三上学期期初联考）已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．21．（2022届天津市高三上学期开学摸底考试）已知椭圆的方程为，离心率，，分别是椭圆的左、右焦点，过椭圆的左焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相交于、两点，为原点，且.试探究点到直线的距离是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.22．（2021届甘肃省嘉陵关市高三下学期四模）已知椭圆：（，），离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上的任意一点（除短轴的端点外）与短轴的两个端点，的连线分别与轴交于，两点，求证为定值．23．（2022届云南省昆明市高三上学期检测）已知椭圆的右焦点为F，且F与C上点的距离的取值范围为[1，3].（1）求C的方程；（2）已知О 为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.24．（2022届重庆市第八中学高三上学期月考）与椭圆（，且）相关的两条直线称为椭圆的准线，拥有丰富的几何性质. 已知直线是位于椭圆右侧的一条准线，椭圆上的点到的距离的最大值为，最小值为.（1）求椭圆的标准方程及直线的方程；（2）设椭圆的左右两个顶点分别为，，为直线上的动点，且不在轴上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值.